Teorie množin

Teorie množin je odvětví matematiky , které studuje obecné vlastnosti množin – soubory prvků libovolné povahy, které mají nějakou společnou vlastnost. Vytvořil ji ve druhé polovině 19. století Georg Cantor za významné účasti Richarda Dedekinda , přinesl do matematiky nové chápání podstaty nekonečna , hluboké spojení mezi teorií a formální logikou bylo objeveno , nicméně již v r. konec 19. - začátek 20. století se teorie potýkala se značnými obtížemi v podobě vznikajících paradoxů , proto je původní podoba teorie známá jako naivní teorie množin . Ve 20. století se teorie dočkala výrazného metodologického rozvoje, vzniklo několik variant axiomatické teorie množin poskytujících univerzální matematické nástroje, v souvislosti s problematikou měřitelnosti množin byla pečlivě rozpracována deskriptivní teorie množin .

Teorie množin se stala základem mnoha odvětví matematiky - obecná topologie , obecná algebra , funkcionální analýza a měla významný dopad na moderní chápání předmětu matematiky [1] . V první polovině 20. století byl přístup teorie množin zaveden do mnoha tradičních odvětví matematiky, a proto se stal široce používán ve výuce matematiky, a to i ve školách. Využití teorie množin pro logicky bezchybnou konstrukci matematických teorií je však komplikováno tím, že sama potřebuje odůvodnit své metody uvažování. Navíc všechny logické obtíže spojené s ospravedlněním matematické nauky o nekonečnu se při přechodu k hledisku obecné teorie množin stávají vyhrocenějšími [2] .

Počínaje druhou polovinou 20. století se představa o významu teorie a jejím vlivu na vývoj matematiky znatelně snížila v důsledku poznání, že v mnoha oblastech matematiky je možné získat poměrně obecné výsledky i bez explicitní využití jejího aparátu, zejména pomocí kategoriálně-teoretizujících nástrojů (pomocí kterých v teorii toposu zobecňuje téměř všechny varianty teorie množin). Přesto se zápis teorie množin stal obecně uznávaným ve všech odvětvích matematiky, bez ohledu na použití přístupu teorie množin. Na ideologickém základě teorie množin vzniklo na konci 20. století několik zobecnění , včetně teorie fuzzy množin, teorie více množin (používaná především v aplikacích), teorie semimnožin (rozvinutá především českými matematiky).

Klíčové pojmy teorie : množina (množina objektů libovolné povahy), vztah příslušnosti prvků k množině, podmnožina , operace na množinách , zobrazení množin , korespondence jedna ku jedné , mocnina ( konečná , spočetná , nespočet ), transfinitní indukce .

Historie

Pozadí

Množiny, včetně nekonečných, se implicitně objevily v matematice již od starověkého Řecka : například v té či oné formě byly uvažovány inkluzní vztahy množin všech racionálních , celých , přirozených , lichých, prvočísel . Počátky myšlenky rovnosti množin nacházíme u Galilea : když diskutuje o korespondenci mezi čísly a jejich čtverci , upozorňuje na nepoužitelnost axiomu „celek je větší než část“ na nekonečné objekty ( Galileo paradox ) [3] .

První představa o skutečně nekonečné množině je připisována Gaussově práci z počátku 19. století, publikované v jeho " Aritmetických výzkumech " [4] , ve kterém, zavedením srovnání na množině racionálních čísel, objevuje třídy ekvivalence (třídy zbytků ) a rozdělí celou množinu na tyto třídy, přičemž si všímá jejich nekonečnosti a vzájemné korespondence, považuje nekonečnou množinu řešení za jedinou množinu, klasifikuje binární kvadratické formy ( ) v závislosti na determinantu a považuje tuto nekonečnou množinu tříd za nekonečné množiny objektů nenumerického charakteru, naznačuje možnost výběru z tříd ekvivalence pro jeden objekt - zástupce celé třídy [5] : využívá metody charakteristické pro přístup teorie množin, explicitně nepoužívané v matematice až do 19. století. V pozdějších dílech Gauss, uvažující o množině komplexních čísel s racionálními reálnými a imaginárními částmi, hovoří o reálných, kladných, záporných, čistě imaginárních celých číslech jako o jejích podmnožinách [6] . Gauss však explicitně nevyčlenil nekonečné množiny nebo třídy jako nezávislé předměty studia, navíc se Gauss vyjádřil proti možnosti použití skutečného nekonečna v matematických důkazech [7] . $ax + b \equiv 0 \pmod n$ $ax^2 + 2bxy + cy^2$

Jasnější představa o nekonečných množinách se objevuje v dílech Dirichletových , v průběhu přednášek z let 1856-1857 [8] , vybudovaných na základě Gaussových „Aritmetických výzkumů“. V dílech Galoise , Schomanna a Serreta o teorii funkčních komparace z let 1820-1850 jsou nastíněny i prvky množinově teoretického přístupu, které zobecnil Dedekind v roce 1857, který výslovně formuloval jako jeden ze závěrů nutnost považovat celý systém nekonečně mnoha srovnatelných čísel za jediný objekt, jehož obecné vlastnosti jsou stejně vlastní všem jeho prvkům, a přirovnává systém nekonečně mnoha nesrovnatelných tříd k řadě celých čísel [9] . Samostatné koncepty teorie množin lze nalézt v pracích Steinera a Staudta z let 1830-1860 o projektivní geometrii : téměř celý předmět do značné míry závisí na pojmu korespondence jedna ku jedné , která je klíčem k teorii množin, nicméně, v projektivní geometrii byly další korespondence superponovány na taková korespondenční omezení (zachování některých geometrických vztahů ). Steiner zejména výslovně zavádí pojem nepočitatelné množiny pro množinu bodů na přímce a množinu paprsků v tužce a operuje s jejich nepočitatelnými podmnožinami a v práci z roku 1867 zavádí pojem mohutnosti jako charakteristiku množin, mezi nimiž je možné založit projektivní korespondenci (Kantor později poukázal na to, že samotný pojem a termín si vypůjčil od Steinera, zobecňující projektivní korespondenci na jedna ku jedné) [10] .

Reprezentace nejbližší Cantorově naivní teorii množin jsou obsaženy v dílech Bolzana [11] , především v díle "Paradoxes of the Infinite" , vydaném po autorově smrti v roce 1851 , ve kterém jsou libovolné číselné množiny uvažováno a pro jejich srovnání je explicitně definován pojem korespondence jedna ku jedné a poprvé je v této práci systematicky použit i samotný pojem "set" ( německy menge ). Bolzanova práce je však více filozofická než matematická, konkrétně neexistuje jasné rozlišení mezi mocností množiny a pojmem velikosti nebo řádu nekonečna a v těchto reprezentacích neexistuje žádná formální a integrální matematická teorie [12] . Konečně, teorie reálného čísla Weierstrasse , Dedekinda a Mérého , vytvořené koncem 50. let 19. století a publikované na počátku 60. let 19. století, mají mnoho společného s myšlenkami naivní teorie množin v tom smyslu, že kontinuum považují za množinu vytvořenou z racionálních a iracionálních bodů [13] .

Naivní teorie množin

Hlavním tvůrcem teorie množin v její naivní verzi je německý matematik Georg Cantor , práce z let 1870-1872 o vývoji teorie trigonometrických řad (navazující na Riemannovy práce ) podnítily vytvoření abstrakce bodové množiny, ve kterém zavádí pojem limitní bod , blízký modernímu [14] a snaží se s jeho pomocí klasifikovat "výjimečné množiny" (množiny bodů divergence řady, případně nekonečné) [15] . V roce 1873 se Cantor začal zajímat o otázky ekvivalence množin, objevil spočetnost množiny racionálních čísel a negativně otázku ekvivalence množin celých a reálných čísel (poslední výsledek byl publikován v roce 1874 u naléhání Weierstrasse [16] [17] V roce 1877 Kantor dokazuje osobní korespondenci mezi a (pro všechny ) Cantorem sdílí své první výsledky v korespondenci s Dedekindem a Weierstrassem, kteří odpovídají příznivou kritikou a komentáři k důkazům a od roku 1879 do roku 1884 publikuje šest článků v Mathematische Annalen s výsledky zkoumání nekonečných bodových množin [18] [19] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n>0$

V roce 1877 Dedekind publikoval článek „O počtu tříd ideálů konečného pole“, ve kterém explicitně symbolicky operuje s množinami – pole , moduly , ideály , prstence a používá pro ně inkluzní vztah (pomocí znaků „ <" a ">") , operace sjednocení (se znaménkem "+") a průnik (s infixem "−"), a navíc vlastně přichází k algebře množin, což naznačuje dualitu operací spojení a průniku, v Dedekindově zápisu:

(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C))

(AB)+(AC) = A - (B + (AC))

ve svých následujících pracích tento výsledek opakovaně používá [20] . V publikaci z roku 1878 o ekvivalenci kontinuí různých čísel dimenzí používá Kantor operace teorie množin s odkazem na dílo Dedekinda. Kromě toho byl ve stejné práci poprvé výslovně představen koncept mohutnosti množiny, byla prokázána spočetnost jakékoli nekonečné podmnožiny spočetné množiny a konečná tělesa algebraických čísel byla navržena jako příklady spočetných sady. Kantorův výsledek o ekvivalenci kontinuí různého počtu rozměrů vzbudil širokou pozornost matematiků a již v témže roce následovalo několik prací ( Lurot , Thomé , Netto ) s neúspěšnými pokusy dokázat nemožnost současné kontinuity a individuálním mapováním kontinuí různých dimenzí [ 21] (přesný důkaz této skutečnosti podal Brouwer v roce 1911).

V roce 1880 Cantor formuloval dvě klíčové myšlenky teorie množin – koncept prázdné množiny a metodu transfinitní indukce . Od roku 1881 začali Cantorovy metody používat i další matematici: Volterra , Dubois-Reymond , Bendixon , Harnack , a to především v souvislosti s otázkami integrovatelnosti funkcí [22] . V práci z roku 1883 podává Cantor historicky první formální definici kontinua pomocí jím zavedených pojmů dokonalé množiny a hustoty množiny (které se liší od moderních používaných v obecné topologii , ale v zásadě jsou podobné a také konstruuje klasický příklad nikde husté dokonalé množiny (známá jako Cantorova množina ) [23] a také explicitně formuluje hypotézu kontinua (předpoklad nepřítomnosti mezilehlých mocnin mezi spočetnou množinou a kontinua, jeho neprokazatelnost v rámci ZFC ukázal Cohen v roce 1963 ).

V letech 1885-1895 se práce na vytvoření naivní teorie množin rozvíjely především v dílech Dedekinda (Kantor publikoval během těchto 10 let kvůli nemoci pouze jednu malou práci). Takže v knize "Co jsou čísla a k čemu slouží?" [24] (kde byla také poprvé zkonstruována axiomatizace aritmetiky, známá jako Peanova aritmetika ) systematicky prezentoval výsledky tehdejší teorie množin v největší obecnosti - pro množiny libovolné povahy (ne nutně numerické), nekonečné množina je definována jako jedna ku jedné s částí sebe sama, poprvé formulována Cantor-Bernsteinova věta [25] , popsána množinová algebra a stanoveny vlastnosti operací teorie množin [26] . Schroeder v roce 1895 upozorňuje na shodu množinové algebry a výrokového počtu , čímž vytváří hluboké spojení mezi matematickou logikou a teorií množin.

V letech 1895-1897 Kantor publikoval cyklus dvou prací, které celkově završily vytvoření naivní teorie množin [27] [28] .

Od počátku 80. let 19. století, především po zveřejnění myšlenek o transfinitní indukci, se množinový přístup setkal s ostrým odmítnutím mnoha významných matematiků té doby, hlavními odpůrci byli v té době Hermann Schwartz a v největší míře Leopold Kronecker , který věřil, že pouze přirozená čísla a to, co je na ně přímo redukováno, lze považovat za matematické objekty (je známá jeho věta, že „Bůh stvořil přirozená čísla a vše ostatní je dílem lidských rukou“ ). Mezi teology a filozofy se rozvinula vážná diskuse o teorii množin, většinou kritizující myšlenky skutečného nekonečna a kvantitativních rozdílů v tomto pojetí [29] . Nicméně koncem 90. let 19. století se teorie množin stala všeobecně uznávanou, z velké části díky zprávám Hadamarda a Hurwitze na prvním mezinárodním kongresu matematiků v Curychu ( 1897 ), které ukázaly příklady úspěšného použití teorie množin v analýze . , stejně jako rozšířené používání teoretické sady nástrojů od [30]Hilberta .

Paradoxy

Neostrost konceptu množiny v naivní teorii, která umožňovala konstrukci množin pouze na základě sběru všech objektů, které mají nějakou vlastnost, vedla k tomu, že v období 1895-1925 došlo k výrazné řadě rozporů. Když byl objeven, který vrhal vážné pochybnosti na možnost využití teorie množin jako základního nástroje, situace se stala známou jako „ krize základů matematiky “ [31] .

Rozpor, ke kterému vede úvaha o množině všech řadových čísel , poprvé objevil Cantor v roce 1895 [32] , znovu objevil a poprvé publikoval Burali-Forti ( italsky: Cesare Burali-Forti ) v roce 1897 a stal se známým jako Burali -Fortiho paradox [33] . V roce 1899 v dopise Dedekindovi Cantor poprvé hovořil o nekonzistentnosti vesmíru jako množiny všech množin, protože množina všech jeho podmnožin by musela být sama sobě ekvivalentní, nesplňující princip [34] , později se tato antinomie stala známou jako Cantorův paradox . V další korespondenci Kantor navrhl zvážit vlastní množiny ( německy mengen ), které lze považovat za jeden objekt, a „variety“ ( vielheiten ) pro složité struktury v té či oné formě, tato myšlenka se odrazila v některých pozdějších axiomatizacích. a zobecnění [35] . $\mathfrak m < 2^{\mathfrak m}$

Nejvýznamnější kontroverzí, která ovlivnila další vývoj teorie množin a základů matematiky obecně, byl Russellův paradox , objevený kolem roku 1901 Bertrandem Russellem a publikovaný v roce 1903 v monografii Základy matematiky . Podstata paradoxu spočívá v rozporu při zvažování otázky, zda množina všech množin, která sama sebe nezahrnuje, patří jí samé. Zhruba ve stejné době se navíc objevil objev takových antinomií, jako je Richardův paradox , Berryho paradox a Grelling-Nelsonův paradox , které ukazují rozpory při pokusu o použití autoreference vlastností prvků při konstrukci množin, datuje se do roku přibližně ve stejnou dobu.

V důsledku pochopení paradoxů, které se objevily v komunitě matematiků, se objevily dva směry k řešení vzniklých problémů: formalizace teorie množin výběrem systému axiomů , který zajišťuje konzistenci při zachování instrumentální síly teorie. , druhým je vyloučení všech konstrukcí a metod, které nejsou přístupné intuitivnímu porozumění, z úvahy. V rámci prvního směru, který zahájili Zermelo , Hilbert , Bernays , Hausdorff , vzniklo několik variant axiomatické teorie množin a hlavní rozpory byly překonány spíše umělými omezeními. Druhý trend, jehož byl Brouwer hlavním mluvčím , dal vzniknout novému trendu v matematice – intuicionismu , a do té či oné míry jej podporovali Poincaré , Lebesgue , Borel , Weyl .

Axiomatické teorie množin

První axiomatizaci teorie množin publikoval Zermelo v roce 1908 , ústřední roli při odstraňování paradoxů v tomto systému měl sehrát „Axiom výběru“ ( německy: Aussonderung ), podle kterého lze vlastnost vytvořit pouze z nastavit , pokud vztah tvaru vyplývá z [35] . V roce 1922 se díky práci Skolema a Frenkela konečně zformoval systém založený na Zermelových axiomech, včetně axiomů objemu , existence prázdné množiny , dvojice , součtu , stupně , nekonečna a s variantami s a bez axiom volby . Tyto axiomy jsou nejrozšířenější a jsou známé jako Zermelo-Fraenkelova teorie , systém s axiomem výběru se označuje ZFC, bez axiomu výběru - ZF. $P(x)$ $\{ x \mid P(x) \}$ $P(x)$ $x\v A$

Zvláštní role axiomu výběru je spojena s jeho intuitivní nesamozřejmostí a záměrnou absencí efektivního způsobu určování souboru sestaveného z prvků rodiny. Zejména Borel a Lebesgue věřili, že důkazy získané jeho aplikací mají odlišnou kognitivní hodnotu než důkazy na něm nezávislé, zatímco Hilbert a Hausdorff to bezpodmínečně akceptovali a uznávali pro něj neméně stupeň důkazu jako pro jiné axiomy ZF [36] . ] .

Další populární verze axiomatizace teorie množin byla vyvinuta von Neumannem v roce 1925 , formalizovaná ve 30. letech 20. století Bernaysem a zjednodušená Gödelem v roce 1940 (ve své práci o dokazování nezávislosti hypotézy kontinua na axiomu výběru). konečná verze vešla ve známost jako systém axiomů von Neumann-Bernays-Gödel a označení NBG [37] .

Existuje řada dalších axiomatizací, mezi nimi systém Morse-Kelly (MK), systém Kripke-Platek a systém Tarski-Grothendieck .

Deskriptivní teorie množin

Na počátku 20. století byly v dílech Lebesgue , Baer , Borel zkoumány otázky měřitelnosti souborů . Na základě těchto prací byla v letech 1910-1930 vyvinuta teorie deskriptivních množin , která systematicky studuje vnitřní vlastnosti množin konstruovaných množinově teoretickými operacemi z objektů relativně jednoduché povahy - otevřených a uzavřených množin euklidovského prostoru. , metrické prostory , metrizovatelné topologické prostory s počitatelnou bází . Hlavní příspěvek k vytvoření teorie měli Luzin , Alexandrov , Suslin , Hausdorff . Od 70. let 20. století byla vyvinuta zobecnění deskriptivní teorie množin na případ obecnějších topologických prostorů .

Základní pojmy

Teorie množin je založena na primárních pojmech: množina a příslušnost k množině (označuje se [38] - „ je prvkem množiny “, „ patří do množiny “). Prázdná množina je obvykle označena symbolem - množina, která neobsahuje jediný prvek. Podmnožina a nadmnožina jsou vztahy zahrnutí jedné množiny do jiné (označují se v tomto pořadí a pro nepřísné začlenění a pro striktní začlenění ). $x\v A$ $X$ $A$ $X$ $A$ $\varno nic$ $A\subseteq B$ $A \supseteq B$ $A\podmnožina B$ $A \supset B$

Na sadách jsou definovány následující operace:

union , označovaný jako — množina obsahující všechny prvky z a , $A\pohár B$ $A$ $B$
rozdíl označovaný jako , méně často -- množina prvků , které nejsou zahrnuty v , $A\setminus B$ $A-B$ $A$ $B$
sčítání , označované jako nebo - množina všech prvků, které nejsou zahrnuty (v systémech používajících univerzální sadu ), $\setminus A$ $-A$ $A$
průnik , označovaný jako — sada prvků obsažených v obou , a v , $A\cap B$ $A$ $B$
symetrický rozdíl , označovaný jako , méně často - množina prvků obsažených pouze v jedné z množin - nebo . $A\bigtriangleup B$ $A\;\;\!\!{\tečka {-}}\;\;\!\!B$ $A$ $B$

Sjednocení a průnik jsou také často považovány za rodiny množin, označované a , a tvoří, v tomto pořadí, spojení všech množin v rodině a průnik všech množin v rodině. $\bigcup \mathfrak A$ $\bigcap \mathfrak A$ $\mathfrak A$

Spojení a průnik jsou komutativní , asociativní a idempotentní . V závislosti na volbě systému axiomů a přítomnosti doplňků může algebra množin (s ohledem na sjednocení a průnik) tvořit distributivní mříž , kompletní distributivní mříž, Booleovu algebru . Vennovy diagramy se používají k vizualizaci operací na množinách .

Kartézský součin množin a je množinou všech uspořádaných dvojic prvků z a : . Zobrazení množiny do množiny teorie množin je považováno za binární relaci - podmnožinu - s podmínkou jednoznačnosti korespondence prvního prvku s druhým: . $A$ $B$ $A$ $B$ $A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}$ $F$ $A$ $B$ $A\krát B$ $(x, y) \in f \Šipka doprava \forall z \neq y ((x,z) \notin f)$

Boolean je množina všech podmnožin dané množiny, označená nebo (protože odpovídá množině zobrazení od do ). $\mathcal P (A)$ $2^A$ $A$ $\mathbf{2} = \{ 0,1\}$

Síla množiny (hlavní číslo) je charakteristika počtu prvků množiny, formálně definovaná jako třída ekvivalence nad množinami, mezi nimiž může být stanovena vzájemná korespondence, označená nebo . Mohutnost prázdné množiny je nulová, u konečných množin je to celé číslo rovné počtu prvků. Nad kardinálními čísly, včetně těch, která charakterizují nekonečné množiny, lze vytvořit uspořádaný vztah , kardinalita počitatelné množiny se označuje ( Aleph je první písmeno hebrejské abecedy), je nejmenší z mohutností nekonečných množin, mohutnost kontinuum je označeno nebo , hypotéza kontinua je předpoklad, že mezi počítací mocninou a mocninou kontinua nejsou žádné mezilehlé mocniny. [39] $|A|$ $\ostrý A$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\aleph_0}$

Jestliže kardinální číslo charakterizuje třídu ekvivalence množin s ohledem na možnost ustavení korespondence jedna ku jedné, pak ordinální číslo (ordinální číslo) charakterizuje třídy ekvivalence dobře uspořádaných množin s ohledem na bijektivní korespondence, které zachovávají plnou objednávkový vztah. Ordinály se konstruují tak, že se zavede aritmetika řadových čísel (s operacemi sčítání a násobení), ordinální počet konečných množin se shoduje s kardinálem (označí se odpovídajícím přirozeným číslem), řadové číslo množiny všech přirozených čísel s přirozený řád je označen jako , pak jsou čísla konstruována: $\omega$

\omega + 1, \omega + 2, \dots, \omega \cdot 2, \omega \cdot 2 + 1, \dots, \omega ^2, \dots \omega ^\omega, \tečky, \omega^{ \omega^\omega}, \tečky,

po kterém se zadávají -čísla : $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \tečky \}

Množina všech - a -číslic - spočítatelných ordinálních čísel - má mohutnost . [40] $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$

Zobecnění

Prostřednictvím teorie kategorií , která je často z instrumentálního i didaktického hlediska proti teorii množin, vytvořili Lover a Tierney ( Ing. Miles Tierney ) v roce 1970 teorii toposu , jím zkoumaný objekt - elementární topos - je postaven na princip podobnosti s chováním množin v teoretickém chápání množin, elementární topoi dokázaly reprezentovat téměř všechny verze teorie množin.

Teorie fuzzy množin je rozšířením teorie množin, kterou v 60. letech minulého století navrhl Lotfi Zadeh [41] v rámci konceptu fuzzy logiky , ve fuzzy teorii namísto vztahu příslušnosti prvků k množině funkce příslušnosti s hodnotami v intervalu se uvažuje : prvek zjevně nepatří do množiny, pokud je jeho funkční příslušnost rovna nule, jednoznačně patří - pokud do jedné, v ostatních případech je vztah příslušnosti považován za fuzzy. Používá se v teorii informace , kybernetice , informatice . $[0, 1]$

Teorie multimnožin [42] , v aplikaci na teorii Petriho sítí , nazvanou teorie množin, považuje množiny prvků libovolné povahy za základní pojem, na rozdíl od množin, které umožňují přítomnost více instancí téhož prvku, množiny prvků libovolné povahy. relace inkluze je v této teorii nahrazena funkcí počtu výskytů : — celočíselný počet výskytů prvku v multimnožině , při kombinování množin se počet výskytů prvků bere podle maximálního počtu výskytů ( ), při křížení - podle minima ( ) [43] . Používá se v teoretické informatice , umělé inteligenci , teorii rozhodování . $\ostrý(a,A)$ $A$ $A$ $\sharp (a, A_1 \cup A_2) = \max (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2)$ $\sharp (a, A_1 \cap A_2) = \min (\sharp (a, A_1), \sharp (a, A_2)$

Alternativní teorie množin je teorie rozvíjená československými matematiky od 70. let 20. století, především v dílech Petra Vopěnky [ 44 ] , založenána jasné formalizaci množiny jako objektu, induktivně konstruovaného z prázdné množiny a vědomě existujících prvků. , pro vlastnosti objektů, které umožňují jejich zohlednění v celé množině, se zavádí pojem tříd a pro studium podtříd množin se používá pojem polomnožiny .

V kultuře

V 60. a 70. letech 20. století vznikla v rámci hudební teorie vlastní teorie množin , poskytující prostředek pro extrémně zobecněný popis hudebních objektů ( zvuků s jejich výškami , dynamikou , trváním ), vztahu mezi nimi a operace na jejich skupinách (jako je transpozice , léčba ). Souvislost s matematickou teorií množin je však více než nepřímá, spíše terminologická a kulturní: v hudební teorii množin se uvažuje pouze o konečných objektech a nepoužívají se žádné významné výsledky teorie množin nebo významné konstrukce; v mnohem větší míře je do této teorie zapojen aparát teorie grup a kombinatoriky [45] .

Německý designér Binninger ( německy Dieter Binninger ) v roce 1975 také pod více kulturním než věcným vlivem teorie množin vytvořil takzvané „set-teoretické“ hodiny ( německy: Mengenlehreuhr ) (také známé jako Berlínské hodiny, německy : Berlin-Uhr ), zařazený do Guinessovy knihy rekordů jako první zařízení využívající pětinásobný princip k zobrazování času pomocí barevných světelných ukazatelů (první a druhá řada ukazatelů shora ukazuje hodiny, třetí a čtvrtá minuty; každý světelný indikátor odpovídá pěti hodinám v první řadě, jedné hodině ve druhé řadě, pěti minutám ve třetí řadě a jedné minutě ve čtvrté řadě). Hodiny jsou instalovány v berlínském obchodním a kancelářském komplexu Europa-Center .

Poznámky

↑ Teorie množin / P. S. Alexandrov // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978. “ <…> bylo základem řady nových matematických disciplín (teorie funkcí reálné proměnné, obecná topologie, obecná algebra, funkcionální analýza atd.) <…> mělo hluboký dopad na pochopení samotného předmětu matematiky “
↑ Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 382 .
↑ Bourbaki, 1963 , s. 39.
↑ C.F. Gauss . Disquititiones aritmeticae. — Lipsiae , 1801.
↑ Medveděv, 1965 , s. 15-17.
↑ Medveděv, 1965 , s. 22-23.
↑ Medveděv, 1965 , s. 24.
↑ P.G. Lejuen Dirichlet . Vorlesungen über Zahlentheorie. - Braunschweig, 1863. , Dedekind připravil kurz k vydání již po Dirichletově smrti
↑ Medveděv, 1965 , s. 24-27.
↑ Medveděv, 1965 , s. 28-32.
↑ Medveděv, 1965 , s. 74-77.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 39-40.
↑ Medveděv, 1965 , s. 61-67.
↑ Medveděv, 1965 , s. 86-87.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 40.
↑ Medveděv, 1965 , s. 94-95.
↑ Kantor, 1985 , 2. O jedné vlastnosti celku všech algebraických čísel. Originál: Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), str. 258-262, str. 18-21.
↑ Kantor, 1985 , 5. O nekonečných lineárních bodových varietách. Originál: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884), str. 40-141.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 40-41.
↑ Medveděv, 1965 , s. 103-105.
↑ Medveděv, 1965 , s. 107-110.
↑ Medveděv, 1965 , s. 113-117.
↑ Medveděv, 1965 , s. 126-131.
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 s. Archivováno 13. května 2013 na Wayback Machine
↑ Nezávisle prokázáno Ernstem Schroederem a Felixem Bernsteinem v roce 1897
↑ Medveděv, 1965 , 14. "Co jsou čísla a k čemu slouží?" R. Dedekind, str. 144-157.
↑ Kantor, 1985 , 10. K odůvodnění nauky o transfinitních množinách. Originál: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) str. 481-512; bd. 49 (1897), str. 207-246, str. 173-245.
↑ Medveděv, 1965 , 17. Kantorův nový vzestup, s. 171-178.
↑ Medveděv, 1965 , s. 133-137.
↑ Bourbaki, 1963 , „Nikdo nás nemůže vyhnat z ráje, který pro nás vytvořil Cantor,“ říká Hilbert v The Foundations of Geometry, publikovaném v roce 1899, str. 44,49.
↑ Bourbaki, 1963 , Paradoxy teorie množin a krize základů, s. 44-53.
↑ Nepublikováno , hlášeno v dopise Gilbertovi
↑ Medveděv, 1965 , s. 177-179.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 44.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 46.
↑ Kuratovský, Mostovský, 1970 , s. 61.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 46-47.
↑ Symbol (z řeckého εστι - „být“) zavedl Peano . $\v$
↑ Kuratovský, Mostovský, 1970 , s. 176-211, 305-327.
↑ Kuratovský, Mostovský, 1970 , s. 273-303.
↑ L. Zadeh . Fuzzy Sets // Informace a ovládání. - 1965. - Sv. 5 . - str. 338-353 . — ISSN 0019-9958 . - doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . Archivováno z originálu 27. listopadu 2007.
↑ A. B. Petrovský. Prostory množin a multimnožin . - M. : Editorial URSS, 2003. - S. 248. - ISBN 5-7262-0633-9 . Archivováno 24. září 2015 na Wayback Machine
↑ James Peterson. Přehled teorie stavebnic // Teorie Petriho sítí a modelování systémů. - M .: Mir , 1984. - S. 231-235. — 264 s. - 8400 výtisků.
↑ P. Vopenka. Matematika v alternativní teorii množin = Mathematics in The Alternative Set Theory / přeložil A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 s. — (Novinka v cizí matematice). - 6000 výtisků.
↑ M. Schuijer. Analýza atonální hudby: Teorie množin a její kontexty. - Rochester : University Rochester Press, 2008. - 306 s. — ISBN 978-1-58046-270-9 .

Literatura

Axiomatické teorie množin / V. G. Kanovei // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
N. Bourbaki . Základy matematiky. Logika. Teorie množin // Eseje o dějinách matematiky / I. G. Bashmakova (přeloženo z francouzštiny). - M . : Nakladatelství zahraniční literatury , 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Prvky matematiky).
G. Kantor. Práce na teorii množin. - M. : Nauka, 1985. - 430 s. - (Klasika vědy). - 3450 výtisků. .
P. J. Cohen . K základům teorie množin = PJ Cohen, Komentáře k základům teorie množin, Proc. Sym. čistá matematika. 13 :1 (1971), 9-15. // Pokroky v matematických vědách / Yu. I. Manin (překlad). - M. , 1974. - T. XXIX , no. 5 (179) . - S. 169-176 . — ISSN 0042-1316 . (Ruština)
K. Kuratovský , A. Mostovský . Teorie množin / Z angličtiny přeložil M. I. Stručně, upravil A. D. Taimanov. - M .: Mir, 1970. - 416 s.
F. A. Medveděv . Vývoj teorie množin v 19. století. — M .: Nauka, 1965. — 232 s. - 2500 výtisků.
A. Frenkel , I. Bar-Hillel. Základy teorie množin / Překlad z angličtiny Yu. A. Gastev, editoval A. S. Yesenin-Volpin . — M .: Mir, 1966. — 556 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4576377 BNF : 133185505 GND : 4074715-3 J9U : 987007534067605171 LCCN : sh85120387 LNB : 000074139 NDL : 00572365 NKC : ph126563

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"