Hyperreálné číslo

Hyperreálná čísla ( hyperreálná čísla ) - rozšíření oboru reálných čísel , které obsahuje čísla větší než všechna reprezentovatelná ve formě konečného součtu .

Termín „hyperreálné číslo“ ( angl.  hyper-real number ) navrhl americký matematik Edwin Hewitt v roce 1948 [1] . Teorii pole hyperreálných čísel jako rozšíření oboru reálných čísel publikoval v 60. letech Abraham Robinson , který ji nazval „ nestandardní analýza “. Robinson také dokázal konzistenci této teorie (přesněji redukoval problém na konzistenci reálných čísel).

Teorie hyperreálných čísel dává rigorózní přístup k výpočtu nekonečně velkých a nekonečně malých veličin, které v tomto případě na rozdíl od standardní analýzy nejsou proměnné, ale konstanty, tedy čísla. V nestandardní analýze je na moderním základě rehabilitována myšlenka, která sahá k Leibnizovi a jeho následovníkům o existenci skutečných infinitezimálních veličin jiných než nula, myšlenka, která byla v historickém vývoji matematické analýzy nahrazena konceptem variabilní limit . Je zvláštní, že představy o skutečných nekonečně velkých a nekonečně malých veličinách se zachovaly v učebnicích fyziky a dalších přírodních věd, kde se často vyskytují fráze jako „ať  je (nekonečně malý) objemový prvek…“ [2] .

Formální definice

Množina hyperreálných čísel je nearchimedovské uspořádané pole , rozšíření oboru reálných čísel , které obsahuje čísla větší než všechna reprezentovatelná jako konečný součet . Každé takové číslo je nekonečně velké a jeho reciproké číslo je nekonečně malé .

Hyperreálná čísla splňují princip převodu, rigorózní variantu Leibnizova heuristického principu spojitosti . Princip přenosu říká, že výroky v logice prvního řádu o jsou pravdivé i pro . Například pravidlo komutativnosti sčítání platí pro hyperreálná čísla stejně jako pro reálná. Princip přenosu ultravýkonů je důsledkem Losova teorému (1955). Vlastnosti aritmetických operací s hyperreálnými čísly jsou v zásadě stejné jako u reálných čísel.

Studium infinitezimálních veličin sahá až ke starověkému řeckému matematikovi Eudoxovi z Cnidu , který k jejich výpočtu používal metodu vyčerpání . V roce 1961 A. Robinson dokázal, že pole reálných čísel lze rozšířit na množinu ( uspořádané nearchimedovské pole) obsahující nekonečně malé a nekonečně velké prvky v tom smyslu, že do těchto pojmů vložili Leibniz a další matematici 18. století [ 3] .

Aplikace hyperreálných čísel a zejména principu přenosu v úlohách matematické analýzy se nazývá nestandardní analýza . Jednou z bezprostředních aplikací je definovat základní pojmy analýzy, jako je derivace a integrál přímo, bez použití přechodu k limitě nebo složitých logických konstrukcí. Definice derivátu z analytického se tak stává čistě aritmetickou:

for infinitesimal , kde znamená standardní část čísla , která spojuje každé konečné hyperreálné číslo s jediným reálným číslem, které je mu nekonečně blízké.

Pole hyperreálných čísel

Pole hyperreálných čísel se skládá ze tří částí [4] :

• záporná nekonečná čísla,
• konečná čísla
• kladná nekonečná čísla.

Konečná čísla lze zase rozdělit do dvou kategorií: běžná reálná a nestandardní . Každé nestandardní konečné číslo může být jednoznačně reprezentováno jako: kde  je reálné číslo a  je infinitesimální (kladné nebo záporné). Když , získá se množina infinitezimálů. Ukázalo se tedy, že každé reálné číslo je jakoby zahaleno aurou ( monádou ) svých hypermateriálních protějšků, které jsou nekonečně blízké [5] .

Algebraická struktura

Předpokládejme, že se jedná o Tichonovův prostor , který se také nazývá -space a  je algebrou spojitých reálných funkcí na . Nechť je v . _ Potom podílový kruh , je podle definice skutečnou algebrou a lze jej považovat za lineárně uspořádanou množinu . Pokud striktně obsahuje , pak se nazývá hyperreálný ideál (v terminologii Hewitta, 1948) a  hyperreálné pole. Všimněte si, že tento předpoklad neznamená, že síla pole je větší než síla pole , ve skutečnosti mohou mít stejnou sílu.

Důležitým speciálním případem je, je-li prostor diskrétním prostorem , v tomto případě jej lze identifikovat s mohutností množiny a se skutečnou algebrou funkcí z . Hyperreálná pole, která v tomto případě získáme, se nazývají ultrapowers a jsou totožná s ultrapowers konstruovanými pomocí volných ultrafiltrů v obecné topologii .

Poznámky

1. ↑ Hewitt, Edwin (1948). „Okruhy reálně hodnotných spojitých funkcí. já". Trans. amer. Matematika. Soc . 64 :45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
2. ↑ Viz například: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Physics course. M.: Vyšší škola, 1999, S. 128 a násl.
3. ↑ Panov V.F. Starověká a mladá matematika. - Ed. 2., opraveno. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
4. ↑ Uspenský, 1987 , s. dvacet.
5. ↑ Uspenský, 1987 , s. 19-21.

Literatura

• Gordon E.I., Kusraev A.G., Kutateladze S.S. Infinitezimální analýza . - Novosibirsk: Ústav matematiky, 2006.
• Davis M. Aplikovaná nestandardní analýza. — M .: Mir, 1980.
• Uspensky V. A. Co je nestandardní analýza. — M .: Nauka, 1987.