142 857 (číslo)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. května 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

142 857
sto čtyřicet dva tisíce osm set padesát sedm
← 142 855 142 856 142 857 142 858 142 859 →
Faktorizace	$3 3 11 13 37$
Římský zápis	CXL MMDCCCLVII
Binární	100010111000001001
Osmičková	427011
Hexadecimální	22E09
Mediální soubory na Wikimedia Commons

142857 ( sto čtyřicet dva tisíce osm set padesát sedm ) je přirozené číslo nacházející se mezi čísly 142856 a 142858. Není to prvočíslo , ale vzhledem k posloupnosti prvočísel se nachází mezi 142841 a 142867 [1 ] .

142 857 se také nazývá počet samsár [ 2] .

Matematické vlastnosti

Vzhledem k tomu, že jde o období expanze obyčejného zlomku na desetinný zlomek, má některé zajímavé vlastnosti. ${\frac {1}{7))$

Cyklické číslo

Pokud se 142857 vynásobí 2 , 3 , 4 , 5 nebo 6 , budou výsledky tvořeny cyklickým posunem čísla 142857 [3] .

1 x 142 857 = 142 857 2 x 142 857 = 285 714 3 x 142 857 = 428 571 4 x 142 857 = 571 428 5 x 142 857 = 714 285 6 x 142 857 = 857 142 7 x 142 857 = 999 999

(Všimněte si, že čísla napravo jsou tečky, v tomto pořadí atd .) ${\frac {1}{7))$ ${\frac {2}{7))$

Zobecnění cykličnosti

Pokud vynásobíte 142857 většími celými čísly , výsledkem bude v určitém smyslu také nějaká variace čísla 142857 nebo 999999 [3] :

000008 × 142857 = 1142856 0000( přičtením první číslice k poslední získáte 142857 ) 000042 × 142857 = 5999994 0000( přičtení první číslice k poslední dává 999999 ) 142857 × 142857 = 20408122449 _ _

Formálněji, pokud výsledný produkt rozdělíme do skupin po šesti číslicích, počínaje jedničkami, pak tyto skupiny přidáme a tuto operaci opakujeme, dokud nebude mít číslo více než 6 číslic, nakonec dojdeme buď k 142 857 nebo 999 999.

Výsledky dělení čísla 2 nebo 5 (to znamená násobení číslem nebo číslem ) lze také získat posunutím: ${\frac {5}{10}}$ ${\frac {2}{10))$

142 857 / 2 = 71 428,5 142 857 / 5 = 28 571,4

Po umocnění posledních tří číslic a odečtení druhé mocniny prvních tří číslic od nich získáme také výsledek posunu:

857^{2}=734449

142^{2}=20164

734449-20164=714285

Jako období běžného zlomku

Číslo 142 857 je také opakující se sekvence v periodickém zlomku . Vynásobením tohoto zlomku čísly od 2 do 6 tedy získáte také výsledky, jejichž zlomkové části se získají navzájem cyklickými posuny [3] [4] [5] : ${\frac {1}{7))$

1/7 = 0. 142857 142857 142857 14… 2/7 = 0,2857 142857 142857 1428 ... 3/7 = 0,42857 142857 142857 142 ... 4/7 = 0,57 142857 142857 142857 … 5/7 = 0,7 142857 142857 142857 1… 6/7 = 0,857 142857 142857 14285 …

Zlomek 1/7 je první převrácený s maximální periodou v desítkovém zápisu (délka periody je o jednu menší než jmenovatel zlomku) [3] [5] . Prvních několik hodnot n , pro které je délka periody zlomku 1/ n v desítkovém zápisu n - 1 , je 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113 , 131 [3] [6] .

Další operace

Pokud se desetinný záznam čísla 142 857 rozdělí na dvě části, tedy 142 a 857, a sečte se, dostaneme 999. A pokud se rozdělí na 3 části, tedy 14, 28 a 57, a pak také přidán, dostanete 99 [3] .

Další vlastnosti

142 857 je také počet Harshadů [7] :

142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)

a číslo Kaprekar [8] [3] [4] :

142857^{2}=20408122449,

142857=20408+122449.

Viz také

Poznámky

↑ Vlastnosti čísla 142857 Archivováno 29. srpna 2016 na Wayback Machine en.numberempire.com
↑ Počet Samsáry je 142 857. Řeknu vám, proč je to zajímavé . Zen | blogovací platforma . Datum přístupu: 30. června 2022. (Ruština)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 David Wells. 142857 // Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . - 1. vyd.. - Penguin Books , 1987. - 229 s. — ISBN 0-14-008029-5 .
↑ 1 2 Robert Munafo. 142857 . Pozoruhodné vlastnosti specifických čísel na MROB . Získáno 24. října 2015. Archivováno z originálu 11. října 2015. (neurčitý)
↑ 1 2 Robert Munafo. 7 . Pozoruhodné vlastnosti specifických čísel na MROB . Získáno 24. října 2015. Archivováno z originálu 11. října 2015. (neurčitý)
↑ OEIS sekvence A006883 = Prvočísla s dlouhou periodou: desetinný rozvoj 1/p má periodu p-1 .
↑ OEIS sekvence A005349 = Nivenská (nebo Harshadská) čísla: čísla, která jsou dělitelná součtem svých číslic .
↑ OEIS sekvence A006886 = Kaprekarova čísla: n takové, že n=q+r a n^2=q*10^m+r, pro některé m >= 1, q>=0 a 0<=r<10^m , s n != 10^a, a>=1.

Literatura

Martin Gardner . Nejlepší matematické hry a hádanky. - M. : AST, Astrel, 2009. - S. 111-121. — ISBN 978-5-17-058244-0 („Nakladatelství AST“), 978-5-271-23247-3 („Nakladatelství Astrel“).
Jakov Perelman . Magické prsteny // Zábavná aritmetika: hádanky a kuriozity ve světě čísel. — Osmé vydání, zkrácené. - M .: Detgiz , 1954. - S. 90-96.
David Wells. 142857 // Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . - 1. vyd.. - Penguin Books , 1987. - 229 s. — ISBN 0-14-008029-5 .
Joe Roberts. Lure of the Integers . - MAA , 1992. - S. 26 . — ISBN 0-88385-502-X .