ARIMA

ARIMA ( anglicky autoregresivní integrovaný klouzavý průměr , někdy Box-Jenkinsův model, Box-Jenkinsova metodologie ) je integrovaný autoregresní model klouzavého průměru - model a metodika pro analýzu časových řad . Jedná se o rozšíření ARMA modelů pro nestacionární časové řady, které mohou být stacionární přebíráním rozdílů určitého řádu od původních časových řad (tzv. integrované nebo rozdílově-stacionární časové řady). Model znamená, že rozdíly v časových řadách objednávky se řídí modelem . $ARIMA(p,d,q)$ $d$ $ARMA(p,q)$

Formální definice modelu

Model nestacionární časové řady má tvar: $ARIMA(p,d,q)$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\součet _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{ti}+\součet _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

kde je stacionární časová řada; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

jsou parametry modelu.

{\displaystyle \triangle ^{d))

— rozdílový operátor časové řady řádu d (postupné odebírání d časů rozdílů prvního řádu - nejprve z časové řady, poté ze získaných rozdílů prvního řádu, poté druhého řádu atd.)

Tento model je také interpretován jako - model s jednotkovými kořeny . Pro , máme obvyklé -modely. $ARMA(p+d,q)$ $d$ $d=0$ $ARMA$

Zastoupení operátora

Pomocí operátoru lag lze data modelu zapsat následovně: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\součet _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

nebo ve zkratce:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

kde ${\displaystyle a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i))$

b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Příklad

Nejjednodušším příkladem modelu ARIMA je známý model náhodné procházky:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \trojúhelník x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Proto se jedná o model . $ARIMA(0;1;0)$

Integrovaná časová řada

Modely ARIMA umožňují modelovat integrované nebo rozdílově stacionární časové řady ( DS-series , diference stacionární).

Časová řada se nazývá integrovaným řádem (obvykle psaným ), pokud rozdíly řádových řad , to znamená, že jsou stacionární, zatímco rozdíly menšího řádu (včetně nulového řádu, tedy časové řady samotné) nejsou stacionární s respektovat některé trendové řady (TS-řada, trend stacionární). Zejména se jedná o stacionární proces. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\displaystyle \triangle ^{k}x_{t))$ $já(0)$

Pořadí integrace časové řady je pořadím modelu . $d$ $ARIMA(p,d,q)$

Metodika ARIMA (Box-Jenkins)

Přístup ARIMA k časovým řadám spočívá v tom, že se nejprve vyhodnotí stacionarita řad. Různé testy odhalují přítomnost jednotkových kořenů a pořadí integrace časové řady (obvykle omezené na první nebo druhý řád). Dále, pokud je to nutné (pokud je řád integrace větší než nula), řada se transformuje převzetím rozdílu odpovídajícího řádu a již pro transformovaný model se sestaví nějaký ARMA model, protože se předpokládá, že výsledný proces je stacionární, na rozdíl od původního nestacionárního procesu (diferenční-stacionární nebo integrovaný proces řádu ). $d$

Modely ARFIMA

Teoreticky nemusí být řád integrace časové řady celočíselná hodnota, ale zlomková. V tomto případě se hovoří o frakčně integrovaných autoregresních modelech - klouzavý průměr (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Abychom pochopili podstatu zlomkové integrace, je nutné zvážit rozšíření operátoru převzetí --tého rozdílu v mocninných řadách zpožděného operátoru pro zlomkové ( rozšíření Taylorovy řady ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Literatura

Ayvazyan S.A. Aplikovaná statistika. Základy ekonometrie. Svazek 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrics. Počáteční kurz. - M. : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometrie. Učebnice / Ed. Eliseeva I. I. - 2. vyd. - M. : Finance a statistika, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Britannica (online)