Hardy variace

Hardyho variace je jednou z číselných charakteristik funkce několika proměnných.

Definice

Nechť existuje funkce definovaná na -rozměrném rovnoběžnostěnu $f(x)=f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\;n=2,\;3,\;\ldots$ $n$

D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\; b_{n}].

Uvažujme libovolné rozdělení rovnoběžnostěnu nadrovinami $\pi$

x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s} ;\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,

x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s} ,\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+ 1)}-x_{s}^{(r_{s})}

do -rozměrných rovnoběžnostěnů. $n$

Zvažte třídu všech funkcí, pro které ${\tilde {H}}_{n}$

{\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2} =0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{ 1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1}) },\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,

kde

\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{ 2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;

\Delta _{h_{k}}(f;\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k} ,\;\ldots ,\;x_{n})-

-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad \;k=1 ,\;2,\;\ldots ,\;n.

Nechť je nyní celočíselný vektor, jehož souřadnice splňují nerovnosti , a buďme celočíselný vektor dimenze takový, že jeho souřadnice tvoří přísně rostoucí posloupnost a skládají se ze všech čísel , která nejsou obsažena mezi čísly . Potom lze každý bod zapsat jako . Pokud jsou souřadnice bodu pevně dané na hodnotách , zapíšeme . $\alpha =(\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}),\;s=1,\;2,\; \ldots ,\;n-1$ $1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n$ ${\bar {\alpha ))$ $ns$ $1,\;2,\ldots ,\;n$ ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s))$ ${\displaystyle x\in D_{n))$ $x=(x^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha )))$ $x_{\alpha _{1)),\;x_{\alpha _{2)),\;\ldots ,\;x_{\alpha _{s))$ ${\displaystyle x\in D_{n))$ ${\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{1)),\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{2)),\;\ ldots ,\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}$ $x=({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})$

Variace funkce Hardy na : $f(x)$ $D_{n}$

H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _({\overset {\circ } {x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{ns}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x ^{\bar {\alpha )))\right).

Jestliže , pak říkáme, že funkce má omezenou (konečnou) Hardyho variaci na rovnoběžnostěn a třída všech takových funkcí je označena . $H(f,\;D_{n})<\infty$ $f(x)$ $D_{n}$ $H(D_{n})$

Historie

Zpočátku třídu at zavedl G. Hardy [1] ( G. N. Hardy ) v souvislosti se studiem konvergence dvojitých Fourierových řad [2] . Dokázal, že pravoúhlé parciální součty dvojité Fourierovy řady funkce třídy ( ) s periodou v každé proměnné konvergují v každém bodě k číslu $H(D_{n})$ $n=2$ $f(x_{1},\;x_{2})$ $H(Q_{2})$ $Q_{2}=[0,\;2\pi ]\times [0,\;2\pi ]$ $2\pi$ $(x_{1},\;x_{2})$

{\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}- 0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},

kde

f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1 }\to +0\\\varepsilon _{2}\to +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{ jeden}).

Aby byla funkce zahrnuta do třídy , je nutné a postačující, aby mohla být reprezentována jako , kde a jsou konečné funkce takové, že pro všechny a přípustné přírůstky . Třída je obsažena ve třídě funkcí, které mají omezenou variaci Artzel na . $f(x)$ $H(D_{n})$ $f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$ $f_1$ $f_{2}$ $D_{n}$ $\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots ,\; n$ ${\displaystyle x\in D_{n))$ ${\displaystyle h_{1},\;h_{2},\;\ldots ,\;h_{n))$ $H(D_{n})$ $A(D_{n})$ $D_{n}$

Literatura

Bulanov AP Racionální aproximace funkcí více proměnných s konečnou Hardyho variací // Math. - 1995. - v. 186. - č. 11. - str. 53-74.

Viz také

Funkční variace
Artzelova variace
Variace Vitali
Pierpontova variace
Plochá variace Tonelli
Fréchetova variace

Poznámky

↑ Hardy G. H. The Quarterly Journal of Mathematics. - 1905. - v. 37. - č. 1. - str. 57-79.
↑ Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. - Bd 1. - V .: Springer, 1921.