Zákon vyloučeného středu

Zákon vyloučeného středu ( lat. tertium non datur , tedy „třetí není dáno“) je zákonem klasické logiky , který je formulován takto: dva protichůdné soudy nemohou být současně nepravdivé, jeden z nich musí být pravda: a je buď b , nebo není b . Buď je pravdivé tvrzení faktu, nebo jeho negace. Třetí neexistuje. [jeden]

Na rozdíl od zákona rozporu , který působí ve vztahu ke všem navzájem neslučitelným rozsudkům, zákon vyloučeného středu působí pouze ve vztahu k rozporným (rozporným) rozsudkům.

Z „ intuicionistického “ (a zejména „ konstruktivistického “) hlediska stanovení pravdivosti výroku ve tvaru „ A nebo ne A “ znamená:

nebo stanovení pravdy ; $A$
nebo stanovení pravdy o jeho negaci . $\neg A$

Protože obecně neexistuje žádná obecná metoda, která by umožňovala jakémukoli tvrzení v konečném počtu kroků stanovit jeho pravdivost nebo pravdivost jeho negace, neměl by být zákon vyloučeného středu uplatňován v rámci intuicionistického a konstruktivního směry v matematice jako axiom .

Formulace

V matematické logice je zákon vyloučeného středu vyjádřen shodně pravdivým vzorcem [2] :

$A\vee\neg A,$

kde:

" " - znak disjunkce ; $\vee$
" " je znak negace . $\neg$

Jiné znění

Další logické zákony mají podobný význam , z nichž mnohé se vyvíjely historicky.

Zejména zákon dvojí negace a Peirceův zákon jsou v intuicionistické logice ekvivalentní zákonu vyloučeného středu . To znamená, že rozšíření systému axiomů intuicionistické logiky některým z těchto tří zákonů v každém případě vede ke klasické logice . A přesto v obecném případě existují logiky, v nichž všechny tři zákony nejsou ekvivalentní [3] . $\neg (\neg A)\rightarrow A$ $((P\rightarrow Q)\rightarrow P)\rightarrow P$

Příklady

„Ze dvou protichůdných výroků o vztahu dvou pojmů musí být jeden výrok – a pouze jeden – nutně pravdivý, takže žádný třetí pravdivý výrok není možný... Protože podle zákona rozporu nemohou dva výroky, které si odporují, být obojí zároveň pravdivé, pak pravda jednoho z těchto tvrzení znamená nepravdivost druhého a naopak... Zákon vyloučeného středu také říká, že pravda leží pouze v mezích těchto dvou tvrzení. pravda. V případě protichůdných úsudků je třeba uvažovat podle schématu: "buď - nebo. Třetí není dáno" (tertium non datur)." [4] "...Zákon... nemá ve vztahu k opačné opozici žádnou sílu. Zde zůstává možné, že pravda nespočívá v žádném ze dvou protikladných tvrzení, ale spočívá v nějakém třetím tvrzení." [5] Předpokládejme , že P je výrok Sokrates je smrtelný . Pak bude mít zákon vyloučeného středu pro P podobu: „Sokrates je smrtelný nebo Sokrates je nesmrtelný“ , z čehož je zřejmé, že zákon odřízne všechny ostatní možnosti, ve kterých Sokrates není ani smrtelný, ani nesmrtelný. To druhé je to úplně „třetí“, které je vyloučeno.

Mnohem subtilnější příklad aplikace zákona vyloučeného středu, který dobře demonstruje, proč není z hlediska intuicionismu přijatelný, je následující. Předpokládejme, že chceme dokázat větu , že existují iracionální čísla a taková, která jsou racionální . $A$ $b$ $a^{b}$

Je známo, že jde o iracionální číslo ( důkaz ). Zvažte číslo: ${\sqrt {2}}$

${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ .

Je zřejmé (s výjimkou třetí možnosti), že toto číslo je buď racionální, nebo iracionální. Pokud je dané číslo racionální, pak je věta dokázána. Požadovaná čísla:

$a={\sqrt {2}}$ a $b={\sqrt {2}}$

Ale pokud je číslo iracionální, pak ať a . Tudíž, ${\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $a={\sqrt {2}}^{{{\sqrt {2}}}}$ $b={\sqrt {2}}$

a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}}\right)^{{{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2} }^{{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)))={\sqrt {2}}^{2}=2,

tedy racionální číslo . $a^{b}$

Jiné možnosti podle zákona vyloučené třetiny být nemohou. Proto je věta dokázána v obecném případě. Navíc je důkaz extrémně jednoduchý a elementární. Na druhou stranu, pokud přijmeme intuicionistické hledisko a opustíme zákon vyloučeného středu, ačkoli lze větu dokázat, její důkaz se stává extrémně obtížným.

Poznámky

↑ Kirillov V.I., Starčenko A.A. Logika: učebnice, Ministerstvo školství a vědy Ruské federace.
↑ Edelman, 1975 , str. 21.
↑ Zena M. Ariola a Hugo Herbelin. Minimální klasické logické a řídicí operátory. V Třicátém mezinárodním kolokviu o automatech, jazycích a programování, ICALP'03, Eindhoven, Nizozemsko, 30. června - 4. července 2003, svazek 2719 z Lecture Notes in Computer Science, strany 871-885. Springer-Verlag, 2003. [1] Archivováno 18. července 2008 na Wayback Machine
↑ Asmus V.F. Logika. Ch. 2, bod 19
↑ Tamtéž, s. 21

Literatura

Edelman S.L. Matematická logika. - M . : Vyšší škola, 1975. - 176 s.

Viz také

Zákony logiky

zákony

Hlavní	Zákon identity Zákon rozporu Zákon vyloučeného středu Zákon dvojí negace Pierceův zákon Zákon dostatečného důvodu
De Morganovy zákony Zákony deduktivního uvažování Claviův zákon

Principy a vlastnosti zákonů

Princip výbuchu
Monotónnost nakládání
Impotence přitažlivosti
Komutativnost konjunkce
Princip dělení