Diferenciální počet nad komutativními algebrami

Diferenciální počet nad komutativními algebrami je odvětví komutativní algebry , které vzniklo v sedmdesátých letech minulého století.

Skalární operátory

Dovolit být pole, být algebra přes pole , komutativní as jednotou, a být -lineární zobrazení, . Jakýkoli prvek algebry lze chápat jako operátor násobení: . Operátory a , obecně řečeno, nekomutují a rovnost platí tehdy a jen tehdy, když je -homomorfismus. $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $v A$ $a(b)=ab,\ b\in A$ $A$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $A$

Definice 1 . se nazývá diferenciální operátor (DO) řádu od do, pokud existuje $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $A$ $A$ $a_{0},\tečky ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

Množina všech TO řádu od do je označena . Součet dvou DO řádu bude opět DO řádu a množina je stabilní s ohledem na levé i pravé násobení prvky algebry , takže je vybavena přirozenou bimodulovou strukturou přes . $\leq n$ $A$ $A$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Diff} _{n}A$ $A$ $A$

Odvození

Body algebry se nazývají -homomorfismy od do . Množinu všech bodů algebry vybavených Zariskiho topologií označíme . Prvky algebry lze chápat jako funkce na prostoru nastavením . $A$ $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $A$ $\vert A\vert$ $A$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\ z\in \vert A\vert$

Definice 2 . Zobrazení se nazývá tečný vektor k prostoru v bodě , pokud v tomto bodě splňuje Leibnizovo pravidlo: $\Delta _{z}\dvojtečka A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\v A.

Množina všech tečných vektorů v bodě má přirozenou strukturu vektorového prostoru nad . Nazývá se tečný prostor prostoru v bodě . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

Definice 3 . Mapování se nazývá odvození algebry s hodnotami v , pokud splňuje Leibnizovo pravidlo: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Množina všech derivací algebry s hodnotami v má přirozenou strukturu levého modulu. (Násobení vpravo tuto množinu nezachová.) Jakákoli derivace definuje rodinu tečných vektorů pro všechny body : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ ${\displaystyle \Delta _{z))$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

Odvození jsou samozřejmě PŘED objednávkou : $\leq 1$

{\displaystyle D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\ \vert \ \Delta (k)=0\ \forall k\in \Bbbk \))

Je definován přirozený izomorfismus levých modulů $A$

\mathrm {Diff} _{1}A=D(A)+A.

Hladké funkce

Jestliže je algebra hladkých funkcí na varietě , pak je přirozeně vybavena strukturou hladké variety a ukazuje se, že . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty }(M)\vert =M$

Věta . Dovolit a být systém místních souřadnic v nějakém sousedství . Omezení na a na pak lze zapsat v následujícím tvaru $\Delta \in \mathrm {Diff} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\tečky,x_n$ $U\podmnožina M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i))}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\částečný ^{|\sigma |} }{\částečné x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Jinými slovy, pro algebru hladkých funkcí na M se "algebraická" definice DO shoduje s klasickou a odvození algebry jsou vektorová pole na . $C^{\infty } (M)$ $M$

Obecný případ

Nechat být moduly přes . Definice 1 a 3 se beze změny přenášejí do tohoto případu: $P,\Q$ $A$

Definice 4 . -homomorfismus se nazývá lineární diferenciální operátor řádu od do ~ , pokud existuje $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $Q$ $P$ $a_{0},\tečky ,a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

Definice 5 . Mapování se nazývá odvození algebry s hodnotami v , pokud splňuje Leibnizovo pravidlo: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Množina všech DO řádu od do je bimodul přes a množina všech odvození od do je levý modul. $\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $Q$ $P$ $A$ $\mathrm {D} (P)$ $A$ $P$ $A$

Jestliže je algebra hladkých funkcí na varietě , pak projektivní konečně generované -moduly nejsou nic jiného než moduly sekcí konečněrozměrných vektorových svazků nad . V tomto případě Definice 4 popisuje DO na vektorově hodnotných funkcích, které je transformují na vektorově hodnocené funkce, zatímco Definice 5 popisuje vektorová vektorová pole. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $A$ $M$

Reprezentace objektů a geometrizace

Funktory a jsou reprezentovatelné: $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad)$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Věta . 1. Existují jedinečné -moduly a odvozeniny takové, že pro jakýkoli -modul existuje přirozený izomorfismus $A$ $\lambda$ $d\colon A\to \Lambda$ $A$ $Q$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda ,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Existují jedinečné -moduly a DO řádu tak, že pro jakýkoli -modul existuje přirozený izomorfismus $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\dvojtečka P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $A$ $Q$

\mathrm {Diff} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Diff} _{n}(P ,Q).

Derivace a DO se nazývají univerzální diferenciace a univerzální DO řádu , respektive moduly a nazývají se modul diferenciálních forem prvního řádu a modul řádových jetů . (Někdy se místo termínu "jet" používá termín "jet".) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

Moduly a jsou zcela jednoduše popsány „na prstech“. Totiž -modul je generován všemi možnými prvky formuláře, pro které platí následující vztahy: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\ p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\ \forall k\in \Bbbk ,\ p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\tečky ,a_{n}\in A

, kde , a tak dále.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

Podobně je -modul generován všemi možnými prvky formuláře, pro které platí následující vztahy: $A$ $\lambda$ $da,\ a\in A$

d(ka)=kda\ \forall k\in \Bbbk ,\ a\in A

d(ab)=adb+bda\ \forall a,b\in A

I zde by bylo přirozené očekávat, že pro algebru se diferenciální formy ukáží jako „obyčejné“ diferenciální formy na varietě a jety – „obyčejné“ jety , ale není tomu tak. Důvodem je existence neviditelných prvků v algebraických konstrukcích , tedy nenulových prvků, které se však v každém bodě variety rovnají nule . Například, nechť , diferenciální tvar je nenulový, ale . Moduly , které neobsahují neviditelné prvky, se nazývají geometrické. Pro any -module tvoří množina všech neviditelných prvků submodul, jehož faktorem je geometrický modul a je označen . Moduly a , kde je geometrický modul, budou reprezentující objekty pro funktory a v kategorii geometrických modulů nad . Ukázalo se, že jsou izomorfní s modulem "obyčejných" diferenciálních forem a s modulem "obyčejných" jetů. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{1))$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\ \forall z\in \mathbb {R} ^{1}$ $C^{\infty } (M)$ $C^{\infty } (M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Diff} _{n}(P,\quad)$ $A=C^{\infty }(M)$

Stupňované algebry

Tuto teorii lze snadno přenést na případ stupňovaných algeber (ve staré terminologii superalgeber), kde zejména dává nový pohled na takové konstrukce, jako jsou integrální formy a Berezinův integrál.

Aplikace

Skutečnost, že diferenciální počet je odvětvím komutativní algebry, je sama o sobě zajímavá a úzce souvisí s jedním z nejdůležitějších fyzikálních pojmů -- s pojmem pozorovatelného . Invariantní algebraické konstrukce umožňují pracovat tam, kde je klasický souřadnicový přístup příliš těžkopádný, nebo dokonce nemožný, například v případě variet se singularitami nebo nekonečněrozměrných. Používají se v Hamiltonově a Lagrangově mechanice , teorii zákonů zachování, sekundárním počtu , nemluvě o algebraické a diferenciální geometrii .

Historické pozadí

Definice DO v kategorii modulů nad komutativními algebrami se nezávisle na sobě objevila v pracích P. Gabriela [1] , S. Suzukiho [2] a A. M. Vinogradova [3] . Pouze A. M. Vinogradov si však uvědomil plnou důležitost algebraického přístupu k DO a hlavní příspěvek k rozvoji této teorie měl on a jeho studenti.

Viz také

Poznámky

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie du Box621 Marie Lect. Poznámky v matematice. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Diferenciály komutativních prstenců, Queen's University papers in čisté a aplikované matematice, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Algebra logiky teorie lineárních diferenciálních operátorů Archivováno 12. prosince 2021 ve Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Literatura

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables , MCNMO, Moskva, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , Co je hamiltonovský formalismus? // Pokroky v matematických vědách. - 1975. - V. 30, číslo 1 (181), - s. 173–198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Úvod do geometrie nelineárních diferenciálních rovnic, Kapitola 1. Lineární diferenciální operátory v komutativních algebrách M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Některé homologické systémy spojené s diferenciálním počtem v komutativních algebrách // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, číslo 6 (210), - s. 145–150.
IS Krasil'shchik , Přednášky o lineárních diferenciálních operátorech nad komutativními algebrami. Eprint DIPS-01/98
Algebraické aspekty diferenciálního počtu, editovali Joseph Krasil'shchik a Alexandre Vinogradov , - Zvláštní vydání Acta Applicandae Mathematicae, svazek 49, vydání 3, prosinec 1997, 321 stran, ISSN: 0167-8019. (Články v tomto čísle jsou jednotlivě dostupné elektronicky: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Homologické metody v rovnicích matematické fyziky, Open Ed. a věd, Opava (Česká rep.), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Logika diferenciálního počtu a zoologická zahrada geometrických struktur, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Kohomologická analýza parciálních diferenciálních rovnic a sekundárního počtu, — řada AMS "Překlad matematických monografií", sv. 204, 247 stran, 2001.