Funkční variace
V matematické analýze je variace funkce numerická charakteristika funkce jedné reálné proměnné, spojená s jejími diferenciálními vlastnostmi. Pro funkci z úsečky na reálné přímce je in zobecněním pojmu délky křivky, uvedené v této funkci.
Definice
Nechte _ Pak má variace (také celková variace nebo celková změna ) funkce na segmentu následující hodnotu:
tedy nejmenší horní mez přes všechny oddíly segmentu délek přerušovaných čar v , jejichž konce odpovídají hodnotám v bodech oddílů.
Související definice
- Funkce, jejichž variace je omezena na segment, se nazývají funkce omezené variace a třída takových funkcí je označována nebo jednoduše .
- V tomto případě je funkce definována jako celková variační funkce pro .
- Kladná variace funkce reálné hodnoty na segmentu se nazývá následující veličina:
- Záporná variace funkce je definována podobně :
- Celková variace funkce tak může být reprezentována jako součet
Vlastnosti funkcí omezené variace
- Součet a součin funkcí omezené variace bude mít také omezenou variaci. Podíl dvou funkcí z bude mít omezenou variaci (jinými slovy patří do třídy ), pokud je absolutní hodnota jmenovatele větší než kladná konstanta na intervalu .
- Pokud , a , pak .
- Pokud je funkce spojitá v bodě napravo a patří do , pak .
- Funkce daná na intervalu je funkcí omezené variace právě tehdy, když ji lze reprezentovat jako součet rostoucích a klesajících funkcí ( Jordánská expanze ).
- Jakákoli funkce ohraničené variace je omezená a nemůže mít více než spočetnou množinu bodů nespojitosti a všechny jsou prvního druhu.
- Funkce omezené variace může být reprezentována jako součet absolutně spojité funkce , singulární funkce a skokové funkce ( Lebesgueova expanze ).
Všechny tyto vlastnosti založil Jordan [1] [2] .
Výpočet variace
Variace spojitě diferencovatelné funkce
Pokud funkce patří do třídy , to znamená, že má spojitou derivaci prvního řádu na segmentu , pak je funkcí omezené variace na tomto segmentu a variace se vypočítá podle vzorce:
to znamená, že se rovná integrálu normy derivace.
Historie
Funkce ohraničené variace studoval C. Jordan [1] .
Zpočátku třídu funkcí s omezenou variací zavedl K. Jordan v souvislosti se zobecněním Dirichletova kritéria pro konvergenci Fourierových řad po částech monotónních funkcí. Jordan dokázal, že Fourierova řada -periodických funkcí třídy konverguje v každém bodě reálné osy. V budoucnu však funkce omezené variace našly široké uplatnění v různých oblastech matematiky, zejména v teorii Stieltjesova integrálu .
Variace a zobecnění
- Délka křivky je definována jako přirozené zobecnění variace na případ zobrazení do metrického prostoru.
- V případě více proměnných existuje několik různých definic variace funkce:
Φ-variace funkce
Uvažuje se také o třídě , která je definována takto:
kde ( ) je spojitá funkce, která
je kladná jako monotónně rostoucí;
je libovolné rozdělení segmentu .
Veličina se nazývá -variace funkce na segmentu .
Jestliže , pak má funkce omezenou -variaci na intervalu . Třída všech takových funkcí je označena nebo jednoduše jako [3] . Definici třídy navrhl L. Young[4] ( L. C. Young ).
Třídy Jordan jsou zvláštním případem tříd Yang a . Pokud pro , pak se získají třídy N. Wiener [5] ( N. Wiener ).
Vlastnosti
Pokud vezmeme v úvahu dvě funkce a tak
pak pro jejich -variace platí následující vztah:
Zejména,
v .
Viz také
Literatura
- Lebesgue, A. Integrace a hledání primitivních funkcí / Per. z francouzštiny - M. - L. : ONTI, 1934. - 324 s.
- Natanson, I. P. Teorie funkcí reálné proměnné. - M. : Nauka, 1974. - 484 s.
- Bari, N. K. Trigonometrické řady. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - 936 s.
Poznámky
- ↑ 1 2 Jordan C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1881. - t. 92. - č. 5. - str. 228-230.
- ↑ Natanson, I.P. Teorie funkcí reálné proměnné. - M .: Nauka, 1974. - S. 234-238. — 484 s.
- ↑ Bari, N. K. Trigonometrické řady. - M. : Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1961. - S. 287. - 936 s.
- ↑ Mladý L. C. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. - 1937. - t. 204. - č. 7. - str. 470-472.
- ↑ Wiener N. Massachusetts Journal of Mathematics and Physics. - 1924. - v. 3. - str. 72-94.