W-funkce Lamberta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. března 2020; kontroly vyžadují 7 úprav .

$W$ Lambertova funkce je definována jako inverzní funkce k , for complex . Označeno nebo . Pro jakýkoli komplex je určen funkční rovnicí : $f(w)=my^{w}$ $w$ $W(x)$ $\operatorname {LambertW}(x)$ $z$

z=W(z)e^{{W(z)}}

$W$ Lambertovu funkci nelze vyjádřit v elementárních funkcích . Používá se v kombinatorice , například při počítání stromů , stejně jako při řešení rovnic.

Historie

Funkce byla studována v práci Leonharda Eulera v roce 1779 , ale až do 80. let 20. století neměla samostatný význam a jméno. Jako samostatná funkce byla zavedena v systému počítačové algebry Maple , kde se pro ni používal název LambertW . Jméno Johann Heinrich Lambert bylo zvoleno proto, že Euler ve svém díle odkazoval na Lambertovo dílo, a protože „by bylo zbytečné po Eulerovi jmenovat další funkci“ [1] .

Polysémie

Protože funkce není injektivní na intervalu , je to vícehodnotová funkce na . Pokud se omezíme na skutečné a požadujeme , bude definována funkce s jednou hodnotou . $f(w)$ $(-\infty,0)$ $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $z=x\geqslant -1/e$ $w\geqslant -1$ $W_{0}(x)$

Asymptotika

Je užitečné znát asymptotiku funkce, když se blíží k určitým klíčovým bodům. Například pro urychlení konvergence při provádění rekurzivních výpočtů.

$\left.W(z)\right|_{{z\to \infty }}=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{{z\to -{\frac {1}{e))))={\sqrt {2(ez+1)))-1$

Jiné vzorce

\int _{{0}}^{{\pi }}W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;{\mathrm d}x=4{\sqrt {\pi ))

\int _{{0}}^{{+\infty }}W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;{\mathrm d}x={\sqrt { 2\pi }}

\int _{{0}}^{{+\infty }}{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}{\mathrm d}x=2{\sqrt {2\ pi}}

Vlastnosti

Derivováním implicitní funkce lze získat, že pro , Lambertova funkce splňuje následující diferenciální rovnici: $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$

{dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.

Pomocí věty o inverzi série lze získat výraz pro Taylorovu řadu ; konverguje v blízkosti nuly pro : $|z|<{\tfrac {1}{e}}$

W_{0}(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}\ x^{n }=xx^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}} x^{5}-\cdots .

Pomocí integrace po částech můžeme najít integrál W(z):

\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\vpravo)+C.

Hodnoty v některých bodech

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}

W(-1)\cca -0,31813+1,33723i

W\left(-{1 \over e}\right)=-1

W\left(-{\frac {\ln a}{a))\right)=-\ln a

, v

{\frac {1}{e}}\leq a\leq e

W(0)=0

W(e)=1

W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329

( Konstantní Omega )

Vzorce

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

${\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)))\right)^{n))$

$\ln W(x)=\ln xW(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)))\vpravo)\ vpravo),\,x>0,y>0$

Řešení rovnic pomocí W-funkce

Řešení mnoha transcendentálních rovnic lze vyjádřit ve formě W-funkce.

Příklad: $x^{x}=z$

\ln z=x\ln x=e^{{\ln x}}\,\ln x

, tedy .

x=e^{{W(\ln z)}}

Příklad: $2^{x}=5x$

1=5x\cdot 2^{{-x}}=5x\,e^{{-x\ln 2}}

Označte , potom , odtud a nakonec . $y=-x\ln 2$ $y\,e^{y}={-\ln 2 \over 5}$ $y=W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$ $x=-{1 \over \ln 2}W\left({-\ln 2 \over 5}\right)$

Zobecněné aplikace Lambertovy W-funkce

Standardní Lambertova W-funkce ukazuje přesná řešení transcendentálních algebraických rovnic ve tvaru:

e^{{-cx}}=a_{o}(xr)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

kde a 0 , ca r jsou reálné konstanty. Řešením takové rovnice je . Následují některé ze zobecněných aplikací Lambertovy W-funkce: [2] [3] [4] ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )))$

Tato funkce může být použita v obecné relativitě a v kvantové mechanice ( kvantová gravitace ) v nižších dimenzích. Časopis Classical and Quantum Gravity [5] představil dříve neznámou souvislost mezi těmito dvěma pojmy, kde se pravá strana rovnice stává kvadratickým polynomem v proměnné x :

e^{{-cx}}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

a kde konstanty r 1 a r 2 jsou kořeny tohoto kvadratického polynomu. V tomto případě je řešením této rovnice funkce s argumentem x a r i a a o jsou parametry této funkce. Z tohoto pohledu se tato zobecněná aplikace Lambertovy W-funkce sice podobá hypergeometrické funkci a funkci „Meijer G“, ale patří k jinému typu funkce. Když r 1 = r 2 , pak lze obě strany rovnice (2) zjednodušit na rovnici (1), a tak je celkové řešení zjednodušeno na standardní W-funkci. Rovnice (2) ukazuje konstitutivní vztahy v dilatačním skalárním poli , z čehož vyplývá řešení problému měření lineární gravitace párových těles v rozměrech 1 + 1 (měření prostoru a času) v případě nestejných hmotností, jakož i jako řešení úlohy dvourozměrné stacionární Schrödingerovy rovnice s potenciálem ve tvaru Diracovy delta funkce pro nestejné náboje v jedné dimenzi.

Tato funkce může být použita k řešení konkrétního problému vnitřních energií kvantové mechaniky, který spočívá v určení relativního pohybu tří těles, konkrétně trojrozměrného molekulárního vodíkového iontu [6] [7] . V tomto případě se nyní pravá strana rovnice (1) (nebo (2)) stane poměrem dvou nekonečných polynomů v proměnné x :

e^{{-cx}}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{{i=1}}^({\infty }}(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{{i=1}}^{{\infty }}(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

kde r i a s i jsou konstanty a x je funkce mezi vnitřní energií a vzdáleností uvnitř jádra R. Rovnice (3), stejně jako její zjednodušené formy vyjádřené v rovnicích (1) a (2), jsou typ diferenciálních rovnic se zpožděním .

Aplikace Lambertovy W-funkce v základních fyzikálních problémech nejsou omezeny na standardní rovnici (1), jak se nedávno ukázalo v oblastech atomové, molekulární a optické fyziky [8] .

Výpočet

$W$ -funkci lze přibližně vypočítat pomocí vztahu opakování [1] :

w_{{j+1}}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{{w_{j}}}}-z}{e^{{w_{j}}}(w_{j }+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{{w_{j))}-z)}{2w_{j}+2))))

Příklad programu v Pythonu :

importovat matematiku def lambertW ( x , prec = 1e-12 ): w = 0 pro i v rozsahu ( 100 ): wTimesExpW = w * math . exp ( w ) wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * math . exp ( w ) w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 )) if prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): break if prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): raise Exception ( "W(x) nekonverguje dostatečně rychle pro x= %f " % x ) return w

Pro přibližný výpočet můžete použít vzorec [9] : !!!Výše uvedená funkce je podobná, ale liší se o více než 10% od funkce Lambert

W(x)\cca \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{, }04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matice }}\že jo.

Odkazy

↑ 1 2 Corless et al. Na funkci Lambert W (neurčité) // Adv. Computational Maths .. - 1996. - V. 5 . - S. 329-359 . Archivováno z originálu 18. ledna 2005.
↑ T.C. Scott, R.B. Mann. Obecná teorie relativity a kvantová mechanika: Ke zobecnění Lambertovy W funkce (anglicky) // AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) : journal. - 2006. - Sv. 17 , č. 1 . - str. 41-47 . - doi : 10.1007/s00200-006-0196-1 .
↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst. Asymptotická řada Generalized Lambert W Function // SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation) : journal . - 2013. - Sv. 47 , č. 185 . - str. 75-83 .
↑ T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W. Z. Zhang. Číslice zobecněné Lambertovy W funkce (neurčité) // SIGSAM. - 2014. - T. 48 , č. 1/2 . - S. 42-56 .
↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, T.C. Scott. N-body Gravity and the Schrödinger Equation (anglicky) // Classical and Quantum Gravity : journal. - 2007. - Sv. 24 , č. 18 . - S. 4647-4659 . - doi : 10.1088/0264-9381/24/18/006 .
↑ T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst. Nový přístup pro elektronické energie molekulárního iontu vodíku // Chem . Phys. : deník. - 2006. - Sv. 324 . - str. 323-338 . - doi : 10.1016/j.chemphys.2005.10.031 .
↑ Maignan, Aude; Scott, TC Vypracování zobecněné Lambertovy W funkce (neurčité) // SIGSAM. - 2016. - T. 50 , č. 2 . - S. 45-60 . - doi : 10.1145/2992274.2992275 .
↑ T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III. Uzlové povrchy vlastních funkcí atomu helia // Phys . Rev. A : deník. - 2007. - Sv. 75 . — S. 060101 . - doi : 10.1103/PhysRevA.75.060101 .
↑ Funkce dvojité přesnosti LAMBERTW(X) Archivováno 2. září 2005 na Wayback Machine v balíčku QCDINS Archivováno 4. dubna 2005 na Wayback Machine