Willmoreova hypotéza

Willmoreova domněnka je spodní hranicí Willmoreovy energie torusu . Hypotéza je pojmenována po anglickém matematikovi Thomasi Willmoreovi , který ji formuloval v roce 1965 [1] . Důkaz domněnky oznámili Markish a Neves v roce 2012 a publikovali v roce 2014 [2] [3] .

Willmore Energy

Nechť je hladké ponoření kompaktní orientované plochy . Nechť je dána varieta M a Riemannova metrika generovaná ponořením . Nechť je střední zakřivení ( aritmetický průměr hlavních zakřivení κ 1 a κ 2 v každém bodě). V tomto zápisu je Willmoreova energie W ( M ) variety M dána vztahem $v:M\to \mathbb {R} ^{3}$ $proti$ $H:M\to \mathbb {R}$

W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.

Není těžké dokázat, že Willmoreova energie uspokojuje nerovnost s rovností právě tehdy, když je varieta M vložená koule . $W(M)\geqslant 4\pi$

Prohlášení

Výpočet hodnoty W ( M ) pro několik příkladů naznačuje, že musí existovat lepší hranice než pro povrchy s rodem . Zejména výpočet W ( M ) pro torus s různými symetriemi vedl Willmore v roce 1965 k následujícímu dohadu, který nyní nese jeho jméno $W(M)\geqslant 4\pi$ $g(M)>0$

Pro jakýkoli torus M hladce ponořený do R 3 nerovnost platí .

W(M)\geqslant 2\pi ^{2}

V roce 1982 Peter Lee a Yau Xingtong prokázali domněnku v nezapuštěném případě tím, že ukázali, že pokud je ponoření kompaktního povrchu, který není vložením, pak W ( M ) je nejméně [4] . ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3))$ $8\pi$

V roce 2012 Fernando Koda Markish a André Neves dokázali domněnku ve vnořeném případě pomocí Almgren–Pittsovy teorie minimaxu minimálních povrchů [2] [3] . Martin Schmidt požadoval důkaz v roce 2002 [5] , ale článek nebyl přijat k publikaci v žádném recenzovaném matematickém časopise (ačkoli článek neobsahoval důkaz Willmoreovy domněnky, Schmidt v článku dokázal některé další důležité domněnky). Před důkazem Markishe a Nevese byla Willmoreova domněnka již prokázána pro mnoho speciálních případů, jako je tubulární torus (sám Wilmore) a tori of revolution (od Langera a Singera) [6] .

Poznámky

↑ Willmore, 1965 , str. 493–496.
↑ 12 Morgan , 2012 .
↑ 1 2 Marques, Neves, 2014 , str. 683–782.
↑ Li, Yau, 1982 , str. 269-291.
↑ Schmidt, 2002 .
↑ Langer, Singer, 1984 , str. 531–534.

Literatura

Thomas J. Willmore. Poznámka k vloženým plochám // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. - 1965. - T. 11B .
Peter Li, Shing Tung Yau. Nový konformní invariant a jeho aplikace na Willmoreův odhad a první vlastní číslo kompaktních povrchů // Inventiones Mathematicae . - 1982. - T. 69 , no. 2 . - doi : 10.1007/BF01399507 .
Frank Morgan. Matematika najde nejlepší koblihu // The Huffington Post . — 2012.
Fernando C. Marques, André Neves. Teorie min-max a Willmoreova domněnka // Annals of Mathematics . - 2014. - T. 179 . — S. 683–782 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 .
Martin U Schmidt. Důkaz Willmoreovy domněnky. - 2002. - arXiv : math/0203224 .
Joel Langer, David Singer. Křivky v hyperbolické rovině a střední zakřivení tori ve 3-prostoru // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1984. - T. 16 , no. 5 . — S. 531–534 . - doi : 10.1112/blms/16.5.531 .