Blokový design

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. září 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Blokové schéma je množina spolu s rodinou podmnožin (v některých případech je povoleno opakování podmnožin), jejíž členové splňují některé vlastnosti, které jsou považovány za užitečné pro konkrétní aplikaci. Tyto aplikace pocházejí z různých oblastí, včetně návrhu experimentu , konečné geometrie , testování softwaru , kryptografie a algebraické geometrie . Bylo zvažováno mnoho možností, ale nejintenzivněji jsou studovány vyvážené neúplné blokové návrhy (Balanced Incomplete Block Designs, BIBD , 2-schemes), které byly historicky spojovány se statistickými problémy vplánování experimentu [1] [2] .

Blokové schéma, ve kterém mají všechny bloky stejnou velikost, se nazývá homogenní . Obvody diskutované v tomto článku jsou všechny stejné. Párově vyvážené návrhy (PBD) jsou příklady blokových diagramů, které nemusí být nutně jednotné.

Definice BIBD (nebo 2-schéma)

Vzhledem k tomu, že je dána konečná množina X (prvků, které se nazývají body ) a celá čísla k , r , λ ≥ 1, definujeme 2-schéma B jako rodinu k - prvkových podmnožin X , nazývaných bloky , takže libovolný prvek x z X je obsaženo v r blocích a jakýkoli pár odlišných bodů x a y v X je obsažen v blocích λ .

Slovo "rodina" ve výše uvedené definici může být nahrazeno slovem "set", pokud není povoleno opakování bloků. Obvody, ve kterých není povoleno opakování bloků, se nazývají jednoduché .

Zde v (počet prvků X , nazývané body), b (počet bloků), k , r a λ jsou parametry obvodu . (Aby se předešlo zdegenerovaným příkladům, předpokládá se, že v > k , takže žádný blok neobsahuje všechny prvky množiny. Proto je v názvu obvodů přítomno slovo "neúplný".) V tabulce:

proti bodů, počet prvků X
b počet bloků
r počet bloků obsahujících daný bod
k počet bodů v bloku
λ počet bloků obsahujících libovolné 2 (nebo obecněji t ) bodů

Obvod se nazývá ( v , k , λ )-obvod nebo ( v , b , r , k , λ )-obvod. Parametry nejsou nezávislé - v , k a λ určují b a r a ne všechny kombinace v , k a λ jsou povoleny. Dvě základní rovnosti obsahující tyto parametry

získané sčítáním dvojic ( B , p ), kde B je blok a p je bod v tomto bloku

se získá počítáním trojic ( p , q , B ), kde p a q jsou odlišné body a B je blok obsahující oba body a vydělením počtu trojic v .

Tyto podmínky nejsou dostatečné, protože např. schéma (43,7,1) neexistuje [3]

Pořadí 2-schéma je definováno jako n = r  −  λ . Doplněk 2-schéma se získá nahrazením každého bloku jeho doplňkem v množině bodů X . Doplněk je také 2-schéma a má parametry v ′ = v , b ′ = b , r ′ = b  −  r , k ′ = v  −  k , λ ′ = λ  +  b  − 2 r . 2-schéma a jeho doplněk mají stejné pořadí.

Základní věta, Fisherova nerovnost , pojmenovaná po statistikovi Ronaldu Fisherovi , říká, že b  ≥  v v libovolném 2-schématu.

Z hlediska teorie grafů lze definici 2-schéma přeformulovat následovně: blokový diagram je pokrytí s násobností úplného grafu na vrcholech úplnými grafy na vrcholech. Vývojové diagramy pro a jsou triviální, takže se obvykle předpokládá, že .

Příklady

Jediný (6,3,2) obvod má 10 bloků ( b = 10) a každý prvek se opakuje 5x ( r = 5) [4] . Pokud jsou použity symboly 0 − 5, bloky obsahují následující trojice:

012 013 024 035 045 125 134 145 234 235.

Jedno ze čtyř neizomorfních (8,4,3) schémat má 14 bloků, ve kterých se prvky 7krát opakují. Pomocí symbolů 0 - 7 jsou bloky následující čtyřky: [4]

0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456.

Jediný (7,3,1)-obvod má 7 bloků, ve kterých se každý prvek opakuje 3x. Při použití symbolů 0 − 6 slouží jako bloky následující trojice: [4]

013 026 045 124 156 235 346. Pokud jsou prvky chápány jako body v rovině Fano , pak jsou tyto bloky přímky.

Symetrické BIBD

Případ rovnosti ve Fisherově nerovnosti, tedy 2-obvodu se stejným počtem bodů v blocích, se nazývá symetrický obvod [5] . Symetrické obvody mají nejmenší počet bloků ze všech 2-obvodů se stejným počtem bodů.

V symetrickém obvodu je splněno r = k , stejně jako b = v , a ačkoli to neplatí pro libovolné 2-obvody, v symetrických obvodech mají libovolné dva různé bloky společných bodů λ [6] . Reiserova věta dává opačný závěr – pokud X je množina v prvků a B je množina vk podmnožin prvků („bloků“), takže libovolné dva různé bloky mají společných přesně λ bodů , pak ( X , B ) je symetrické blokové schéma [7] .

Parametry symetrického obvodu vyhovují rovnosti

Rovnost ukládá silné omezení na v , takže počet bodů není zdaleka libovolný. Brook-Reiser-Chowl teorém dává nutnou, ale ne postačující podmínku pro existenci symetrických obvodů z hlediska jejich parametrů.

Níže jsou uvedeny důležité příklady symetrických 2-obvodů:

Projektivní roviny

Konečné projektivní roviny jsou symetrická 2-schémata s λ = 1 a řádem n > 1. Pro tato schémata se rovnost symetrického schématu stává:

Protože k = r , můžeme zapsat pořadí projektivní roviny jako n = k  − 1 a z výše uvedené rovnosti dostaneme v = ( n  + 1) n  + 1 = n 2  +  n  + 1 bodů v projektivu rovina řádu n .

Protože projektivní rovina je symetrický obvod, máme b = v , což znamená, že také b = n 2  +  n  + 1. Číslo b je počet čar v projektivní rovině. Protože λ = 1 se nemohou opakovat přímky, projektivní rovina je jednoduché 2-schéma, ve kterém je počet čar a počet bodů vždy stejný. Pro projektivní rovinu je k počet bodů na přímce a rovná se n  + 1. Podobně r = n  + 1 je počet úseček, se kterými daný bod spadá.

Pro n = 2 máme projektivní rovinu řádu 2, nazývanou také Fanova rovina , s v = 4 + 2 + 1 = 7 bodů a 7 přímek. V rovině Fano má každá přímka přesně n  + 1 = 3 body a každý bod náleží n  + 1 = 3 přímkám.

Je známo, že projektivní roviny existují pro všechna řády rovnající se prvočíslům a jejich mocninám. Tvoří jedinou známou nekonečnou rodinu symetrických blokových diagramů [8] .

Biplanární geometrie

Biplanární geometrie je symetrické 2-schéma s λ = 2. To znamená, že jakákoliv sada dvou bodů je obsažena ve dvou blocích („úsečkách“) a jakékoli dvě přímky se protínají ve dvou bodech [8] . Biplanární geometrie jsou podobné projektivním rovinám, kromě toho, že dva body nedefinují čáru (a dvě čáry nedefinují bod). V biplanární geometrii dva body definují dvě čáry (odpovídajícím způsobem dvě čáry definují dva body). Biplanární geometrie řádu n je obvod, jehož bloky mají bodů k  =  n  + 2. Celkový počet bodů je v  = 1 + ( n  + 2)( n  + 1)/2 (protože r  =  k ).

Níže je uvedeno 18 známých příkladů [9] .

Algebraicky to odpovídá speciálnímu vnoření projektivní speciální lineární grupy PSL (2,5) do PSL (2,11) – podrobný popis viz projektivní lineární grupa: působení na p bodech [11] .

2-Hadamardova schémata

m Hadamardova matice je m × m matice H s prvky rovnými ±1 tak, že HH ⊤  = m E m , kde H ⊤ se rovná transponované matici H a E m je matice identity m  ×  m . Hadamardova matice může být zapsána ve standardním tvaru (tj. redukována na ekvivalentní Hadamardovu matici), ve které první řádek a první sloupec tvoří +1. Pokud je velikost m  > 2, musí být m dělitelné 4.

Dáme-li Hadamardovu matici velikosti 4a ve standardním tvaru, vymažte první řádek a první sloupec a nahraďte všechny prvky −1 0. Výsledkem je matice M skládající se z 0 a 1, což je incidenční matice symetrická k 2- (4 a  − 1 , 2 a  − 1, a  − 1) schémata. Toto schéma se nazývá Hadamardovo 2-schéma [15] . Diagram obsahuje bloky, z nichž každý obsahuje body, a body, které jsou obsaženy v blocích. Každá dvojice bodů je obsažena přesně v blocích.

Konstrukce je reverzibilní a incidenční matici symetrického 2-obvodu s těmito parametry lze použít k vytvoření Hadamardovy matice velikosti 4a .

Vyřešitelná 2 schémata

Rozhodnutelné 2-schéma je BIBD, jehož bloky mohou být rozděleny do sad (nazývaných paralelní třídy ), z nichž každá tvoří bod rozdělující sekci BIBD. Sada paralelních tříd se nazývá rozlišení schémat .

Pokud má 2-( v , k ,λ) řešitelný obvod c paralelních tříd, pak b  ≥  v  +  c  − 1 [16] .

Proto symetrický obvod nemůže mít netriviální (více než jedna paralelní třída) rozlišení [17] .

Archetypální rozhodnoutelná 2-schéma jsou konečné projektivní roviny . Řešením slavného Kirkmanova problému o školačkách je řešení schématu 2-(15,3,1) [18] .

Zobecnění: t -schéma

Při jakémkoli kladném čísle t je t - schéma B třídou k -prvkových podmnožin X , nazývaných bloky , takže jakýkoli bod x z X se objeví v přesně r blocích a jakákoli t -prvková podmnožina T je obsažena přesně v λ bloky . Čísla v (počet prvků v X ), b (počet bloků), k , r , λ a t slouží jako parametry obvodu . Schéma lze nazvat t -( v , k ,λ)-schéma. Tato čtyři čísla opět určují b a r a samotná čtyři čísla nemohou být zvolena libovolně. Rovnosti, které je spojují

,

kde λ i je počet bloků, které obsahují libovolnou i -prvkovou sadu bodů.

Všimněte si toho .

Věta : [19] Libovolné t -( v , k ,λ) -schéma je také s -( v , k ,λs )-schéma pro libovolné číslo s za předpokladu 1 ≤  s  ≤  t . (Všimněte si, že "hodnota lambda" se liší jako výše a závisí na s .)

Důsledkem této věty je, že každé t - schéma s t ≥ 2 je také 2 schéma.

Obvod t -( v , k ,1) se nazývá Steinerův systém .

Samotný termín blokové schéma obvykle zahrnuje 2-diagram.

Deriváty a rozšiřitelná t-schéma

Nechť D = ( X , B ) je obvod t-( v , k , λ ) a nechť p je bod X . Odvozený obvod D p má množinu bodů X  − { p } a jako množinu bloků všechny bloky D , které obsahují p a ve kterých je bod p odstraněn. Tento obvod je obvod ( t  − 1)-( v  − 1, k  − 1, λ ). Všimněte si, že generované obvody pro různé body nemusí být izomorfní. Schéma E se nazývá rozšíření schématu D , pokud E má bod p takový, že Ep je izomorfní k D . D nazýváme rozšiřitelné , pokud má schéma rozšíření.

Věta : [20] Jestliže schéma t -( v , k , λ ) má rozšíření, pak k  + 1 dělí b ( v  + 1).

Prodloužitelné projektivní roviny (symetrická schémata 2-( n 2  +  n  + 1, n  + 1, 1)) jsou pouze ty, jejichž řády jsou 2 a 4 [21] .

Jakékoli 2-Hadamardovo schéma je rozšiřitelné (až do 3-Hadamardova schématu ) [22] .

Věta : [23] Je-li D , symetrický 2-( v , k ,λ) obvod rozšiřitelný, jedna z:

  1. D je Hadamard 2-schéma,
  2. v  = (λ + 2) (λ 2  + 4λ + 2), k  = λ 2  + 3λ + 1,
  3. v  = 495, k  = 39, λ = 3.

Všimněte si, že projektivní rovina řádu dva je Hadamardovo 2-schéma. Projektivní rovina řádu čtyři má parametry, které spadají pod Případ 2. Další známá symetrická 2-schémata s parametry z Případu 2 jsou biplanární geometrie řádu 9, ale žádná z nich není rozšiřitelná. Symetrická 2-schémata s parametry případu 3 nejsou známa [24] .

Kruhová rovina

Schéma s parametry rozšíření afinní roviny , tj. schéma 3-( n 2  + 1, n  + 1, 1), se nazývá konečná kruhová rovina nebo Möbiova rovina řádu n .

Je možné podat geometrický popis některých kruhových rovin, ba dokonce všech známých kruhových rovin. Vejce v PG(3, q ) je množina q 2  + 1 bodů, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Lze ukázat, že libovolná rovina (která je nadrovinou v dimenzi 3) v PG(3, q ) protíná vejcovod O buď v jednom bodě, nebo v q  + 1 bodech. Průsečíky ovoidu O velikosti q  + 1 rovinou jsou bloky kruhové roviny řádu q . Každá takto získaná kruhová rovina se nazývá vejčitá . Všechny známé kruhové roviny jsou vejčité.

Příkladem ovoidu je eliptická kvadrika , množina nul kvadratického tvaru

x 1 x 2 + f ( x 3 , x 4 ),

kde f je ireducibilní kvadratická forma ve dvou proměnných nad GF( q ). [ f ( x , y )= x2 + xy + y2 , například ] .

Je-li q lichá mocnina 2, je znám další typ vejcoidu, Suzuki-Tits ovoid .

Věta . Nechť q je kladné celé číslo alespoň 2. (a) Je-li q liché, jakýkoli vejcovod je projektivně ekvivalentní eliptické kvadrice v projektivní geometrii PG(3, q ), takže q je mocnina prvočísla a existuje jedinečná vejcovitá kruhová rovina řádu q ( (b) je-li q sudé, pak q je mocnina 2 a jakákoliv kruhová rovina řádu q je vejcovitá (možná existují nějaké neznámé vejcovody).

Částečně vyvážené obvody (PBIBD)

Schéma relací třídy n se skládá z množiny X o velikosti v spolu s rozdělením S množiny X × X na n + 1 binárních relací R 0 , R 1 , ..., R n . Říká se, že dvojice prvků je ve vztahu R i (prvky i - kombinované ). Každý prvek z X má n i i -té kombinace. Kromě:

  • a nazývá se vztah identity .
  • Pokud definujeme , tak z toho, že R patří do oddílu S , vyplývá, že R* patří do oddílu S
  • If , počet prvků jako a je konstantní (rovný ) a tento počet závisí na i , j , k , ale ne na volbě x a y .

Kombinační schéma je komutativní , jestliže pro všechna i , j a k . Většina autorů tuto vlastnost předpokládá.

Částečně vyvážený neúplný blokový diagram s n kombinačními třídami (PBIBD( n )) je blokový diagram založený na množině X s v prvky, z nichž každý má b bloků po k prvků, ve kterých se každý prvek vyskytuje v r blocích a pro které existuje je kombinační schéma s n třídami definovanými na X , přičemž pokud se prvky x a y i -kombinují pro 1 ≤ i ≤ n , pak jsou společně obsaženy v přesně λi blocích .

PBIBD( n ) definuje kombinační schéma, ale opak neplatí [25] .

Příklad

Nechť A (3) jsou kombinační schémata se třemi třídami na množině X = {1,2,3,4,5,6}. Hodnota prvku tabulky ( i , j ) je rovna s , jestliže prvky i a j jsou ve vztahu R s .

  jeden 2 3 čtyři 5 6
jeden  0   jeden   jeden   2   3   3 
2  jeden   0   jeden   3   2   3 
3  jeden   jeden   0   3   3   2 
čtyři  2   3   3   0   jeden   jeden 
5  3   2   3   jeden   0   jeden 
6  3   3   2   jeden   jeden   0 

Bloky PBIBD(3) založené na A (3):

 124    134     235   456 
  125   136    236    456 

Parametry tohoto PBIBD(3) jsou: v  = 6, b  = 8, k  = 3, r  = 4 a λ 1  = λ 2  = 2 a λ 3  = 1. Také pro schéma vztahů máme n 0  =  n 2  = 1 an 1  =  n 3  = 2. [26]

Vlastnosti

Parametry PBIBD( m ) splňují rovnosti: [27]

PBIBD(1) je BIBD, PBIBD(2) kde λ 1  = λ 2 je také BIBD [28] .

PBIBD se dvěma kombinačními třídami

Schémata PBIBD(2) byla nejvíce studována pro svou jednoduchost a užitečnost [29] . Spadají do šesti typů [30] , založených na Bose a Shimamotově klasifikaci tehdy známých schémat PBIBD(2): [31] [32]

  1. rozděleny do skupin
  2. trojúhelníkový
  3. zadejte "latinský čtverec"
  4. cyklický
  5. částečná geometrie
  6. odpočinek

Aplikace

Matematický předmět vývojových diagramů vznikl jako statistický základ pro návrh experimentu . Schémata byla zvláště užitečná v aplikacích techniky analýzy rozptylu (ANOVA) . Tato oblast zůstává nezbytnou součástí použití blokových diagramů.

Zatímco biologické aplikace byly zdrojem, schémata se používají v mnoha jiných oblastech, kde se provádějí systematická srovnání, jako je testování softwaru .

Incidenční matice vývojového diagramu poskytuje přirozený zdroj zajímavých blokových kódů , které se používají jako kódy pro opravu chyb . Řádky incidenční matice se také používají jako symboly v pulzně-fázové modulaci [33] .

Statistické aplikace

Předpokládejme, že výzkumníci rakoviny kůže chtějí testovat tři různé opalovací krémy. Aplikují dva různé krémy na horní strany rukou subjektů. Po vystavení ultrafialovému světlu zaznamenávají míru podráždění pokožky ve smyslu spálení. Počet ošetření je 3 (počet krémů), velikost bloku je 2 (počet rukou na osobu).

Odpovídající schéma BIBD lze získat jako R-function design.bib R-package agricolae a je definováno v následující tabulce:

Zkušenost Blok Léčba
101 jeden 3
102 jeden 2
201 2 jeden
202 2 3
301 3 2
302 3 jeden

Řešitel zvolí pro blokové schéma parametry v = 3 , k = 2 a λ = 1 , které jsou dosazeny do R-funkce. Zbývající parametry b a r jsou určeny automaticky.

Pomocí základních poměrů vypočítáme, že potřebujeme b = 3 bloky, tedy 3 subjekty, abychom dostali vyvážený neúplný vývojový diagram. Označením bloků A , B a C , abychom se nepletli, dostaneme blokové schéma,

A = {2, 3 },   B = {1, 3 } a C = {1, 2 }.

Odpovídající matice výskytu je uvedena v tabulce:

Léčba Blok A Blok B Blok C
jeden 0 jeden jeden
2 jeden 0 jeden
3 jeden jeden 0

Každá úprava je obsažena ve 2 blocích, takže r = 2 .

Pouze jeden blok ( C ) obsahuje ošetření 1 a 2 současně a totéž platí pro dvojice ošetření (1,3) a (2,3). Proto λ=1 .

V tomto příkladu není možné použít celý režim (všechna ošetření v každém bloku), protože na subjekt jsou 3 krémy a pouze 2 ruce.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , str. 17–19.
  2. ↑ Stinson, 2003 , str. jeden.
  3. ↑ Důkaz podal Tarry v roce 1900, který ukázal, že neexistuje dvojice ortogonálních latinských čtverců řádu 6. 2-schéma s uvedenými parametry je ekvivalentní existenci pěti vzájemně ortogonálních latinských čtverců řádu šest.
  4. ↑ 1 2 3 Colbourn, Dinitz, 2007 , str. 27.
  5. ↑ Tato schémata se také nazývají projektivní schémata nebo čtvercová schémata . Tato alternativní jména byla použita ve snaze nahradit termín „symetrický“, protože na těchto obvodech není nic symetrického (v obvyklém smyslu tohoto termínu). Termín projektivní použil P. Dembowski ( Dembowski 1968 ), analogicky s nejobecnějším příkladem, projektivními rovinami. Termín čtverec použil P. Cameron ( Cameron, van Lint 1991 ), který odráží rovnost v = b pro matici výskytu. Ani jeden termín nebyl převzat jako náhrada a obvody jsou stále označovány jako symetrické .
  6. ↑ Stinson, 2003 , str. 23, Věta 2.2.
  7. ↑ Ryser, 1963 , str. 102–104.
  8. ↑ 1 2 Hughes a Piper, 1985 , s. 109.
  9. ↑ Hall, 1986 , str. 320-335.
  10. ↑ Assmus, Key, 1992 , str. 55.
  11. ↑ Martin, Singerman, 2008 , str. čtyři.
  12. ↑ Salwach, Mezzaroba, 1978 .
  13. ↑ Kaski, Östergård, 2008 .
  14. ↑ Aschbacher, 1971 , str. 279–281.
  15. ↑ Stinson, 2003 , str. 74, Věta 4.5.
  16. ↑ Hughes a Piper 1985 , str. 156, Věta 5.4.
  17. ↑ Hughes a Piper 1985 , str. 158, důsledek 5.5.
  18. ↑ Beth, Jungnickel, Lenz, 1986 , str. 40 Příklad 5.8.
  19. ↑ Stinson, 2003 , str. 203, důsledek 9.6.
  20. ↑ Hughes a Piper 1985 , str. 29.
  21. ↑ Cameron, van Lint, 1991 , s. 11, Propozice 1,34.
  22. ↑ Hughes a Piper 1985 , str. 132, Věta 4.5.
  23. ↑ Cameron, van Lint, 1991 , s. 11, věta 1,35.
  24. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , str. 114, Poznámky 6.35.
  25. ↑ Ulice, Ulice, 1987 , str. 237.
  26. ↑ Ulice, Ulice, 1987 , str. 238.
  27. ↑ Ulice, Ulice, 1987 , str. 240, Lemma 4.
  28. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , str. 562, poznámka 42.3(4).
  29. ↑ Ulice, Ulice, 1987 , str. 242.
  30. ↑ Toto není matematická klasifikace, protože jeden z typů je „všechno ostatní“.
  31. ↑ Bose, Shimamoto, 1952 .
  32. ↑ Raghavarao, 1988 , s. 127.
  33. ↑ Noshad, Brandt-Pearce, 2012 , str. 968–971.

Literatura

  • Michael Aschbacher. O kolineačních skupinách symetrických blokových návrhů // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 1971. - Vol.11 , no. 3 . — S. 272–281 . - doi : 10.1016/0097-3165(71)90054-9 .
  • E. F. Assmus, J. D. Key. Designy a jejich kódy. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - ISBN 0-521-41361-3 .
  • Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz. teorie designu. - Cambridge: Cambridge University Press , 1986. - ISBN 978-0-521-44432-3 .
  • RC Bose. Poznámka k Fisherově nerovnosti pro vyvážené neúplné návrhy bloků // Annals of Mathematical Statistics . - 1949. - S. 619-620 .
  • RC Bose, T. Shimamoto. Klasifikace a analýza částečně vyvážených nekompletních blokových návrhů se dvěma přidruženými třídami  // Journal of the American Statistical Association. - 1952. - T. 47 . — S. 151–184 . - doi : 10.1080/01621459.1952.10501161 .
  • P. Cameron, JH van Lint. Designy, grafy, kódy a jejich odkazy. - Cambridge University Press, 1991. - V. 22. - (London Mathematical Society Student Texts). - ISBN 978-0-521-41325-1 .
  • Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz. Příručka kombinačních návrhů. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8 .
  • RA Fisher. Zkoumání různých možných řešení problému v neúplných blocích // Annals of Eugenics . - 1940. - T. 10 . - S. 52-75 .
  • Marshall Hall Jr. kombinatorická teorie. - New York: Wiley-Interscience, 1986. - ISBN 0-471-09138-3 .
  • D. R. Hughes, E. C. Piper. teorie designu . - Cambridge: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25754-9 .
  • Petteri Kaski, Patric Östergard. Existuje přesně pět dvouplošníků s k =11 // Journal of Combinatorial Designs. - 2008. - T. 16 , no. 2 . — S. 117–127 . - doi : 10.1002/jcd.20145 .
  • ES Lander. Symetrické návrhy: Algebraický přístup. — Cambridge: Cambridge University Press, 1983.
  • CC Lindner, CA Rodger. Teorie designu . - Boca Raton: CRC Press, 1997. - ISBN 0-8493-3986-3 .
  • Damaraju Ragharao. Konstrukce a kombinatorické úlohy při navrhování experimentů . — New York: Dover, 1988.
  • Damaraju Raghavarao, L. V. Padgett. Blokové návrhy: analýza, kombinatorika a aplikace. — World Scientific, 2005.
  • Herbert John Ryser. Kombinatorická matematika (Carusova monografie č. 14). — Mathematical Association of America, 1963.
  • Chester J. Salwach, Joseph A. Mezzaroba. Čtyři dvouplošníky s k = 9 // Journal of Combinatorial Theory, Series A. - 1978. - V. 24 , no. 2 . — S. 141–145 . - doi : 10.1016/0097-3165(78)90002-X .
  • SS Shrikhande, Bhat-Nayak Vasanti N. Neizomorfní řešení některých vyvážených neúplných blokových návrhů I // Journal of Combinatorial Theory . — 1970.
  • Douglas R. Stinson. Kombinatorické návrhy: Konstrukce a analýza. - New York: Springer, 2003. - ISBN 0-387-95487-2 .
  • Ulice Anne Penfoldové, ulice Deborah J. Kombinatorika experimentálního designu. - Oxford UP [Clarendon], 1987. - s. 400+xiv. — ISBN 0-19-853256-3 .
  • JH van Lint, RMWilson. Kurz kombinatoriky . — Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
  • Pablo Martin, David Singerman. Od dvouplošníků po Klein quartic a Buckyball . - 2008. - 17. dubna.
  • Mohammad Noshad, Maite Brandt-Pearce. Vyčištěné PPM pomocí symetrických vyvážených neúplných blokových návrhů  // IEEE Communications Letters. - 2012. - Červenec ( díl 16 , číslo 7 ). - doi : 10.1109/LCOMM.2012.042512.120457 .
  • P. Dembowski. Konečné geometrie. — Springer, 1968.

Odkazy

  • DesignTheory.Org : Databáze kombinatorických, statistických a experimentálních blokových návrhů. Software a další zdroje pořádané School of Mathematical Sciences na Queen Mary College, University of London.
  • Zdroje teorie designu : Stránka Petera Camerona s webovými zdroji teorie designu.
  • Weisstein , Eric W. Block Designs  ve Wolfram MathWorld .