Jednotka (algebra)

Jednotka v teorii kruhu  je oboustranný neutrální prvek operace násobení. Prsten obsahující jedničku se nazývá prsten s jedničkou . Jednotka se zpravidla označuje číslem „1“ (které odráží takové vlastnosti stejnojmenného čísla ) nebo někdy (například v maticové algebře ) latinským písmenem I nebo E.

Různé definice algebraických objektů mohou buď vyžadovat přítomnost jednotky, nebo ji ponechat jako volitelný prvek. Jednostranný neutrální prvek se nenazývá jednotkou. Jednotka je jedinečná obecnou vlastností oboustranného neutrálního prvku.

Někdy jsou jednotky prstenu jeho vratné prvky , což může být matoucí.

Teorie jedničky, nuly a kategorií

V závislosti na algebraické struktuře a její přesné definici může být rovnost 1 = 0 zakázána i povolena, ale tam, kde k takové rovnosti dochází, je objekt triviální . Pole má podle definice jednotku a je vyžadováno 1 ≠ 0 , takže každé pole obsahuje alespoň dva odlišné prvky. V kategorii prstenců jednotkových prstenů je triviální prsten koncovým objektem .

Jednotka je jediným prvkem prstenu, idempotentním i nevratným.

Reverzibilita

Jakýkoli prvek u kruhu s jednotou, který je oboustranným dělitelem jednoty, se nazývá invertibilní , to znamená:

Z asociativity násobení vyplývá, že v tomto případě v 1 = v 2 , což opět znamená, že volba je jedinečná.

Reverzibilní prvky se někdy nazývají algebraické jednotky ( anglicky  unity , francouzsky  unité ), ale tento pojem je širší než specifický neutrální prvek 1 . Například v poli je jakýkoli prvek jiný než nula invertovatelný.

Idempotence

Jestliže je idempotent v kruhu a ideály a shodují se, pak e je identita tam (v podkruhu).

Přidání jednotky

Jakákoli algebra nad komutativním kruhem , i když nemusí být nutně asociativní, může být rozšířena na jednu dimenzi přidáním prvku 1 a definováním násobení na lineárních kombinacích jako:

při zachování takových vlastností, jako je asociativita a komutativnost násobení. Prvek 1 bude jednotkou rozšířené algebry. Pokud algebra již měla jednotku, pak se po rozšíření změní v nevratný idempotent.

To lze také provést například s prstencem, protože každý prsten je asociativní algebrou nad .

V odstupňovaných algebrách

V stupňované algebře se vyžaduje, aby jednotka (pokud existuje) měla stupeň 0.

Příklady