Poissonovo jádro

Poissonovo jádro je jádro používané k řešení dvojrozměrné Laplaceovy rovnice s přihlédnutím k Dirichletovým okrajovým podmínkám v jednotkové kružnici . Jádro může být reprezentováno jako derivace Greenovy funkce pro Laplaceovu rovnici. Jádro je pojmenováno po S. Poissonovi .

Poissonovo jádro hraje důležitou roli v komplexní analýze, protože integrál Poissonova jádra - Poissonův integrál - rozšiřuje funkci definovanou na jednotkové kružnici na harmonickou funkci definovanou na jednotkové kružnici. Podle definice jsou harmonické funkce řešením Laplaceovy rovnice a - ve dvourozměrném případě - jsou ekvivalentní k meromorfním funkcím . Dvourozměrný Dirichletův problém je tedy v podstatě podobný problému hledání meromorfního pokračování funkce definované na hranici definičního oboru . Je také možné rozšířit definice Poissonova jádra na n-rozměrný případ.

Poissonova jádra běžně nacházejí uplatnění v teorii řízení a v elektrostatice .

Poissonovo jádro ve dvourozměrném případě

Na komplexní rovině je Poissonovo jádro dáno vztahem $P_{r}(\theta )$

P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^ {2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\jméno operátora {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i \theta }}}\vpravo),\ \ \ 0\leq r<1.

Tento vzorec lze uvažovat ze dvou stran: jako funkci nebo jako skupinu funkcí pro $r(\Theta )$ ${\displaystyle \Theta _{r))$ $0\leq r<1.$

Pokud je doména taková, že je jednotkovým kruhem v komplexním Lebesgueově prostoru a je-li funkce uvedena v oboru , pak funkce $D$ $D=\{z:|z|<1\}$ $F$ $D$

u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f (e^{it})\,\mathrm {d} t,\ \ \ 0\leq r<1

je harmonická funkce v regionu $D.$

Protože okrajové podmínky funkce se shodují s okrajovými podmínkami funkce , pak v definuje konvoluci v prostoru $u$ $F$ $r\rightarrow 1\ \ P_{r}(\theta )$ $L^{p}(T).$

Konvoluce s touto aproximací ukazují příklad sčítání jádra pro Fourierovy řady v prostoru Nechť má funkce Fourierovu řadu Po Fourierově transformaci se konvoluce vynásobí řadou $L^{1}.$ $f\in L^{1}(T)$ $\{f_{k}\}.$ $P_{r}(\theta )$ $\{r^{k}\}\in L^{1}(Z).$

Literatura

Conway, John B. (1978), Funkce jedné komplexní proměnné I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3 .
Axler, S.; Bourdon, P. & Ramey, W. (1992), Harmonic Function Theory , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7 .
King, Frederick W. (2009), Hilbert Transforms Vol. I , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88762-5 .
Stein, Elias & Weiss, Guido (1971), Úvod do Fourierovy analýzy euklidovských prostorů , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
Weisstein, Eric W. Poisson Kernel (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Gilbarg, D. & Trudinger, N. , Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu , ISBN 3-540-41160-7 .