Zákon čtvercové krychle

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. ledna 2018; kontroly vyžadují 23 úprav .

Zákon čtverce - krychle je následující princip:

pokud se velikost objektu proporcionálně (tj. pomocí transformace podobnosti ) zvětší (zmenší), jeho nový objem bude úměrný třetí mocnině měřítka a jeho nový povrch bude úměrný čtverci:

v_{2}=v_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3},\qquad A_{2}= A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2},

kde: je objem původního objektu, je nový objem, je plocha povrchu původního objektu, je nová plocha povrchu, je lineární velikost původního objektu a je nová lineární velikost. $v_{1}$ $v_{2}$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\ell _{1}$ $\ell _{2}$

Například krychle o délce strany 1 metr má povrch 6 m² a objem 1 m³. Pokud se délka strany zdvojnásobí , její plocha se zčtyřnásobí na 24 m² a její objem se zvětší 8krát na 8 m³. Tento princip platí pro všechny orgány.

Tento zákon nachází uplatnění v technice a biomechanice a je založen na matematickém přepočtu rozměrů. Poprvé to ukázal Galileo Galilei v roce 1638 v Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze („ Rozhovory a matematické důkazy dvou nových věd “).

Technika

Zvětší-li se fyzický objekt při zachování stejné hustoty materiálu, ze kterého je vyroben, jeho hmotnost se zvýší úměrně faktoru nárůstu na třetí mocninu, zatímco jeho povrch se zvětší úměrně druhé mocnině měřítkový faktor. To zejména znamená, že pokud je segmentu povrchu zvětšeného objektu uděleno stejné zrychlení jako originálu, bude na povrch zvětšeného objektu působit větší tlak .

Uvažujme jednoduchý příklad - těleso s hmotností má zrychlení a povrch , na který působí síla s tímto zrychlením. Síla způsobená zrychlením je , a tlak na povrch je Nyní uvažujme objekt, jehož rozměry jsou vynásobeny faktorem tak, že jeho nová hmotnost je , a povrch, na který síla působí, má novou plochu, . Potom se nová síla způsobená zrychlením rovná a výsledný tlak na povrch: $m$ $A$ $S$ $F=ma$ $T={\tfrac {F}{S}}={\tfrac {ma}{S}}.$ $X$ $m'=x^{3}\cdot m$ $S'=x^{2}\cdot S$ $F'=x^{3}\cdot ma,$

{\begin{aligned}T'&={\frac {F'}{S'}}={\frac {x^{3}\cdot ma}{x^{2}\cdot S}} =\\&=x{\frac {ma}{S}}=x\cdot T.\\\end{aligned}}

S nárůstem velikosti předmětu při zachování stejného materiálu, ze kterého je předmět složen (a tedy hustoty ) a zrychlení, se tlak, který vytváří na povrchu, zvýší stejným faktorem. To ukazuje, že když se objekt zvětší, jeho schopnost odolávat stresu se sníží a bude snazší jej zničit v procesu zrychlení.

To vysvětluje, proč si velká vozidla nevedou dobře v nárazových testech a proč existují výškové limity pro výškové budovy. Podobně, čím větší objekt je, tím méně budou ostatní předměty bránit pohybu, což způsobí jeho zpomalení.

Biomechanika

Pokud se velikost zvířete výrazně zvětší, jeho svalová síla se vážně sníží, protože průřez jeho svalů se zvětší úměrně druhé mocnině měřítka , zatímco jeho hmotnost se zvýší úměrně krychli tohoto faktor. V důsledku toho jsou kardiovaskulární funkce výrazně omezeny. Z tohoto důvodu může například hmyz zvednout mnohem více, než je jeho vlastní hmotnost. Pokud se zvětší velikost létajících živých tvorů, musí se zvýšit zatížení jejich křídel, a proto, aby si udrželi stejný vztlak , budou muset mávat častěji . To nebude snadné, protože síla svalů bude menší. To také vysvětluje, proč může mít čmelák velikost těla ve srovnání s jeho rozpětím křídel, zatímco pro létající zvíře mnohem větší než čmelák by to bylo nemožné. Také pro živé tvory malých velikostí je odpor vzduchu na jednotku hmotnosti vysoký, a proto neumírají při pádu z jakékoli výšky.

Navíc práce dýchacího systému hmyzu závisí na velikosti povrchu těla. S nárůstem objemu těla nebude jeho povrch schopen zajistit dýchání.

Z těchto důvodů jsou obří hmyz, pavouci a další zvířata zobrazená v hororových filmech nerealistická, protože tak velké velikosti by způsobily jejich udušení a kolaps. Výjimkou jsou obří vodní živočichové ( hlubinný gigantismus ), protože voda je schopna pojmout i poměrně velké tvory [1] .

J. B. S. Haldane vyjádřil o obrech následující názor [1] :

Předpokládejme, že existuje muž-obr 60 stop vysoký, jako papež a pohanští obři z pohádek mého dětství. Takoví obři jsou nejen 10krát vyšší než průměrný člověk, ale 10krát širší a 10krát hustší, to znamená, že jejich celková hmotnost je 1000krát větší než hmotnost průměrného člověka, a proto je od 80 do 90 tun. Průřez kostí takových obrů je 100krát větší než průřez kostí průměrného člověka; proto každý čtvereční palec kosti obra musí nést zatížení 10krát větší než čtvereční palec kosti průměrného muže. Vezmeme-li v úvahu, že lidská holenní kost se zlomí při zatížení 10násobku její hmotnosti, tibie obrů by se musela zlomit při každém jejich kroku. Není proto na obrázcích, které si ještě pamatuji, zobrazeny sedící?

Tepelné procesy

Zákon čtvercové krychle platí také pro tepelné procesy: teplosměnná plocha se zvětšuje úměrně druhé mocnině velikosti a objem obsahující nebo vytvářející teplo se zvětšuje úměrně krychli. V důsledku toho se tepelné ztráty na jednotku objemu objektu snižují se zvětšováním jeho velikosti a naopak se zvyšují se zmenšováním velikosti. Proto například energie potřebná k vytápění nebo chlazení jednotkového objemu skladu klesá s rostoucí velikostí skladu.

V technologii

Zákon má široké uplatnění v technice. Slouží například k tomu, že pro vytvoření letadla s dvojnásobnou nosností by bylo nesmyslné jednoduše proporcionálně zdvojnásobit všechny velikosti jeho částí – zákaz přímého škálování ukládá zákon o čtvercové krychli.

Elektromobily

Pokud předpokládáme, že při škálování elektrického stroje je zachována proudová hustota , magnetická indukce a rychlost otáčení , pak s nárůstem všech rozměrů o krát bude síla proudu 2krát větší (úměrná ploše průřezu vodičů). Magnetický tok se také zvýší 2krát (v poměru k ploše průřezu magnetického obvodu ), díky čemuž se EMF indukované ve vinutích také zvýší 2krát .

To znamená, že jak síla proudu, tak napětí (EMF) se zvýší 2krát , díky čemuž se elektrický výkon (rovný součinu síly proudu a napětí) zvýší 4krát . V tomto případě se tepelné ztráty zvýší pouze 3krát ( v poměru k objemu vodičů při konstantní proudové hustotě).

S nárůstem velikosti elektrického stroje se tedy úměrně zvyšuje jeho měrný výkon (na jednotku hmotnosti) a měrná tepelná ztráta (na jednotku hmotnosti) se nemění, což znamená, že se zvyšuje účinnost . Zároveň se zkomplikuje odvod tepla, protože měrný tepelný tok všemi povrchy úměrně roste.

To vše platí pro transformátory (při konstantní frekvenci proudu ).

Spalovací motory

Pokud jednoduše zvětšíme všechny rozměry spalovacího motoru o faktor při konstantní rychlosti otáčení, pak se hmotnost pohyblivých částí zvýší faktorem a 3 a zrychlení , s nímž se pohybují , se zvýší faktorem . Proto všechny síly setrvačnosti[ upřesnit ] se zvětší 4krát , a protože plocha třecích ploch se zvětší pouze 2krát , měrné zatížení na nich se zvýší 2krát , což povede k jejich rychlému opotřebení. Navíc se rychlost pohybu plynů ventily několikrát zvýší, což výrazně zvýší plynodynamický odpor a zhorší plnění válců.

S proporcionálním nárůstem spalovacího motoru je proto nutné úměrně snižovat otáčky (při zachování nezměněné průměrné rychlosti pístu). Pak zůstane měrné zatížení třecích ploch a rychlost plynů přes ventily nezměněny. Proporcionálně se však snižuje měrný výkon (na jednotku hmotnosti) a litrový výkon. Toto „zatěžování“ motoru lze vyřešit zvýšením počtu válců, což však komplikuje jeho konstrukci.

Stavba lodí

Přibližně můžeme předpokládat, že odpor vůči pohybu plavidla (při konstantní rychlosti) je úměrný ploše průřezu trupu uprostřed lodi . Takže s nárůstem všech rozměrů nádoby o krát , její hmotnost se zvýší 3 krát a odpor vůči pohybu se zvýší pouze 2 krát . V důsledku toho jsou větší plavidla z hlediska spotřeby paliva na jednotku hmotnosti ekonomičtější. Kromě toho, pokud se nezmění podíl palivových rezerv na celkové hmotnosti lodi, pak se cestovní dosah bez doplňování paliva také několikrát zvýší .

Ze stejného důvodu roste palivová účinnost a letový dosah vzducholodí úměrně s jejich velikostí (na rozdíl od letadel , u kterých jsou tyto parametry určeny především jejich aerodynamickou kvalitou ).

U plachetnice je důležitá odolnost vůči převrácenému momentu , který vytváří plachty . S nárůstem všech rozměrů plavidla o krát se plocha plachet zvětší 2 krát a otočný moment síly jimi vytvořený se zvětší 3 krát (protože rameno síly se také zvýšit o krát ). Současně se moment, který vyrovnává náklon a vzniká v důsledku trupu během náklonu, zvětší 4krát (hmotnost trupu a vytlačená voda se zvětší 3krát , zatímco rameno síly se zvýší zvýšit o krát ). Proto jsou při jednoduchém geometrickém měřítku velké plachetnice odolnější vůči patě vytvořené momentem plachty. Z tohoto důvodu velké plachetnice nepotřebují vyvinuté zátěžové kýly typické pro malé plachetní jachty . Na druhou stranu, na větší lodi, pokud je design zachován, je možné nasadit plachty o nepoměrně větší ploše a podle toho dosáhnout zvýšení rychlosti.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 J. B. S. Haldane O účelnosti velikosti Archivováno 22. května 2021 na Wayback Machine

Odkazy

Wayne Throop. Sauropodi, sloni, vzpěrači: Různé problémy .
„World Builders: The Limits to Animal Size – Size to Volume Ratio“ . (Angličtina)
Michael C. LaBarbera. „Biologie béčkových příšer “