Dvojitý lom

Dvojlom neboli dvojlom je optická vlastnost anizotropních materiálů, u kterých index lomu závisí na směru šíření světla. U takových materiálů lze pozorovat efekt rozdělení paprsku světla na dvě složky, kdy při vstupu do materiálu nevznikne jeden, ale dva lomené paprsky s různými směry a polarizacemi. Poprvé ji objevil dánský vědec Rasmus Bartholin na krystalu islandského ráhna v roce 1669 .

Popis

Jednoosé materiály

Nejjednodušší typ dvojlomu je vidět u jednoosých materiálů . Nejčastěji se jedná o krystaly, jejichž mřížka je asymetrická, konkrétně je prodloužená nebo stlačená v libovolném směru . V tomto případě rotace kolem tohoto směru (optická osa) nemění optické vlastnosti krystalu. Chování světelné vlny v takovém prostředí závisí na směru šíření a polarizaci světla. Obyčejná vlna je taková, která je polarizována kolmo k optické ose a směru šíření, a polarizace mimořádné vlny je kolmá k obyčejné vlně. Lze rozlišit tři hlavní případy:

1) Světlo se šíří podél optické osy (v tomto případě bude polarizace kolmá na optickou osu), pak bude index lomu stejný pro všechny polarizace a krystal se v tomto případě neliší od izotropního prostředí, a není žádný rozdíl mezi obyčejnými a mimořádnými vlnami.

2) Světlo se šíří kolmo k optické ose. Poté lze polarizaci rozložit na dva průměty – rovnoběžné s optickou osou a kolmé. Efektivní index lomu se bude lišit pro světlo dvou ortogonálních polarizací a při průchodu vrstvou (deskou) materiálu lze pozorovat fázový posun mezi těmito dvěma složkami. Pokud je počáteční polarizace lineární a je orientována buď zcela podél nebo zcela kolmo k optické ose, pak se na výstupu z desky nezmění. Pokud je však světlo zpočátku polarizováno pod úhlem k optické ose, nebo je polarizace eliptická nebo kruhová, pak při průchodu deskou jednoosého krystalu se polarizace může změnit v důsledku fázového posunu mezi součástmi. Posun závisí na tloušťce desky, rozdílu mezi indexy lomu a vlnové délce světla.

Nechť úhel mezi polarizací a optickou osou je . Pokud je tloušťka desky taková, že na výstupu z ní je jedna polarizace o čtvrtinu vlny (čtvrtinu periody) za druhou, pak se původní lineární polarizace změní na kruhovou (takové desce se říká čtvrtinová -vlna) pokud fáze jednoho paprsku zaostává za fází druhého paprsku o polovinu vlnové délky, pak světlo zůstane lineárně polarizované, ale rovina polarizace se otočí o určitý úhel, jehož hodnota závisí na úhlu mezi rovinou polarizace dopadajícího paprsku a rovinou hlavní optické osy (takové desce se říká půlvlna). $45^{o}$

3) Světlo se šíří v libovolném směru vzhledem k optické ose. Pak nebude pozorován jeden lomený paprsek, ale dva s různou polarizací. Směry lomených paprsků lze zjistit graficky.

Matematický popis procesu je poměrně těžkopádný, ale výsledek lze názorně ilustrovat pomocí konstrukcí připomínajících znázornění difrakce v krystalu pomocí Ewaldovy konstrukce .

Nechte vlnu padat ze vzduchu na povrch jednoosého krystalu. Návod k nalezení směrů vlnových a paprskových vektorů pro obyčejné a mimořádné vlnění pro jednoosý krystal (viz obrázek, pro zjednodušení je optická osa v rovině dopadu). :

1. Nakreslete povrch krystalu vodorovně.

2. Nakreslete ve vzduchu polokouli s poloměrem rovným jedné a se středem ležícím na povrchu krystalu.

2. Nakreslete do média polokouli se stejným středem a poloměrem rovným indexu lomu . ${\displaystyle n_{o))$

3. Nakreslete do prostředí elipsoid se stejným středem, jehož hlavní poloosa je orientována podél optické osy krystalu a je rovna , vedlejší je . ${\displaystyle n_{o))$ $n_{e}$

4. Sestrojte dopadající a odražené paprsky tak, aby konec dopadu a začátek odraženého byly ve středu koulí.

5. Nakreslete svislou čáru procházející průsečíkem odraženého paprsku s koulí.

6. Najděte průsečíky přímky s koulí a elipsoidem v látce.

7. Nakreslete od středu k průsečíkům směrů vlnových vektorů obyčejného a mimořádného vlnění. Indexy lomu budou odpovídat délce těchto vektorů.

8. Pro obyčejnou vlnu: vektor E musí být kolmý k optické ose a vektor k , k || s .

9. Pro mimořádné vlnění: Vektor paprsku s musí být v průsečíku kolmý k elipsoidu. Mimořádný paprsek nesmí ležet v rovině dopadu. Polarizace mimořádné vlny E je kolmá na vektor paprsku s a polarizace vlny obyčejné. Vektor D je kolmý na vlnový vektor k . Vektory D , E , s a k mimořádné vlny musí ležet ve stejné rovině [1] .

Biaxiální materiály

V takových krystalech jsou indexy lomu různé podél všech tří os kartézského souřadnicového systému. Povrch vlnových vektorů má složitý tvar, ale stále existují dva rozlišené směry, které lze nazvat optickými osami, protože při šíření podél optických os existuje pouze jeden směr k -vektoru. V tomto případě tento směr odpovídá nekonečnému počtu paprskových vektorů, které vyplňují kuželovou plochu, a je pozorován kuželový lom . Při šíření ve směrech, které se neshodují s optickými osami, je pozorován dvojlom, ale v tomto případě jsou nejčastěji oba paprsky mimořádné (směr vektoru vlny a paprsku se neshoduje).

Dvojlom lze pozorovat nejen v krystalech, ale také v jakémkoli materiálu s asymetrickou strukturou, například v plastu.

Povaha jevu

Kvalitativně lze jev vysvětlit následovně. Z Maxwellových rovnic pro hmotné prostředí vyplývá, že fázová rychlost světla v prostředí je nepřímo úměrná dielektrické konstantě ε prostředí. V některých krystalech permitivita - tenzorová veličina - závisí na směru elektrického vektoru, tedy na stavu polarizace vlny , a proto bude fázová rychlost vlny záviset na její polarizaci.

Podle klasické teorie světla je výskyt efektu dán tím, že střídavé elektromagnetické pole světla způsobuje oscilaci elektronů látky a tyto oscilace ovlivňují šíření světla v prostředí a v některých látkách je snazší přimět elektrony, aby oscilovaly v určitých určitých směrech.

Odvození vzorců

V izotropním prostředí (včetně volného prostoru) je elektrická indukce ( D ) jednoduše úměrná elektrickému poli ( E ) podle D = ɛ E kde permitivita ε je právě skalár (a je rovna n 2 ε 0 kde n je index lomu ). Avšak v anizotropních materiálech musí být vztah mezi D a E popsán pomocí tenzorové rovnice:

\mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E}

(jeden)

kde ε je nyní matice 3 × 3. Předpokládejme, že prostředí je lineární a magnetická permeabilita je μ = μ 0 . Zapišme elektrické pole rovinné vlny o frekvenci ω v následujícím tvaru:

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

(2)

kde r je vektor poloměru, t je čas, E 0 je vektor popisující elektrické pole v r = 0 , t = 0 . Najděte všechny možné vlnové vektory k . Sloučení Maxwellových rovnic pro ∇ × E a ∇ × H a odstranění H = jedenμ0 _B , dostaneme:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {D}

(3a)

Připomeňme také, že při absenci bezplatných poplatků divergence D zmizí:

\nabla \cdot \mathbf {D} =0

(3b)

Aplikujte vztah ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A na levou stranu 3a a využijte toho, že pole je rovinná vlna, což znamená, že derivace vzhledem k x (například) vede k násobení ik x :

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k } )\mathbf {E}

Pravá strana 3a může být vyjádřena pomocí E s tenzorem ε a derivace času jednoduše vedou k násobení −iω a pak 3a :

(-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0 }\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )

(4a)

Aplikováním diferenciace na 3b zjistíme:

\mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0

(4b)

Rovnice 4b znamená, že D je kolmé ke směru vlnového vektoru k , zatímco pro vektor E to již neplatí, jak by tomu bylo v izotropním prostředí. Rovnice 4b nebude dále používána.

Nalezení platných hodnot pro vektor k pro dané ω je nejjednodušší v kartézském souřadnicovém systému , ve kterém jsou osy x , y a z rovnoběžné s osami symetrie krystalu (nebo jednoduše výběrem osy z podél optické osa jednoosého krystalu). Potom matice pro tenzor ε bude diagonální:

\mathbf {\varepsilon } =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{ 2}\end{bmatrix}}

(4c)

na diagonále jsou čtverce indexu lomu pro polarizace podél os x , y , az . Dosazením ε v tomto tvaru a rychlosti světla c ve tvaru c 2 =jedenμ 0 ε 0, Průmět vektorové rovnice 4a na osu x je zapsán jako

\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_ {x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}E_{x}

(5a)

kde Ex , Ey , Ez jsou složky vektoru E a kx , k y , kz jsou složky vlnového vektoru k . Zapišme rovnice pro všechny tři projekce rov. 4a :

\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2} }}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

(5b)

k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{ y}^{2}}{c^{2}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

(5c)

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} +{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0

(5 d)

Jedná se o systém lineárních rovnic na E x , E y , Ez , který má netriviální řešení (tj. E = 0 ) pouze v případě , že determinant následující matice je nula:

{\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2} -k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\ k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_ {z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0

(6)

Výpočtem determinantu 6 získáme

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2} }{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+ \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{ n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}} }\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0

(7)

Rovnice 7 se také nazývá Fresnelova rovnice.

Jednoosý krystal

V tomto případě v případě jednoosého materiálu (dva diagonální prvky matice ε jsou si navzájem rovny) a zvolení souřadnicového systému tak, aby optická osa směřovala podél z , označujeme n x = n y = n o a n z = n e , výraz se redukuje na

\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_ {\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^ {2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{ 2))}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0

(osm)

Aby rovnice 8 platila, jeden z faktorů musí být nula. Všimněte si, že první odpovídá rovnici koule a druhé odpovídá povrchu elipsoidu v prostoru vlnových vektorů k pro dané ω . První faktor odpovídá řešení pro obyčejnou vlnu, kde je index lomu roven n o bez ohledu na směr, a druhý - pro mimořádnou. Druhý faktor odpovídá řešení pro mimořádné vlnění, kde efektivní index lomu kolísá od n o do n e v závislosti na směru k . Pro libovolný směr šíření vlny jsou možné dva vektory k odpovídající dvěma různým polarizacím.

Pro obyčejnou vlnu se vektory D a E shodují, stejně jako směry vlnového vektoru k a směr vektoru paprsku s v geometrické optice (jejíž směr je stejný jako grupový vektor rychlosti ). U mimořádné vlny to obecně neplatí. Zvažte rovnici pro jednoosý krystal $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

F(k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+ {\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=0

(9)

Porovnejme rovnici pro grupovou rychlost s rovnicí normály k povrchu danou implicitně. Protože rovnice se shodují až do konstanty, je vektor paprsku kolmý k uvažovanému elipsoidu. $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

Biaxiální krystal

Abychom pochopili, jak povrch vypadá, když jsou všechny diagonální prvky matice ε různé (nechť ), nastavíme jednu ze složek vektoru k nule ( ) a přepíšeme rovnici 7 . ${\displaystyle n_{z}>n_{y}>n_{x))$ $k_{z}=0$

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2 ))}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_ {y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right){\frac {k_{x}^{2}+ k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}=0

(deset)

Dá se to zohlednit:

\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}} -{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} -{\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}\right)=0

(jedenáct)

První faktor je elipsa a druhý je kruh. Podobné rozšíření lze provést pro všechny tři roviny . Na obrázku jsou řezy povrchu tří souřadnicových rovin v jednom oktantu, ve zbytku je obrázek symetrický. Plocha má 4 singulární body (sebeprůsečíky), v našem případě ležící v rovině xz . Těmito body procházejí dvě osy , které se nazývají optické osy (neboli binormály ) dvouosého krystalu. Pouze v těchto směrech může mít vlnový vektor jedinečnou hodnotu. Avšak v singulárním bodě na povrchu je směr normály neurčitý a vektor paprsku může vyplnit kuželový povrch (kužel vnitřního kuželového lomu ) $k_{i}=0$ $\beta$

Umělý dvojlom

Kromě dvojlomných krystalů je dvojlom pozorován také v izotropních prostředích umístěných v elektrickém poli ( Kerrův efekt ), v magnetickém poli ( Faradayův efekt a Cotton-Moutonův efekt ), za působení mechanických napětí ( fotoelasticita ). Pod vlivem těchto faktorů mění původně izotropní prostředí své vlastnosti a stává se anizotropním. V těchto případech se optická osa média shoduje se směrem elektrického pole, magnetického pole a směrem působení síly.

Pozitivní a negativní krystaly

Negativní krystaly jsou jednoosé krystaly, ve kterých je rychlost šíření obyčejného paprsku světla menší než rychlost šíření mimořádného paprsku. V krystalografii se negativní krystaly také nazývají tekuté inkluze v krystalech, které mají stejný tvar jako samotný krystal.
Pozitivní krystaly jsou jednoosé krystaly, ve kterých je rychlost šíření obyčejného paprsku světla větší než rychlost šíření mimořádného paprsku.

Viz také

Související média Birefringence na Wikimedia Commons
Polarizace dielektrik
Cotton-Mouton efekt
Kerrův efekt
Pockelsův efekt
Faradayův efekt

Literatura

Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. — M. . - T. IV. Optika.
Landsberg G.S. Optics M., 2004
Landau L. D. , Lifshits E. M. Elektrodynamika spojitých médií. - 4. vydání, stereotypní. — M .: Fizmatlit , 2003. — 656 s. - ( Teoretická fyzika , svazek VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Saleh B., Teich M. , Optika a fotonika. Principy a aplikace, přel. z angličtiny. Za 2 t.

Poznámky

↑ D. A. Parshin, G. G. Zegrya. Elektromagnetické vlny. vlnová rovnice. Ploché vlny. Tok energie v rovinné vlně. Ukazující vektor. Hustota impulsního toku. Tenzor stresu. lehký tlak. Lebeděvovy experimenty. . Elektromagnetické vlny. Přednáška 18 . Získáno 21. srpna 2020. Archivováno z originálu 11. července 2019. (neurčitý)

Odkazy

Erasmus Bartholin, Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio detegitur (Kodaň, Dánsko: Daniel Paulli, 1669).
Erasmus Bartholin (1. ledna 1670) Popis různých experimentů, které provedl a sdělil tento učený matematik Dr. Erasmus Bartholin, na těle podobném křišťálu, mu poslal z ostrova, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 5 : 2041-2048.