Prvek (teorie kategorií)

V teorii kategorií pojem prvku (nebo bodu ) zobecňuje obvyklou představu prvku množiny na objekt libovolné kategorie. Někdy umožňuje přeformulovat vlastnosti morfismů (například vlastnost monomorphism ), které jsou obvykle popsány pomocí univerzálních vlastností ve známějších pojmech působení mapování na prvky. Tento přístup k teorii kategorií (a zejména jeho použití v Yonedově lemmatu ) navrhl Grothendieck .

Definice

Nechť C  je kategorie , A a T jsou  dva objekty C. Potom body objektu A s hodnotami v T  jsou šipky . Přiřazení objektu k množině jeho bodů s hodnotami v T je funktor z "proměnné" T do kategorie množin, která se nazývá bodový funktor objektu A ; podle Yonedova lemmatu funktor point definuje A jako objekt C až do izomorfismu.

Vlastnosti morfismů

Mnoho vlastností morfismů lze popsat pomocí bodů. Například morfismus f se nazývá monomorfismus if

Pro všechny morfismy g , h takové , že , je pravdivé .

Nechť tyto morfismy mají tvar , v kategorii C . Potom g a h  jsou body v B s hodnotami v A , takže definice monomorfismu je ekvivalentní:

f  je monomorfismus, pokud působí injektivně na body.

Takové přeformulování by mělo být prováděno opatrně. f  je epimorfismus , pokud duální vlastnost platí:

Pro všechny morfismy g , h takové , že , je pravdivé .

Nechť tyto morfismy mají tvar , . V teorii množin by „epimorfismus“ znamenal následující:

Každý bod B je obrazem nějakého bodu A při působení f .

Toto tvrzení není vůbec překladem prvního do jazyka bodů a v obecném případě nejsou ekvivalentní. Nicméně například v případě abelovské kategorie musí „monomorfismy“ a „epimorfismy“ splňovat podmínky tak silné, že je lze interpretovat v bodech.

Některé kategorické konstrukce, jako je produkt , mají také přeformulování. Připomeňme, že pokud A , B  jsou dva objekty C , jejich součin A × B  je takový objekt, že

existují morfismy a pro všechny morfismy T a morfismy existuje jedinečný morfismus takový, že a .

V této definici jsou f a g body A a B s hodnotami v T , zatímco h  je bod A × B s hodnotami v T . Definici lze přeformulovat takto:

A × B  je objekt C s projekcemi a takovými, že p a q definují bijekci mezi body A × B a dvojicemi bodů A a B .

Vztah s teorií množin

V případě , že C  je kategorie množin , existuje „jednobodová množina“ ( terminální objekt ) – singleton {1} a běžné prvky množiny S  jsou stejné jako prvky množiny S s hodnotami v {1}. Můžeme uvažovat body s hodnotami v {1,2} — dvojice prvků S , nebo prvky S × S . V tomto případě je S zcela určeno svými {1}-body. To však zdaleka není vždy pravda (v tomto případě je to způsobeno tím, že jakákoliv sada je koproduktem {1}).

Poznámky