Axiom determinismu

Axiom determinismu je axiom teorie množin , obvykle označovaný jako AD . Tento axiom navrhli v roce 1962 polští matematici Jan Mycielski a Hugo Steinhaus [1] jako náhradu za axiom výběru (zavedený v roce 1904, označovaný AC ). Důvodem pro hledání alternativy k axiomu volby byly neobvyklé důsledky tohoto axiomu, které vyvolaly a nadále způsobují kritiku ze strany některých matematiků. Například v případě aplikace axiomu volby vznikají paradoxní konstrukce, jako je „ paradox zdvojnásobení míče “. Mnoho matematiků poznamenalo, že množiny, jejichž existence je dokázána pomocí axiomu výběru, postrádají individualitu v tom smyslu, že nemůžeme vyčerpávajícím způsobem popsat jejich složení kvůli nedostatku jasného algoritmu výběru [2] .

V klasických odvětvích matematiky ( teorie čísel , kalkul atd.) se nahrazením AC za AD nic nemění, ale v teorii množin a topologii se důsledky axiomu determinismu v mnoha případech výrazně liší od axiomu volby. způsoby. Například z AD vyplývá , že všechny množiny reálných čísel jsou měřitelné, problém kontinua je řešen jednoznačně (neexistují žádné střední kardinality) a nevzniká paradox zdvojení koule.

Axiom determinismu již svou existencí vzbudil velký zájem mezi specialisty na základy matematiky, věnuje se mu mnoho publikací [3] , zejména v oblasti deskriptivní teorie množin . Podle zastánců tohoto axiomu se nyní situace v teorii množin podobá situaci po objevu neeuklidovské geometrie – lze uznat, že neexistuje jedna teorie množin, ale minimálně dvě, a otázka, která z nich je správné, nemá smysl. Zastánci také poznamenávají, že teorie množin založená na axiomu determinismu je více v souladu s matematickou intuicí než na axiomu výběru [2] [4] .

Deterministické hry

Axiom determinismu lze nejsnáze definovat v termínech nikoli teorie množin , ale teorie her [5] . Uvažujme nějakou (pevnou) množinu A sestávající z nekonečných posloupností přirozených čísel (takové posloupnosti tvoří topologický Baerův prostor ).

Pojďme definovat hru pro dvě osoby s následujícími pravidly. Hráč I, který začíná hru, napíše přirozené číslo , hráč II, který tento tah zná, napíše číslo , poté pokračuje ve vytváření nějaké posloupnosti - hráč I volí své sudé prvky, hráč II - liché. Hra trvá neomezeně, ale její výsledek se vyhlašuje podle následujícího pravidla: je-li vytvořená posloupnost obsažena v dané množině A, pak vyhrál hráč I, v opačném případě hráč II. $G_{A}$ $a_{0}.$ $a_{1}.$

Je snadné vidět, že pokud je množina A konečná nebo spočetná, pak má hráč II jednoduchou vítěznou strategii — na i- tém tahu (kde je liché, ) zvolte číslo, které se neshoduje s i-tým prvkem i -tá posloupnost množiny A ("diagonální metoda"). Výsledná sekvence se pak jistě nebude shodovat s žádným prvkem množiny A. Dále se předpokládá, že v obecném případě má každý hráč svou vlastní strategii, to znamená, že existuje jasný algoritmus, který udává další číslo pro každý fragment množiny vygenerovanou sekvenci (včetně počáteční, prázdné). $n$ $n$ $n=2m+1$ $n$ $m$

Strategie hráče I se nazývá vítězná , pokud pro jakýkoli počáteční fragment (pokud fragment není prázdný, pak lichý), ve kterém byl každý člen se sudým indexem určen touto strategií, dokáže najít takovou , že konečná nekonečná posloupnost ( tvořená jakýmikoli odpověďmi hráče II) patří do sady A. Vítězná strategie pro hráče II je definována podobně — musí navrhnout čísla, která nakonec zabrání soupeři vytvořit výsledek zahrnutý do sady A. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\tečky a_{n))$ $n$ $a_{{n+1}}$

Sada A (a odpovídající hra ) se nazývá deterministická , pokud má jeden z hráčů vítěznou strategii. $G_{A}$

Z pravidel hry je jasné, že situace, kdy oba hráči mají vítěznou strategii, je nemožná. Je také jasné, že přítomnost vlastnosti determinismu závisí na množině A. Výše je příklad, kdy je hra jistě deterministická (pokud je množina A konečná nebo spočetná). Vlastnost determinismu tedy ve skutečnosti nemá herní, ale množinově teoretický charakter [6] .

Prohlášení o axiomu determinismu

Libovolná množina A je deterministická.

Během studia tohoto axiomu se objevily jeho upravené verze:

Axiom reálného determinismu je posílená verze pro množiny kontinua.
Axiom AD+ je další posílená verze.
Axiom projektivního determinismu je speciální variantou pro projektivní množiny.

Srovnání mezi axiomem determinismu a axiomem volby

Dále, obecně přijímaná axiomatika Zermelo-Fraenkel teorie množin (zkráceně jako ZF ) je implikována skrz . Z axiomu determinismu vyplývá (pro obor reálných čísel) axiom spočetného výběru , na kterém jsou založeny základní věty matematické analýzy . Proto je nový axiom kompatibilní s klasickou matematikou. Je však neslučitelná s úplným axiomem volby — bylo dokázáno [6] , že pomocí axiomu volby lze sestrojit nedeterministickou množinu A, která axiomu determinismu přímo odporuje.

Mnoho důsledků konkurenčních axiomů v teorii množin a topologii je protikladných. Pomocí axiomu výběru je dokázáno, že existují množiny reálných čísel , která nejsou měřitelná ve smyslu Lebesguea ; z axiomu determinismu vyplývá, že takové množiny neexistují — všechny množiny reálných čísel jsou měřitelné. Problém kontinua je řešen odlišně (existence mezilehlých mocnin mezi spočetnými a spojitými ) - Zermelo-Fraenkelova axiomatika umožňuje libovolnou ze dvou možností řešení tohoto problému (tj. nelze ji ani dokázat, ani vyvrátit), zatímco z axiom determinismu je odvozeno jedinečné řešení: jakákoli nekonečná nespočetná množina reálných čísel je spojitá. Existuje také řada dalších rozdílů: axiom determinismu umožňuje zcela uspořádat nikoli libovolné, ale pouze konečné a spočetné množiny, nestandardní analýza ztrácí opodstatnění [7] . Výše zmíněná deskriptivní množinová teorie je obzvláště špatně v souladu s axiomem výběru – mnohé z hypotéz předložených v této teorii, stejně jako hypotéza kontinua, se ukázaly jako nerozhodnutelné, zatímco axiom determinismu umožňuje tyto hypotézy rigorózně dokázat; to vysvětluje velký zájem o tento axiom ze strany matematiků, kteří studují deskriptivní teorii množin [8] .

Poznámky

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. (1962). Matematický axiom odporující axiomu výběru. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mahematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , str. 3, 4.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. 5, 15.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 29.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , str. 33-35.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 51.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. čtyři.

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — M .: Nauka, 1977. — 368 s. — Kapitola 3, § 4.
Kanovey VG Axiom volby a axiom determinismu. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Problémy vědy a technického pokroku).
Kanovei VG Axiom determinismu a moderní vývoj deskriptivní teorie množin // Itogi Nauki i Tekhniki. Řada: Algebra. Topologie. Geometrie. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Referenční kniha o matematické logice. Část II. Teorie množin = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss.- M .: Nauka , 1983. - 392 s.
Kleinberg EM Nekonečná kombinatorika a axiom determinovanosti. — Berlín: Springer, 1977.
Martin DA Axiom determinovanosti a principy redukce v analytické hierarchii // Bull. amer. Matematika. soc. - 1968. - Sv. 74, č. 4. - S. 687-689.
Moschovakis YM Deskriptivní teorie množin. - Amsterdam: Severní Holandsko, 1980.