Duální kategorie

Duální kategorie ( duální kategorie ) je kategorie konstruovaná z duality dané podle principu kategorie teoretický , to znamená, že pro kategorii je duální kategorie kategorií se stejnými objekty jako u množin morfismů („převrácení šipky“ ). Složení morfismů v kategorii a v kategorii je definováno jako složení a v . Pojmy a tvrzení patřící do kategorie jsou nahrazeny duálními pojmy a tvrzeními v . Použití duality dvakrát bere kategorii do sebe. ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathcal C}$ ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ $F$ $G$ ${\mathcal C}^{{op))$ $G$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$

Příklady

Kategorie Booleových algeber je ekvivalentní duální kategorii Stoneových prostorů a spojitých funkcí.
Kategorie afinních schémat je ekvivalentní duální kategorii komutativních kruhů .
Pontrjaginova dualita může být omezena na ekvivalenci kategorie kompaktních Hausdorffových abelovských topologických grup a duální kategorie (diskrétních) abelovských grup .
Podle Gelfand-Neumarkovy věty je kategorie lokálně měřitelných prostorů (a měřitelných funkcí ) ekvivalentní duální kategorii komutativních von Neumannových algeber .

Vlastnosti

$({\mathcal C}\times {\mathcal D})^{{op}}\cong {\mathcal C}^{{op}}\times {\mathcal D}^{{op}}$ (viz kategorie práce )
$(Funct({\mathcal C},{\mathcal D}))^{{op}}\cong Funct({\mathcal C}^{{op}},{\mathcal D}^{{op}})$ [1] [2] (viz kategorie funktorů )
$(F\downarrow G)^{{op}}\cong (G^{{op}}\downarrow F^{{op}})$ (viz kategorie čárka )

Poznámky

↑ H. Herrlich, G.E. Strecker, Teorie kategorií , 3. vydání, Heldermann Verlag, str. 99.
↑ O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi , World Scientific, 1991, str. osm.

Literatura

McLane S. Kapitola 2. Konstrukce v kategoriích // Kategorie pro pracujícího matematika = Kategorie pro pracujícího matematika / Per. z angličtiny. vyd. V. A. Artamonová. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .