Baumslag Group - Solitaire

Skupina Baumslag-Solitaire je skupina se dvěma generátory a jednou relací $A$ $b$

ab^{m}a^{-1}=b^{n}.

Obvykle se tato skupina obvykle označuje . $BS(m,n)$

Příklady a vlastnosti

$BS(1,1)$ je volná abelovská skupina se dvěma generátory,
$BS(1,-1)$ základní skupina lahve Klein
$BS(1,n)$ je izomorfní k podskupině skupiny afinních transformací reálné čáry generované zobrazeními a . $n>1$ $a:x\to nx$ $b:x\to x+1$
Grupa (spolu s dalšími grupami, pro které se množiny prvočíselných dělitelů m an n neshodují) je nejznámějším příkladem nehopfovské grupy [1] . Konkrétně, epimorfismus není automorfismus . $BS(2,3)$ $BS(m,n)$ $\varphi :a\mapsto a,\,\varphi :b\mapsto b^{2}$ $BS(2,3)$
Skupina umožňuje lineární zobrazení a . $BS(n,m)$ ${\displaystyle a\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$ ${\displaystyle b\mapsto {\big (}{\begin{smallmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\big )))$
- Tato reprezentace není efektivní , tj. různé prvky skupiny mohou odpovídat stejnému lineárnímu operátoru.
Skupina je reziduálně konečná právě tehdy, když , , nebo [2] $BS(m,n)$ $|m|=1$ $|n|=1$ $|m|=|n|$

↑ DJ Collins (2001), „ Skupina Baumslag-Solitar Archived 26. června 2010 na Wayback Machine “, v Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups

DJ Collins (2001), " Skupina Baumslag-Solitar Archived 26. června 2010 na Wayback Machine ", v Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 .
Gilbert Baumslag a Donald Solitar, Některé ne-Hopfovské skupiny se dvěma generátory a jedním relátorem Archivováno 29. listopadu 2015 na Wayback Machine , Bulletin American Mathematical Society 68 (1962), 199-201. MR : 0142635