Nekonečná skupina

Nekonečná grupa  je grupa s nekonečným počtem prvků, na rozdíl od konečných grup . První studie o nekonečných skupinách sahá až do Jordánska (1870).

Topologické skupiny

O nekonečných grupách se často předpokládá, že jsou topologické  — to znamená, že mají topologii shodnou s operacemi násobení a převzetím inverzního prvku. V tomto případě lze rozlišit dvě opačné podtřídy skupin - diskrétní skupiny a spojené skupiny. Příkladem diskrétní nekonečné grupy je nekonečná cyklická grupa s přirozenou, tedy diskrétní, topologií. Příkladem spojené nekonečné grupy je ( ) — konečně-rozměrný vektorový prostor na reálných (nebo komplexních) číslech.

Navíc „diskrétní část“ topologické grupy – tedy skupina jejích spojených komponent – ​​je diskrétní (ne nutně nekonečnou) grupou, zatímco její „spojitá část“ – spojená komponenta identity grupy – je spojená (a také ne nutně nekonečná) skupina . Skupina sama o sobě není zcela definována „diskrétními“ a „souvislými“ složkami, není totiž nutně jejich přímým produktem . Například skupina racionálních čísel je zcela odpojena , a proto je její „souvislá část“ triviální, ale skupina není izomorfní ke své „diskrétní části“ - je spočetná, ale ne diskrétní. Každá profinitní skupina má podobnou vlastnost .

Skupiny lži

Běžně používanou třídou nekonečných topologických grup jsou Lieovy grupy dimenze větší než 0. Volně řečeno jsou to grupy, které lokálně vypadají jako konečnorozměrný reálný (nebo komplexní) vektorový prostor (s dimenzí větší než 0). Přísná definice používá koncept hladké nebo algebraické variety: struktura takové variety musí být zavedena na grupu, takže operace násobení a převzetí inverzního prvku jsou v souladu s touto strukturou.

Příklady Lieových grup (hladké i algebraické zároveň) jsou obecná lineární grupa , tedy grupa reálných matic na s nenulovým determinantem, a její podgrupa, speciální ortogonální grupa , sestávající z ortogonálních matic s determinantem 1 .

V tomto případě je „diskrétní část“ Lieovy grupy (skupina jejích spojených složek) nutně konečná, zatímco „souvislá část“ (souvislá složka jednoty) Lieovy grupy o rozměru větším než 0 na naopak je nekonečný. Avšak Lieova grupa není nutně jejich polopřímý produkt [1] .

Z fyzikálního hlediska

Prvky mnoha nekonečných skupin, se kterými se ve fyzice setkáváme, jsou očíslovány skutečnými parametry , které se neustále mění. Každý prvek g n-parametrické nekonečné grupy lze zapsat jako: , kde  je n reálných čísel. Neexistuje žádná Cayleyova tabulka pro nekonečnou skupinu . Jestliže , pak n parametrů je funkcí parametrů . Analogií Cayleyovy tabulky pro nekonečnou grupu je tedy množina n reálných funkcí, z nichž každá závisí na 2n reálných proměnných . Prvky nekonečné skupiny musí splňovat čtyři obvyklé podmínky pro členství ve skupině:

  1. Produkt jakýchkoli dvou prvků skupiny musí být prvkem skupiny.
  2. Násobení prvků je asociativní: .
  3. Existuje prvek identity skupiny g(1), takže pro všechny g(x)
  4. Každý prvek má jedinečnou inverzní hodnotu, tj. pro každé g(x) existuje jedinečný prvek skupiny , takže .

Z požadavku (2) vyjádřeného funkcemi f(x, y) vyplývá, že pro všechna x, y, z platí rovnost.

Například Lorentzovy transformace tvoří nekonečnou grupu. Prvky této skupiny jsou očíslovány skutečným parametrem - rychlostí inerciální vztažné soustavy. Součin dvou Lorentzových transformací s parametry je Lorentzova transformace s parametrem  - relativistický zákon sčítání rychlosti. [2]

Rotace tuhého tělesa kolem všech možných os procházejících nějakým pevným bodem tvoří nekonečnou skupinu rotací . Prvky této skupiny jsou číslovány sadou reálných čísel - Eulerovými úhly . [3]

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Dekompozice lživých skupin jako polopřímý produkt propojených a diskrétních skupin Archivováno 14. dubna 2019 na Wayback Machine // Math.StackExchange
  2. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teorie grup a fyzika. - M., Nauka, 1986. - str. 95
  3. ↑ Lyubarsky G. Ya. Teorie grup a fyzika. - M., Nauka, 1986. - str. 70-71

Literatura

Odkazy