Binomická věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. ledna 2022; kontroly vyžadují 12 úprav .

Newtonův binom je vzorec pro rozklad celé nezáporné mocniny součtu dvou proměnných na samostatné členy, který má tvar

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{nk}b^{k}={\binom { n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\tečky +{\binom {n}{k}}a^{nk}b^ {k}+\tečky +{\binom {n}{n}}b^{n},

kde jsou binomické koeficienty , je nezáporné celé číslo . ${\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}$ $n$

V této podobě byl tento vzorec známý indickým a perským matematikům; Newton odvodil binomický vzorec pro obecnější případ, kdy exponent je libovolné reálné číslo (později byl rozšířen na komplexní čísla ). V obecném případě je binom nekonečná řada (viz níže).

Příklady:

{\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{ 3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^ {2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{ 3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\end{aligned}}

Pro rychlý rozklad je vhodné použít Pascalův trojúhelník .

Důkaz

Chcete-li násobit závorky, musíte z každé vzít jeden výraz a sečíst všechny výsledné produkty. Chcete-li získat titul , musíte vybrat ze závorek a ze zbývajících vybrat . Na poprvé je na výběr tolik možností, kolik je závorek, tedy . Potom , a tak dále až do -tého kroku. Pro každou variantu se však počítají i všechny její ordinální permutace, jejichž počet je . Normalizací získáme přesně . Níže je důkaz indukcí. $a^{k}b^{nk}$ $k$ $A$ $nk$ $b$ $A$ $n$ $n-1$ $n-k+1$ $k$ $k!$ ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Důkaz

Dokažme Newtonův binomický vzorec indukcí na : $n$

Základ indukce: $n=0$

(a+b)^0=1=\binom{0}{0}a^0b^0

Krok indukce: Nechť je tvrzení pro pravdivé: $n$

(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \vyberte k } a ^ {nk} b ^ {k}

Pak musíme dokázat tvrzení pro : $n+1$

(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \vyberte k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}

Začněme důkazem:

(a+b)^{n+1} = (a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \vyberte k} a ^ { nk} b ^ {k} = \sum_{k=0}^n {n \vyberte k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}}\quad + \quad \sum_{k=0 }^n {n \vyberte k} a ^ {nk} b ^ {k+1}

Výpis z prvního součtu člen u $k = 0$

\sum_{k=0}^n {n \choose k} {a ^ {n - k + 1} b ^ {k}} = a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n { n \vyberte k} a ^ {n - k + 1} b ^ k

Vyberme z druhého součtu člen at $k=n$

\sum_{k=0}^n {n \vyberte k} a ^ {nk} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}{ n \vyberte k}a^{n - k} b ^ {k+1} = b^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \vyberte {k-1}} a^{ n - k + 1}b^{k}

Nyní sečteme převedené součty:

a^{n+1} + \sum_{k = 1}^n {n \vyberte k} a ^ {n - k + 1} b ^ k \quad + \quad b^{n+1} + \sum_ {k = 1}^n {n \vyberte {k-1}} a^{n - k + 1} b ^ {k} = a ^ {n + 1} + b ^ {n + 1} + \sum_ {k = 1}^n \left( {n \vyberte k} + {n \vyberte {k - 1} } \vpravo) a ^ {n - k + 1} b ^ k =

=\sum_{k=0}^0 {n+1 \vyberte k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k \quad + \quad \sum_{k = n + 1}^{n+1} {n+1 \choose k} a^{n + 1- k}b^k \quad + \quad \sum_{k = 1} ^ {n} {n+1 \choose k} a ^ {n + 1 - k} b ^ k= \sum_{k=0}^{n+1} {{n+1} \vyberte k } a ^ {n+1-k} b ^ {k}

Q.E.D. ■

Zobecnění

Newtonův binomický vzorec je speciální případ rozšíření funkce do Taylorovy řady : ${\displaystyle (1+x)^{r))$

(1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k},

kde může být libovolné komplexní číslo (zejména záporné nebo reálné). Koeficienty této expanze zjistíme vzorcem $r$

{\binom {r}{k}}={\frac {1}{k!}}\prod _{n=0}^{k-1}(rn)={\frac {r(r -1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}.

Zároveň číslo

(1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+\ldots +{\frac {\ alfa (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+\ldots

konverguje v . $|z|\leqslant 1$

Zejména pro a získáváme identitu $z={\frac {1}{m))$ $\alpha =x\cdot m$

\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2m^{2}}}+\ ldots +{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\,m^{n))}+\ldots .

Přejdeme-li k limitě a pomocí druhé pozoruhodné limity , odvodíme identitu $m\to \infty$ $\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e$

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}+\ldots ,

kterou tímto způsobem poprvé získal Euler .

Multinomická věta

Newtonův binom lze zobecnit na Newtonův polynom - umocnění součtu libovolného počtu členů:

(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2 }+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}\ ldots x_{m}^{k_{m}},

kde

{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}! \ldots k_{m}!}}

podstata Multinomické koeficienty . Součet přebírá všechny nezáporné celočíselné indexy , jejichž součet je roven (tj. přes všechna složení čísla délky ). Při použití Newtonova polynomu se má za to, že výrazy , i když . $k_j$ $n$ $n$ $m$ $x_{j}^{0}=1$ $x_{j}=0$

Multinomiální teorém je snadno dokázán buď indukcí na nebo z kombinatorických úvah a kombinatorického významu polynomického koeficientu. $n$

Pro výraz , dostaneme Newtonův binom. $m=2$ ${\displaystyle k_{2}=n-k_{1))$

Kompletní Bellovy polynomy

Nechť a , pak mají celé Bellovy polynomy binomický rozvoj: $B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\tečky ,a_{n})$ $B_{0}=1$

B_{n}(a_{s}+b_{s})=\sum _{i+j=n}{\binom {n}{i,j))B_{i}(a_{s} )B_{j}(b_{s}).

Historie

Dlouho se věřilo, že pro přirozené exponenty tento vzorec, stejně jako trojúhelník , který vám umožňuje najít koeficienty, vynalezl Blaise Pascal , který jej popsal v 17. století . Historici vědy však zjistili, že vzorec znal čínský matematik Yang Hui , který žil ve 13. století, stejně jako perští matematici at-Tusi (XIII. století) a al-Kashi (XV století). V polovině 16. století popsal binomické koeficienty Michael Stiefel a také sestavil jejich tabulku až do mocniny 18.

Isaac Newton kolem roku 1665 zobecnil vzorec pro libovolný exponent (zlomkový, záporný atd.). Na základě binomické expanze odvodili Newton a později Euler celou teorii nekonečných řad.

V beletrii

V beletrii se „Newtonův binom“ často objevuje jako synonymum pro něco velmi složitého (často ironicky) [1] . Například v románu „ Mistr a Margarita “ od M. A. Bulgakova : „Přemýšlejte, Newtonův binom! Zemře za devět měsíců, v únoru příštího roku, na rakovinu jater na klinice První moskevské státní univerzity ve čtvrtém oddělení.

V příběhu „ Poslední případ Holmese “ vypráví Sherlock Holmes o profesoru Moriartym zejména toto: „... když mu bylo 21 let, napsal pojednání o Newtonově binomii, které mu přineslo evropskou slávu... "

Viz také

Binomické rozdělení
Binomický koeficient
Pascalův trojúhelník
Vzorce pro násobení zkrácených polynomů - nejčastější speciální případy Newtonova binomu

Poznámky

↑ Uspenskij V. A. Předběžné pro čtenáře „Nové literární revue“ k sémiotickým poselstvím Andreje Nikolajeviče Kolmogorova // Nová literární revue . - 1997. - č. 24 .

Literatura

Newtonův binomický // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Odkazy

Newtonův binom // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Brockhaus a Efron okolo světa Malý Brockhaus a Efron Encyklopedický lexikon Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4703915-2 NDL : 00568502