Kaprekar číslo

Kaprekarovo číslo pro danou číselnou soustavu je nezáporné celé číslo, jehož druhou mocninu v této soustavě lze rozdělit na dvě části, jejichž součet dává původní číslo. Například 45 je číslo Kaprekar, protože 45 2  = 2025 a 20 + 25 = 45. Čísla Kaprekar jsou pojmenována po D. R. Kaprekarovi .

Definice

Nechť X je nezáporné celé číslo. X je Kaprekarovo číslo k základu b , pokud existují nezáporná čísla n , A a kladná B , která splňují podmínky:

X2 = Abn + B , kde 0 < B < bn X = A + B

Všimněte si, že X je také základní b n Kaprekarovo číslo pro dané n . V užším smyslu můžeme množinu K ( N ) pro dané celé číslo N definovat jako množinu celých čísel X , pro které [1]

X2 = AN + B , kde 0 < B < N X = A + B

Každé Kaprekarovo číslo X k základu b pak spadá do jedné z množin K ( b ), K ( b 2 ), K ( b 3 ),….

Příklady

297 je Kaprekarovo číslo v základu 10, protože 297 2 = 88209, které lze rozdělit na 88 a 209 a 88 + 209 = 297. Podle konvence může druhá část začínat na 0, ale nesmí být nula. Například 999 je číslo Kaprekar v základu 10, protože 999 2 = 998001, které lze rozdělit na 998 a 001, 998 + 001 = 999. Ale 100 není číslo Kaprekar, i když 100 2 = 10000 a 100 00 = 100, druhá část je nula.

Prvních několik čísel Kaprekar v základu 10 je:

1 9 45 55 99 297 703 999 2223 2728 4879 4950 5050 7272 7777 9999 17344 22222 77778 82656 95121 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357 , 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ... ( sekvence v A0 )

Konkrétně 9, 99, 999… jsou čísla Kaprekar. Obecněji řečeno, pro jakýkoli základ b existuje nekonečně mnoho Kaprekarových čísel, včetně všech čísel ve tvaru b n − 1.

Jiné důvody

V základu 12 jsou čísla Kaprekar

1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249, 8889, 9263, 23EE, 9263, X5E 23, 23,73, X51823 , 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952, 35186E, 39X39X, 404040, 4197X70, 48507...

V základu 16 jsou čísla Kaprekar

1, 6, A, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED, 7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF 191A 2A2B 3C3C 4444 5556 6667 7F80 8080 9999 AAAA BBBC C3C4 D5D5 E6E6 FFFF 1745E 20EC2 2ACAB 2D02E 30684 3831F 55555 62FCA 689A3 7278C 76417 7A427 7FE00 80200 85BD9 89AE5 89BE9 8D874 9765D 9D036 AAAAB AF0B0 B851F BDEF8 C1F08 C795C1...

Vlastnosti

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Iannucci, 2000 , str. 00.1.2.

Literatura