Gaussovo zakřivení

Gaussova křivost je míra křivosti povrchu v blízkosti kteréhokoli z jeho bodů. Gaussova křivost je objektem vnitřní geometrie ploch, to znamená, že se při izometrických ohybech nemění.

Definice

Gaussova křivost pro dvourozměrný povrch

Označme normálové křivosti v hlavních směrech ( hlavní křivosti ) v uvažovaném bodě plochy a . Velikost: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

nazývané Gaussovo zakřivení , celkové zakřivení nebo jednoduše zakřivení povrchu. Existuje také termín skalární zakřivení , který implikuje výsledek konvoluce tenzoru zakřivení ; v tomto případě je skalár zakřivení dvakrát větší než Gaussovo zakřivení.

Gaussovo zakřivení lze vypočítat pomocí povrchové metriky , a proto je předmětem vnitřní geometrie (všimněte si, že hlavní zakřivení neplatí pro vnitřní geometrii). Podle znaménka křivosti můžete klasifikovat body povrchu (viz obrázek). Zakřivení roviny je nulové. Zakřivení koule o poloměru R je všude rovno . Existuje také povrch konstantního negativního zakřivení - pseudosféra . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Gaussovo zakřivení pro hyperplochu

Zakřivení n-rozměrné hyperplochy v bodě je kompletně popsáno jeho hlavními zakřiveními a odpovídajícími hlavními směry . $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\tečky ,k^{{(n)}}$

Uvažujme (až do znaménka) symetrické polynomy složené z čísel

(1)\qquad k^{{(1)}},k^{{(2)}},\tečky ,k^{{(n)}}:

(2)\qquad \left\{{\begin{array}{rcl}K^{{[1]}}&=&-(k^{{(1)}}+k^{{(2)} }+\tečky +k^{{(n)}})=-\součet \limits _{{i}}k^{{(i)}}\\K^{{[2]}}&=&k ^{{(1)}}k^{{(2)}}+k^{{(1)}}k^{{(3)}}+\tečky +k^{{(n-1)} }k^{{(n)}}=\sum \limits _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}\\\cdots &\cdots &\ cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\K^{{[n]}}&=&(-1)^{n}k^{{(1)}}k^{{ (2)}}\cdots k^{{(n)}}\\\end{array}}\right.

Nazvěme výše uvedené hodnoty Gaussovo zakřivení odpovídajícího stupně. Obecný vzorec pro Gaussovu křivost stupně m je napsán takto:

(3)\qquad K^{{[m]}}=\součet _{{i_{1}<i_{2}<\dots <i_{m}}}k^{{(i_{1})} }k^{{(i_{2})}}\cdots k^{{(i_{m})}}

Gaussovy křivosti jsou koeficienty charakteristického polynomu pro matici tenzoru celkové křivosti hyperpovrchu:

(4)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}+K^{{[1]}}\lambda ^ {{n-1}}+\tečky +K^{{[n-1]}}\lambda +K^{{[n]}}

Tenzorový vzorec pro Gaussovo zakřivení

Vzorec (3) definuje Gaussovu křivost prostřednictvím vlastních hodnot tenzoru celkové křivosti hyperpovrchu . Pokusme se tyto veličiny vyjádřit pomocí složek samotného tenzoru v libovolném souřadnicovém systému. Pro výpočet determinantu libovolného tenzoru druhého řádu máme následující vzorec s použitím metrického matrjoškovského tenzoru (viz absolutně antisymetrický jednotkový tenzor ): $b_{{ij}}$ $b_{{ij}}$

(5)\qquad \det(a_{j}^{i})={1 \over n!}g_{{j_{1}j_{2}\tečky j_{n}}}^{{i_{1 }i_{2}\tečky i_{n}}}a_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}a_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}\ cdots a_{{i_{n}}}^{{j_{n}}}

Dosaďte do tohoto vzorce pro výpočet levého výrazu vzorce (4), pak máme: $a_{j}^{i}=\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i}$

(6)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=g_{{j_{1}j_{2}\tečky j_{n} }}^{{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}}(\lambda \delta _{{i_{1}}}^{{j_{1}}}-b_{{i_{ 1}}}^{{j_{1}}})\cdots (\lambda \delta _{{i_{n}}}^{{j_{n}}}-b_{{i_{n}}}^ {{j_{n}}})

Otevřeme závorky ve vzorci (6). Vzhledem k tomu, že metrický tenzor matrjošky se nemění se synchronní permutací horního a dolního indexu, pak všechny členy se stejným stupněm budou stejné (jejich počet se rovná binomickému koeficientu ), a dostaneme: $g_{{j_{1}j_{2}\tečky j_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\tečky i_{n}}}$ $\lambda ^{m}$ $C_{n}^{m}$

(7)\qquad n!\det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}g_{{s_{1}s_{2} \dots s_{n}}}^{{s_{1}s_{2}\tečky s_{n}}}-C_{n}^{1}\lambda ^{{n-1}}g_{{js_ {2}\tečky s_{n}}}^{{is_{2}\tečky s_{n}}}b_{i}^{j}+C_{n}^{2}\lambda ^{{n- 2}}g_{{j_{1}j_{2}\tečky s_{n}}}^{{i_{1}i_{2}\tečky s_{n}}}b_{{i_{1}}} ^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}-\tečky

Protože po sobě jdoucí konvoluce metrického tenzoru matrjošky jsou stejné:

(8)\qquad g_{{j_{1}j_{2}\tečky j_{m}s_{{m+1}}s_{{m_{2}}}\tečky s_{n}}}^{{ i_{1}i_{2}\tečky i_{m}s_{{m+1}}s_{{m+2}}\tečky s_{n}}}=(nm)!\,g_{{j_{ 1}\tečky j_{m}}}^{{i_{1}\tečky i_{m}}}

Potom ze vzorce (7) a vzorce pro binomické koeficienty najdeme následující vzorec pro charakteristický polynom (dělení obou stran rovnice (7) ): $C_{n}^{m}={n! \přes m!(nm)!}$ $n$

(9)\qquad \det(\lambda \delta _{j}^{i}-b_{j}^{i})=\lambda ^{n}-{\lambda ^{{n-1)) \ více než 1!}g_{j}^{i}b_{i}^{j}+{\lambda ^{{n-2}} \přes 2!}g_{{j_{1}j_{2}}} ^{{i_{1}i_{2}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2}}}- \tečky

Porovnáním vzorců (9) a (4) najdeme následující vzorec pro Gaussovu křivost:

(10)\qquad K^{{[m]}}={(-1)^{m} \over m!}g_{{j_{1}j_{2}\tečky j_{m}}}^{ {i_{1}i_{2}\dots i_{m}}}b_{{i_{1}}}^{{j_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{j_{2 }}}\tečky b_{{i_{m}}}^{{j_{m}}}

Vyjádření v podmínkách Riemannova tenzoru

Pro skalární zakřivení hyperplochy máme následující vzorec

(11)\qquad R=g^{{ik}}g^{{jl}}R_{{ijkl}}=2\sum _{{i<j}}k^{{(i)}}k^ {{(j)}}=2K^{{[2]}}

Abychom tento vzorec zobecnili pro vyšší mocniny, zkusme nahradit součin dvou metrických tenzorů ve vzorci (11) metrickým matrjoshkovým tenzorem čtvrté řady:

(12)\qquad g^{{ijkl}}R_{{ijkl}}={\begin{vmatrix}g^{{ik}}&g^{{il}}\\g^{{jk}}&g^ {{jl}}\end{vmatrix}}R_{{ijkl}}=(g^{{ik}}g^{{jl}}-g^{{il}}g^{{jk}})R_ {{ijkl}}=2R=4K^{{[2]}}

Pro další výpočty přejdeme do místního kartézského souřadnicového systému v jednom z bodů variety P a orientujeme ji podél hlavních směrů hyperplochy. V bodě P bude matice metrického tenzoru jednotka:

(13)\qquad g_{{ij}}=\delta _{{ij}}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}

a proto nemůžeme číselně rozlišovat mezi kovariantními a odpovídajícími kontravariančními složkami tenzorů (horní a dolní indexy). Riemannův tenzor v bodě bude v určitém smyslu diagonální, konkrétně jeho nenulové složky budou stejné: $P$

(14)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}}\qquad (i\neq j)

a všechny tyto složky se rovnají nule , přičemž druhý pár indexů se neshoduje až s permutací v páru. $R_{{ijkl}}$ $(kl)$ $(ij)$

Levá strana vzorce (12) je lineární tvar Riemannova tenzoru a složky metrického matrjoškého tenzoru slouží jako koeficienty tohoto tvaru. Zřejmým zobecněním je uvažování o bilineární formě a formách vyšších stupňů složky Riemannova tenzoru. Spočítejme vzorec (12) znovu a tak, aby tyto výpočty bylo možné snadno zobecnit. Vzhledem k úhlopříčce Riemannova tenzoru máme:

(15)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=\sum _{{i,j}}\left(\sum _{{k, l}}g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}\right)=\sum _{{i,j}}\left(g_{{ij}} ^{{ij}}R_{{ij}}^{{ij}}+g_{{ji}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{ji}}\right)

Dále, dva členy na pravé straně vzorce (15) jsou stejné kvůli antisymetrii v indexech uvnitř dvojice jak metrického matrjoškového tenzoru, tak Riemannova tenzoru. Kromě toho je diagonální složka metrického hnízdícího panáčka rovna jedné, protože (v následujícím vzorci se sčítání přes stejné indexy neprovádí a indexy jsou různé): $i,j$

(16)\qquad g_{{ij}}^{{ij}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{i}&\delta _{j}^{i}\\\delta _ {i}^{j}&\delta _{j}^{j}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=1

Vezmeme-li v úvahu výše uvedené a vzorec (14), transformujeme vzorec (15) dále:

(17)\qquad g_{{kl}}^{{ij}}R_{{ij}}^{{kl}}=2\sum _{{i\neq j}}1\cdot k^{{( i)}}k^{{(j)}}=2\cdot 2!\součet _{{i<j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\ cdot 2!K^{{[2]}}

Nyní přejdeme k výpočtu následující kvadratické formy:

(18)\qquad \Phi _{2}(R)=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2 }j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{k_ {2}l_{2}}}

Koeficienty této formy jsou složkami metrického tenzoru matrjošky osmé úrovně. Tento tenzor má dvě skupiny indexů a je antisymetrický vzhledem k permutaci indexů v rámci těchto skupin. Počítáme podobně jako ve vzorci (15).

(19)\qquad \Phi _{2}(R)=\součet _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}\left(\součet _{{k_ {1},l_{1},k_{2},l_{2}}}g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}}}^{{i_{1}j_{ 1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}} }^{{k_{2}l_{2}}}\right)=2^{2}\součet _{{i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}}}g_ {{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}}}R_{{i_{1}j_{ 1}}}^{{i_{1}j_{1}}}R_{{i_{2}j_{2}}}^{{i_{2}j_{2}}}

Označme indexy pro jednoduchost zápisu: $i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}$ $i,j,k,l$

(19a)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\součet _{{i,j,k,l}}g_{{ijkl}}^{{ijkl}}R_{{ij }}^{{ij}}R_{{kl}}^{{kl}}=2^{2}4!\součet _{{i,j,k,l \over all\;různé}}g_{ {ijkl}}^{{ijkl}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}

Všechny čtyři indexy se musí párově lišit, protože složky metrického tenzoru matrjošky jsou rovny nule, pokud jsou ve stejné skupině dva stejné indexy. Pravý součet vzorce (19a) obsahuje diagonální složky metrického tenzoru matrjošky, které se rovnají jedné (podobně jako ve vzorci 16). $i,j,k,l$

(19b)\qquad \Phi _{2}(R)=2^{2}\součet _{{i,j,k,l \over all\;různé}}k^{{(i)}}k ^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!\sum _{{i<j<k<l}} k^{{(i)}}k^{{(j)}}k^{{(k)}}k^{{(l)}}=2^{2}\cdot 4!K^{{ [čtyři]}}

Násobitel 4! při přechodu na druhý součet ve vzorci (19a), vznikl z toho důvodu, že pro jeden člen v pravém součtu, charakterizovaném pevnou množinou čtyř různých čísel , odpovídá 4! = 24 stejných členů v levém součtu, charakterizovaných permutacemi těchto čtyř čísel. $i<j<k<l$

Vzorce (19), (19a), (19b) lze snadno zobecnit na formy vyššího stupně. Získáme tedy obecný vzorec pro nalezení Gaussovy křivosti stupně páru : $2m$

(20)\qquad K^{{[2m]}}={1 \přes 2^{m}(2m)!}g_{{k_{1}l_{1}\tečky k_{m}l_{m} }}^{{i_{1}j_{1}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{1}l_{1}} }\cdots R_{{i_{m}j_{m}}}^{{k_{m}l_{m}}}

Alternativní odvození vzorce Gaussova křivosti pro mocninu páru

Následující výraz používáme pro Riemannův tenzor z hlediska tenzoru totální křivosti

(21)\qquad R_{{ij}}^{{kl}}=b_{i}^{k}b_{j}^{l}-b_{j}^{k}b_{i}^{l }

a začněte ve vzorci (10) seskupit faktory po dvou, například od prvních dvou (zde předpokládáme, že stupeň Gaussova zakřivení není menší než dva ( ), a pro zjednodušení zápisu vynecháme označení ): $2m$ $m\geq 1$ $m$

(22)\qquad (2m)!K=g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots =-g_{{ kl\dots }}^{{ji\dots }}b_{i}^{k}b_{j}^{l}\cdots

Poslední transformace je platná díky antisymetrii metrického tenzoru matrjošky vzhledem k indexům v horní skupině. Dále v posledním výrazu vyměňte indexy : $i,j$

(23)\qquad (2m)!K=-g_{{kl\dots }}^{{ij\dots }}b_{j}^{k}b_{i}^{l}\cdots

Nyní sečteme rovnici (22) a (23), přičemž vezmeme v úvahu (21). Dostáváme opět změnou označení indexů:

(24)\qquad 2(2m)!K^{{[2m]}}=g_{{k_{1}l_{1}k_{2}l_{2}\tečky k_{m}l_{m}} }^{{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dots i_{m}j_{m}}}R_{{i_{1}j_{1}}}^{{k_{ 1}l_{1}}}b_{{i_{2}}}^{{k_{2}}}\cdots b_{{i_{m}}}^{{k_{m}}}b_{{j_ {m}}}^{{l_{m}}}

Faktor 2 na levé straně rovnice (24) se objevil jako výsledek seskupení dvou faktorů . Je zřejmé, že můžeme podobně seskupit zbytek faktorů do párů, pak na levé straně dostaneme faktor , a napravo - výraz, na kterém se podílí pouze Riemannův tenzor a metrický tenzor matrjošky, tzn. dostaneme vzorec (20). $b_{{i_{1}}}^{{k_{1}}}b_{{j_{1}}}^{{l_{1}}}$ $2^{m}$

Gaussovo zakřivení lichého stupně

Gaussovo zakřivení lichého stupně také souvisí s Riemannovým tenzorem, ale pomocí složitějších vzorců než (20). Navíc z těchto vzorců je Gaussova křivost vyjádřena nejednoznačně.

Význam Gaussova zakřivení

Na začátku byla definice Gaussova zakřivení uvedena pouze pro hyperplochu (vzorce 2, 3). Ale vzorec (20), stejně jako vzorce pro nalezení Gaussova zakřivení lichého stupně, nám umožňují rozšířit tento koncept na libovolné (abstraktní) variety . Gaussovy křivosti tedy můžeme považovat za skalární invarianty Riemannova tenzoru.

Vlastní zakřivení manifoldu je kompletně popsáno Riemannovým tenzorem.

Gaussovu křivost jako skalár lze integrovat přes objem celé variety (viz článek Gaussovy integrály ). Integrál K[n] je topologickým invariantem n - rozměrné variety (nemění se při spojité deformaci variety).

Brioschiho vzorec pro dvourozměrný povrch

Gaussovo zakřivení dvourozměrného povrchu lze vyjádřit pomocí koeficientů jeho prvního kvadratického tvaru

ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}

a jejich deriváty prvního a druhého řádu podle tzv. Brioschiho vzorce [1] :

K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{{vv}}+F_{{uv}}-{\frac {1}{2}}G_{{ uu))&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1} {2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}} E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{ u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}

V případě (tzv. ortogonální parametrizace plochy) lze tento vzorec přepsat jako $F=0$

K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG))))\left({\frac {\partial }{\partial u)){\frac {G_{u)){{\sqrt { EG))))+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}({\sqrt {EG}}}}\right).

Pokud je povrch dán jako graf diferencovatelné funkce v trojrozměrném euklidovském prostoru s metrikou , má tento vzorec tvar $z=f(x,y)$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

K={\frac {f_{{xx}}\cdot f_{{yy}}-f_{{xy}}^{2}}{(1+f_{x}^{2}+f_{y}^ {2})^{2}}}

Pokud je povrch v trojrozměrném euklidovském prostoru s metrikou dán rovnicí , vzorec má tvar [2] $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $f(x,y,z)=0$

K={\frac {[f_{z}(f_{{xx}}f_{z}-2f_{x}f_{{xz}})+f_{x}^{2}f_{{zz}}] [f_{z}(f_{{yy}}f_{z}-2f_{y}f_{{yz}})+f_{y}^{2}f_{{zz}}]-[f_{z} (-f_{x}f_{{yz}}+f_{{xy}}f_{z}-f_{{xz}}f_{y})+f_{x}f_{y}f_{{zz}} ]^{2}}{f_{z}^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+f_{z}^{2})^{2}}}

Pokud je první kvadratická forma konformně ekvivalentní s euklidovskou, to znamená s nějakou funkcí a , vzorec pro Gaussovu křivost má tvar $E=G=e^{{u}}$ $u=u(x,y)$ $F=0$

K=-{\frac {1}{2e^{u}}}\Delta u,

kde je Laplaceův operátor .

\Delta

Viz také

Poznámky

↑ Brioschiho vzorec na Wolfram MathWorld . Získáno 24. června 2020. Archivováno z originálu dne 2. května 2021. (neurčitý)
↑ Gaussova křivost na Wolfram MathWorld . Staženo 24. června 2020. Archivováno z originálu dne 18. března 2020. (neurčitý)

Literatura

Pogorelov A. V. Diferenciální geometrie (6. vydání). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie (3. vydání). M.-L.: GITTL, 1950.

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)