Finální geometrie

Konečná geometrie  je geometrický systém, který má konečný počet bodů . Například euklidovská geometrie není konečná, protože euklidovská čára obsahuje neomezený počet bodů, nebo spíše obsahuje přesně tolik bodů, kolik je reálných čísel . Konečná geometrie může mít libovolný konečný počet rozměrů .

Konečné geometrie lze popsat lineární algebrou jako vektorové prostory a podobné struktury nad konečným polem , které se nazývají Galoisovy geometrie , nebo je lze popsat zcela kombinatoricky . Mnoho, ale ne všechny, konečných geometrií je Galois – například jakýkoli projektivní prostor dimenze tři nebo více je izomorfní s projektivním prostorem nad konečným polem (projektivizace vektorového prostoru nad konečným polem), v takovém případě neexistuje rozdíl, ale existuje rozměr dvou projektivních rovin, které nejsou izomorfní k projektivním prostorům nad konečnými poli. Jsou to nedesarguesovská letadla . Existují tedy dva rozdíly v rozměrech.

Koncové roviny

Následující poznámky platí pouze pro koncové roviny.

V rovině existují dva druhy geometrie: afinní a projektivní . Afinní geometrie používá obvyklé pojetí rovnoběžných čar. V projektivní geometrii se naopak libovolné dvě přímky protínají v jediném možném bodě, a proto neexistují žádné rovnoběžné přímky. Jak konečná afinní geometrie v rovině, tak konečná projektivní geometrie v rovině mohou být popsány poměrně jednoduchými axiómy . Afinní geometrie v rovině je neprázdná množina (jejíž prvky se nazývají „body“), s neprázdnou sadou podmnožin (jejichž prvky se nazývají „úsečka“), takže:

  1. Pro dva odlišné body existuje pouze jedna čára, která obsahuje oba body.
  2. Euklidův axiom rovnoběžnosti : Pro přímku a bod , který není v , existuje jedna a pouze jedna přímka obsahující , taková, že .
  3. Existuje množina čtyř bodů, z nichž žádné tři neleží na stejné přímce.

Poslední axiom zajišťuje, že geometrie není prázdná, zatímco první dva popisují její povahu.

Nejjednodušší afinní rovina obsahuje pouze 4 body a nazývá se afinní rovina druhého řádu . Každá dvojice bodů definuje jedinečnou čáru, takže naznačená rovina obsahuje 6 čar. To je analogie čtyřstěnu , ve kterém jsou neprotínající se hrany považovány za „rovnoběžné“, nebo čtverce, ve kterém jsou rovnoběžné nejen opačné strany, ale také úhlopříčky.

Obecněji řečeno, rovina konečného afinního řádu má body a čáry; každá čára obsahuje body a každý bod patří k přímce.

Projektivní geometrie v rovině je neprázdná množina (jejíž prvky se nazývají „body“) spolu s neprázdnou množinou podmnožin (jejichž prvky se nazývají „úsečky“) tak, že:

  1. Pro jakékoli dva různé body existuje pouze jedna čára obsahující tyto body.
  2. Průsečík dvou odlišných čar obsahuje právě jeden bod.
  3. Existuje množina čtyř bodů, z nichž žádné tři nepatří do stejné linie.

První dva axiomy jsou téměř totožné, až na to, že se změnily role bodů a přímek: to vede k principu duality projektivní geometrie v rovině, to znamená, že můžeme předpokládat, že správné tvrzení zůstane pravdivé, pokud body nahradíme čáry a čáry s body.

Protože třetí axiom vyžaduje existenci alespoň čtyř bodů, musí rovina obsahovat alespoň 7 bodů, aby byly splněny podmínky prvních dvou axiomů. Tato nejjednodušší projektivní rovina má také 7 čar; každý bod patří ke třem čarám a každá čára obsahuje tři body. Taková projektivní rovina se často nazývá „ Fano rovina “. Pokud je některá z přímek odstraněna z roviny spolu s body k ní patřícími, získáme ve výsledku afinní rovinu druhého řádu. Z tohoto důvodu se Fanova rovina nazývá projektivní rovina druhého řádu.

V obecném případě má projektivní rovina řádu body a stejný počet čar (podle výše zmíněného principu duality). Každá čára obsahuje body a každý bod patří k přímce.

Permutace sedmi bodů Fanovy roviny, která přenáší kolineární (ty, které leží na stejné přímce) body do kolineárních bodů, se nazývá " symetrie " roviny. Skupina plné symetrie má řád 168 a je izomorfní ke skupině PSL(2,7) = PSL(3,2) ak obecné lineární grupě GL(3,2).

Objednávky letadel

Konečná rovina řádu  je taková rovina, jejíž každá přímka má bod (pro afinní rovinu), nebo každá přímka má bod (pro projektivní rovinu). Pro konečnou geometrii zůstává otevřená následující důležitá otázka:

Je řád konečné roviny vždy mocninou prvočísla ?

Hypoteticky se předpokládá, že odpověď na tuto otázku je ano, ale to zůstává neprokázané.

Afinní a projektivní roviny řádu existují vždy, když je mocninou prvočísla a pocházejí z konečného pole s prvky. Existují také roviny, které nepocházejí z konečných polí. Nejmenší taková rovina má řád 9 [1] .

Všechny známé příklady jsou řádu mocniny prvočísla; hypotéza, že je to pravda, se potvrzuje v několika speciálních případech. Nejlepším výsledkem v tomto směru je Bruck-Reiserova věta [2] , která říká: pokud existuje kladné celé číslo, které má tvar nebo a není rovno součtu dvou čtverců, pak není řád konečná rovina.

Na základě Fermat-Eulerovy věty mocniny prvočísla nemohou splnit požadavky Bruck-Reiserovy věty. Nejmenší celé číslo, které není mocninou prvočísla a nesplňuje požadavky Brooke-Reiserovy věty, je 10. Číslo 10 má tvar , ale je rovno součtu čtverců . Neexistenci konečné roviny řádu 10 dokázal počítač v roce 1989.

Další nejmenší číslo, které nemusí být řádem konečné roviny, je 12, pro které předpoklady ještě nebyly prokázány, ale ani vyvráceny.

Poznámky

  1. ↑ Diskrétní matematika pomocí latinských čtverců . — John Wiley & Sons, 17. září 1998. - S. 146. - 336 s. Archivováno 27. dubna 2021 na Wayback Machine
  2. ↑ Bruck, RH & Ryser, HJ (1949), Neexistence určitých konečných projektivních rovin , Canadian Journal of Mathematics sv . 1: 88–93, DOI 10.4153/cjm-1949-009-2 

Literatura

Odkazy