Mechanické namáhání

Mechanické namáhání
$Q={\frac FS}$
Dimenze	L −1 MT− 2
Jednotky
SI	Pa
GHS	g cm −1 s −2

V mechanice kontinua je mechanické napětí fyzikální veličina , která vyjadřuje vnitřní síly , kterými na sebe sousední částice ve spojitém prostředí působí, a deformace je mírou změny geometrických rozměrů prostředí. Například, když pevná svislá tyč podpírá zátěž , každá částice v tyči tlačí na částice přímo pod ní. Když je kapalina v uzavřené tlakové nádobě , každá částice se srazí se všemi okolními částicemi. Stěny nádoby a povrch vytvářející tlak (například píst) jsou k nim přitlačovány (podle třetího Newtonova zákona) v souladu s reakční silou. Tyto makroskopické síly jsou ve skutečnosti čistým výsledkem velkého počtu mezimolekulárních sil a srážek mezi částicemi v těchto prostředích. Mechanické napětí nebo dále napětí se často označuje malým řeckým písmenem sigma σ .

Deformace, tedy vzájemné posunutí vnitřních částí materiálu, může nastat v důsledku různých mechanismů, jako je napětí, kdy vnější síly působí na sypký materiál (např. gravitace ) nebo na jeho povrch (např. kontaktní síly, vnější tlak). nebo tření ). Jakákoli deformace pevného materiálu vytváří vnitřní elastické napětí , podobné reakční síle pružiny , které má tendenci vrátit materiál do původního nedeformovaného stavu, pozorovaného před působením vnějších sil. V kapalinách a plynech vytvářejí konstantní elastické napětí pouze deformace, které mění objem. Pokud se však napětí v průběhu času postupně mění, i v kapalinách obvykle dochází k určitému viskóznímu napětí , které této změně brání. Elastická a viskózní napětí se obvykle kombinují pod názvem mechanické namáhání .

Významné napětí může existovat, i když dochází k malé nebo žádné deformaci (běžný předpoklad při simulacích proudění vody). Napětí může existovat v nepřítomnosti vnějších sil; k takovému zabudovanému napětí dochází např. u předpjatého betonu a tvrzeného skla . Napětí lze pozorovat v materiálu bez použití obecných sil , jako například v důsledku změn teploty nebo chemického složení nebo vnějších elektromagnetických polí (jako u piezoelektrických a magnetostrikčních materiálů).

Vztah mezi mechanickým napětím, deformací a rychlostí změny deformace může být poměrně složitý, ačkoli lineární aproximace je v praxi často adekvátní, pokud jsou jejich velikosti dostatečně malé. Napětí překračující určité meze pevnosti materiálu povede k nevratné deformaci (např. plastické tečení , destrukce, kavitace ) nebo dokonce ke změně jeho krystalové struktury a chemického složení .

V některých odvětvích inženýrství je termín stres někdy používán šířeji jako synonymum pro „vnitřní sílu“. Například při analýze příhradových nosníků to může odkazovat na celkovou tahovou nebo tlakovou sílu působící na nosník, spíše než na sílu dělenou plochou jeho průřezu .

Historie

Od pradávna si lidé uvědomovali přítomnost napětí uvnitř materiálů. Až do 17. století bylo chápání stresů většinou intuitivní nebo empirické; a přesto dal vzniknout komplexním technologiím, jako je kompozitní smyčec a technologie foukání skla. [jeden]

V průběhu několika tisíciletí se zejména architekti a stavitelé naučili kombinovat pečlivě tvarované dřevěné trámy a kamenné bloky tak, aby podpíraly, přenášely a rozkládaly zatížení tím nejefektivnějším způsobem, a to pomocí důmyslných zařízení, jako jsou hlavice , oblouky , kopule , vazníky a létací opěráky gotických katedrál .

Starověcí a středověcí architekti vyvinuli některé geometrické metody a jednoduché vzorce pro výpočet požadovaných rozměrů pilířů a trámů, ale vědecké pochopení stavu napjatosti jednoduchých těles bylo možné až poté, co byly v 17. a 18. století vynalezeny nezbytné vědecké principy: Galileo Galileiho koncept rigorózní experimentální metody , souřadnice a analytická geometrie Reného Descarta , stejně jako Newtonovy zákony pohybu a rovnováhy a základ infinitezimálního počtu . S těmito nástroji byl Augustin Louis Cauchy schopen vytvořit první rigorózní a obecný matematický model elastického napětí v homogenním prostředí. Cauchy si všiml, že síla působící na imaginární plochu je lineární funkcí jejího normálového vektoru.

Pochopení napětí v tekutinách začalo Newtonem, který odvodil diferenciální vzorec pro třecí síly (smykové napětí) v paralelním laminárním proudění .

Přehled

Definice

Napětí je definováno jako síla působící přes „malou“ hranici na plochu této hranice pro všechny orientace hranice. Jako derivace základní fyzikální veličiny (síly) a čistě geometrické veličiny (plochy) je napětí také základní veličinou, jako je rychlost, točivý moment nebo energie , kterou lze kvantifikovat a analyzovat bez výslovného uvážení buď povahy materiálu nebo jeho fyzické příčiny..

Podle základních principů mechaniky kontinua je stres makroskopický pojem. Konkrétně částice tvořící těleso, uvažované v jeho definici a analýze, musí být dostatečně malé, aby mohly být považovány za homogenní ve složení a stavu, ale stále dostatečně velké, aby ignorovaly kvantové efekty a detailní pohyb molekul média. . Síla mezi dvěma částicemi je tedy ve skutečnosti průměrem velkého počtu atomových sil mezi jejich molekulami; a předpokládá se, že fyzikální veličiny, jako je hmotnost, rychlost a síly, které působí prostřednictvím objemu trojrozměrných těles, jako je gravitace, jsou na nich plynule rozloženy. :s.90–106 V závislosti na kontextu lze také předpokládat, že částice jsou dostatečně velké, aby umožnily zprůměrování dalších mikroskopických strukturních rysů, jako jsou zrna kovové tyče nebo vlákna kusu dřeva .

Kvantitativně je napětí vyjádřeno Cauchyho vektorem napětí T , definovaným jako síla F mezi sousedními částmi materiálu přes pomyslnou oddělující plochu S , dělená plochou S , protože tato plocha má tendenci k nule, což představuje známý tlak . V pevném nebo viskózním proudu tekutiny nesmí být síla F kolmá k povrchu S ; proto by mělo být povrchové napětí považováno za vektorovou veličinu a nikoli za skalární. Navíc směr a velikost obvykle závisí na orientaci povrchu S. Stav napjatosti materiálu tedy musí být popsán tenzorem (druhé řady) nazývaným (Cauchyho) tenzor napětí ; což je lineární funkce vztahující normálový vektor n k ploše S k napětí T. Vzhledem k libovolnému zvolenému souřadnicovému systému lze Cauchyho tenzor napětí reprezentovat jako symetrickou matici reálných čísel 3 × 3. Dokonce i uvnitř homogenního tělesa , tenzor napětí se může měnit v závislosti na souřadnicích a čase; proto je napětí v materiálu typicky časově se měnící tenzorové pole .

Normální napětí a smykové napětí

Obecně platí, že napětí T , které částice P působí na jinou částici Q podél souvislé plochy S , může být vzhledem k S v libovolném směru . Vektor T si lze představit jako součet dvou složek: normálového napětí (kompresního, resp . tahové) kolmé k povrchu a smykové napětí .rovnoběžné s povrchem.

Pokud se předpokládá, že jednotkový normálový vektor n plochy (směrovaný z Q do P ) je pevný, pak lze normálovou složku vyjádřit jediným číslem, tečkovým součinem T · n . Toto číslo bude kladné, pokud P „natahuje“ Q (tahové napětí), a záporné, pokud P „tlačí“ Q (tlakové napětí). Posunovou složkou je pak vektor T − ( T · n ) n .

Jednotky měření

Dimenzí napětí je tlak , a proto se jeho velikost obvykle měří ve stejných jednotkách jako tlak: jmenovitě v pascalech (Pa, tedy newtonech na metr čtvereční ) v mezinárodním systému nebo v librách na čtvereční palec (psi) v imperiální systém. Protože mechanické napětí v pevných látkách snadno překročí milion pascalů, je obvyklou jednotkou napětí MPa (megapascal).

Příčiny a důsledky

Stres v elastickém těle může být způsoben řadou fyzických příčin, včetně vnějších vlivů a vnitřních fyzikálních procesů. Některá z těchto činitelů (jako je gravitace, změny teploty a termodynamické fáze a elektromagnetická pole) působí na většinu materiálu a mění se nepřetržitě se souřadnicemi a časem. Jiná činidla (například vnější zatížení a tření, tlak prostředí a kontaktní síly) mohou vytvářet napětí a síly, které se koncentrují na určité povrchy, linie nebo body; a případně také ve velmi krátkých časových intervalech (např. v pulzech v důsledku kolizí a nárazů). V účinné látce samohybné mikroskopické částice vytvářejí makroskopické profily napětí [2] . V obecném případě je rozložení napětí v tělese vyjádřeno jako po částech spojitá funkce souřadnic a času.

Na rozdíl od toho napětí obecně koreluje s různými vlivy na materiál, včetně změn fyzikálních vlastností, jako je dvojlom , polarizace a propustnost . Aplikace napětí v důsledku vnějšího faktoru obvykle vytváří určité napětí (deformaci) v materiálu, i když je příliš malé na to, aby bylo detekováno. V pevném materiálu taková deformace zase způsobí vnitřní elastické napětí, podobné reakční síle natažené pružiny , které má tendenci obnovit původní nedeformovaný stav materiálu. Kapalné materiály (kapaliny, plyny a plazma ) mohou podle definice odolávat pouze deformacím, které mohou změnit jejich objem. Pokud se však napětí v průběhu času mění, i v kapalinách obvykle dochází k určitému viskóznímu napětí, které této změně brání. Taková napětí mohou být jak smyková, tak normální. Molekulární povaha smykových napětí v kapalinách je nastíněna v článku o viskozitě . Totéž pro normální viskózní napětí lze nalézt v Sharma (2019). [3]

Vztah mezi napětím a jeho účinky a příčinami, včetně deformace a rychlosti změny deformace, může být poměrně složitý (ačkoli v praxi se používá lineární aproximace , pokud jsou množství dostatečně malá). Napětí překračující určité meze pevnosti materiálu povede k nevratné deformaci (např. plastické tečení , destrukce, kavitace ) nebo dokonce ke změně jeho krystalové struktury a chemického složení .

Jednoduchý stres

V některých situacích může být stres uvnitř těla adekvátně popsán jediným vektorem. Tři takové jednoduché napěťové situace , které se často vyskytují ve stavebním inženýrství, jsou jednoosé normálové napětí , jednoduché smykové napětí a izotropní normálové napětí .

Jednoosé normálové napětí

Obvyklá situace s jednoduchou strukturou napětí je pozorována u přímé tyče s homogenním materiálem a průřezem, která je vystavena tahu působením opačně směřujících sil podél své osy. Pokud je systém v rovnováze a nemění se s časem a hmotnost tyče lze zanedbat, pak musí horní část táhnout spodní část stejnou silou F , a to v každém průřezu tyče, s nepřetržitým působením . po celé ploše průřezu A. Proto lze napětí σ v celé tyči na libovolné vodorovné ploše jednoduše vyjádřit jediným číslem σ vypočítaným z velikosti těchto sil F a plochy průřezu A. $F$

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

\sigma ={\frac {F}{A}}

Na druhou stranu, pokud si představíte, že tyč je řezána podél délky, rovnoběžně s osou, pak mezi oběma polovinami nebude žádná síla (a tedy žádné napětí).

Tento typ namáhání lze nazvat (jednoduché) normální napětí nebo jednoosé napětí; zejména (jednoosé, jednoduché) tahové napětí. Pokud je zatížení tyče v tlaku spíše než v tahu, analýza je stejná, kromě toho, že síla F a napětí změní znaménko a napětí se nazývá tlakové napětí. $\sigma$

Tato analýza předpokládá, že napětí je rovnoměrně rozloženo po celém průřezu. V praxi tento předpoklad nemusí platit, záleží na tom, jak je tyč na koncích připevněna a jak byla vyrobena. V tomto případě bude hodnota = F / A představovat pouze průměrné napětí, nazývané technické napětí nebo jmenovité napětí . Pokud je však délka tyče L mnohonásobkem jejího průměru D a nemá hrubé vady nebo vestavěná pnutí, pak lze předpokládat, že napětí je rovnoměrně rozloženo po libovolném průřezu, jehož vzdálenost je více než několik D krát větší než vzdálenost od obou konců. (Toto pozorování je známé jako Saint-Venantův princip ). $\sigma$

Kromě axiálního tahu a tlaku dochází k normálnímu napětí v mnoha dalších situacích. Pokud je pružná tyč s rovnoměrným a symetrickým průřezem ohnuta v jedné z rovin symetrie, bude výsledné ohybové napětí stále normální (kolmé k průřezu), ale bude se v průřezu lišit: vnější část bude pod tahovým napětím, zatímco vnitřní část bude v tlaku. Další variantou normálového napětí je obručové napětí , ke kterému dochází na stěnách válcové trubky nebo nádoby naplněné kapalinou pod tlakem.

Jednoduché smykové napětí

Další jednoduchý typ namáhání nastává, když je vrstva elastického materiálu jednotné tloušťky, jako je lepidlo nebo pryž, pevně připojena ke dvěma tuhým tělesům, která jsou tažena v opačných směrech silami rovnoběžnými s touto vrstvou; nebo kus měkké kovové tyče, která je odříznuta čepelí nůžek. Nechť F je velikost těchto sil a M střední rovina této vrstvy. Stejně jako v případě normálového napětí musí část vrstvy na jedné straně M táhnout druhou část stejnou silou F. Za předpokladu, že je znám směr sil, lze napětí na M vyjádřit jako jediné číslo . který se vypočítá z velikosti těchto sil F a plochy průřezu A . $\tau$

τ = F A {\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}

\tau ={\frac {F}{A}}

Na rozdíl od normálového napětí je však toto jednoduché smykové napětí vedeno rovnoběžně s příslušným průřezem, nikoli kolmo k němu. Pro jakoukoli rovinu S , která je kolmá k vrstvě, bude celková vnitřní síla v rovině S a tím i napětí nulové.

Stejně jako v případě axiálně zatížené tyče nelze v praxi smykové napětí rovnoměrně rozložit na vrstvu; takže jako dříve bude mít poměr F / A význam průměrného („nominálního“, „inženýrského“) napětí. Pro praktické účely však tento průměr často postačuje : str. 292 . Smykové napětí je také pozorováno, když je válcová tyč, jako je hřídel , vystavena na svých koncích opačným momentům. V tomto případě je smykové napětí v každém průřezu rovnoběžné s průřezem, ale orientované tangenciálně vzhledem k ose a roste s rostoucí vzdáleností od osy. Při působení ohybového zatížení ve střední rovině („stěna“) I-nosníků vzniká značné smykové napětí v důsledku skutečnosti, že stěna omezuje koncové desky („police“).

Izotropní napětí

Další jednoduchý typ namáhání nastává, když hmotné těleso zažívá stejný tlak nebo tah ve všech směrech. K tomu dochází například v části kapaliny nebo plynu v klidu, uzavřené v nějaké nádobě nebo jako součást větší hmoty kapaliny; nebo uvnitř krychle z elastického materiálu, který je pod stejnoměrným tlakem nebo natažený na všech šesti plochách stejnými silami kolmo k plochám - za předpokladu, že v obou případech je materiál homogenní, bez zabudovaných pnutí a že vliv gravitace a jiných vnější síly lze zanedbat.

V těchto situacích je napětí na jakémkoli imaginárním vnitřním povrchu stejné velikosti a vždy směřuje kolmo k povrchu, bez ohledu na jeho orientaci. Tento typ napětí může být nazýván izotropní normální , nebo jednoduše izotropní ; pokud je pozorováno tlakové napětí, pak se nazývá hydrostatický tlak nebo jednoduše tlak . Plyny podle definice nemohou odolat tahovým napětím, ale některé kapaliny mohou za určitých okolností odolat překvapivě velkým hodnotám izotropního tahového napětí (viz Z-trubice).

Napětí válců

Osově symetrické díly jako kola, nápravy, trubky, disky a vzpěry jsou ve strojírenství velmi běžné. Vzorce napětí, které se v takových částech vyskytují, mají často rotační (axiální) nebo dokonce válcovou symetrii. Při analýze takových válcových napětí se symetrie používá ke zmenšení rozměru domény a/nebo tenzoru napětí.

Celkový pohled na tenzor napětí

Mechanická tělesa jsou často vystavena více než jednomu typu zatížení současně; toto se nazývá kombinované napětí . Při normálovém napětí a smykovém napětí je velikost napětí maximální pro povrchy kolmé k určitému směru a je nulová na všech rovnoběžných površích Když je smykové napětí nulové pouze na površích kolmých k jednomu konkrétnímu směru, napětí se nazývá dvouosé a lze jej považovat za jako součet dvou normálových napětí nebo smykového napětí. V nejobecnějším případě, nazývaném triaxiální napětí , je napětí na každém plošném prvku nenulové. $d,$ $d.$

Cauchyho tenzor napětí

Kombinovaná napětí nelze popsat jedním vektorem. Proto, i když je materiál vystaven stejnému namáhání v celém objemu tělesa, bude napětí na jakémkoli imaginárním povrchu záviset na orientaci tohoto povrchu netriviálním způsobem.

Cauchy si však všiml, že vektor napětí daný na povrchu bude vždy lineární funkcí normálového vektoru k povrchu - vektoru jednotkové délky kolmého k němu. Tedy tam, kde funkce splňuje vztah $T$ $n,$ $T={\boldsymbol {\sigma }}(n),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

{\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)

pro libovolné vektory a libovolná reálná čísla Funkce nyní nazývaná tenzor napětí (Cauchy) kompletně popisuje stav napětí rovnoměrně namáhaného tělesa. (Obecně se jakýkoli lineární vztah mezi dvěma fyzikálními vektorovými veličinami nazývá tenzor , což odpovídá původnímu Cauchyovu významu popisu „napětí“ v materiálu.) Klasifikován v kalkulu tenzorů jako tenzor druhého stupně typu (0,2) . $u,\v$ $\alpha ,\ \beta .$ ${\boldsymbol {\sigma )),$ ${\boldsymbol {\sigma ))$

Jako každé lineární zobrazení mezi vektory může být tenzor napětí reprezentován v libovolném zvoleném kartézském souřadnicovém systému maticí reálných čísel 3 × 3. V závislosti na tom, zda jsou souřadnice očíslovány nebo je použita matice, může být zapsán jako: ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3))$ $x,\y,\z$

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23 }\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad

nebo

\quad \quad \quad {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy} &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}

Vektor napětí daný na ploše s normálovým vektorem se souřadnicemi je pak reprezentován jako maticový součin . Výsledkem je kovariantní (řádkový vektor) vektor (srovnej s Cauchyho tenzorem napětí ), tzn. $T={\boldsymbol {\sigma }}(n)$ $n$ $n_1,\ n_2,\ n_3$ $T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$

{\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{ 32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

Lineární vztah mezi a také vyplývá ze základních zákonů zachování hybnosti a statické rovnováhy sil, a je tedy matematicky přesný pro jakýkoli materiál a jakoukoli napěťovou situaci. Komponenty Cauchyho tenzoru napětí v každém bodě těla splňují rovnice rovnováhy ( Cauchyovy rovnice pohybu při nulovém zrychlení). Navíc z principu zachování momentu hybnosti vyplývá, že tenzor napětí je symetrický , tj . To se odráží ve vstupu: $T$ $n$ $\sigma _{12}=\sigma _{21},$ $\sigma _{13}=\sigma _{31},$ $\sigma _{23}=\sigma _{32}.$

{\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz }\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}

kde se prvky nazývají ortogonální normálová napětí (s ohledem na zvolený souřadnicový systém) a ortogonální smyková napětí . ${\displaystyle \sigma _{x},\ \sigma _{y},\ \sigma _{z))$ ${\displaystyle \tau _{xy},\ \tau _{xz},\ \tau _{yz))$

Transformace souřadnic

Cauchyho tenzor napětí se při změně souřadnicového systému řídí zákonem transformace tenzoru. Pro grafické znázornění tohoto transformačního zákona se používá Mohrův kruh napětí .

Pro symetrickou reálnou matici 3×3 má tenzor napětí tři vzájemně ortogonální vlastní vektory jednotkové délky a tři reálná vlastní čísla , takže v souřadnicovém systému s osami je tenzor napětí diagonální maticí a má pouze tři normální složky zvané hlavní zdůrazňuje . Pokud jsou tři vlastní hodnoty stejné, pak je napětí izotropní kompresí nebo tahem a je vždy kolmé k libovolnému povrchu a neexistuje žádné smykové napětí a tenzor je diagonální matice v jakémkoli souřadnicovém systému. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ e_{3))$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$ ${\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}.$ $e_{1},\ e_{2},\ e_{3},$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \lambda _{3))$

Stres jako tenzorové pole

Obvykle je napětí v objemu hmotného tělesa rozloženo nerovnoměrně a může se v průběhu času měnit. Proto musí být tenzor napětí určen pro každý bod a každý časový okamžik, přičemž se vezme v úvahu nekonečně malá částice média obklopujícího tento bod a průměrná napětí v této částici se považují za napětí v tomto bodě.

Napětí v tenkých deskách

Umělé předměty jsou často vyráběny ze standardních dílů vyrobených z různých materiálů operacemi, které nemění jejich v podstatě dvourozměrnou povahu, jako je řezání, vrtání, hladké ohýbání a svařování hran. Popis napětí v takových tělesech lze zjednodušit modelováním těchto částí jako dvourozměrných povrchů spíše než jako trojrozměrných těles.

Z tohoto hlediska lze „částici“ předefinovat jako nekonečně malý řez povrchem desky, takže hranice mezi sousedními částicemi se stává nekonečně malým přímkovým prvkem (obrysem); oba jsou implicitně prodlouženy ve třetím rozměru, kolmo k desce. "Napětí" je pak předefinováno jako míra vnitřních sil mezi dvěma sousedními "částicemi" podél jejich společného prvku čáry, děleno délkou tohoto prvku. Některé složky tenzoru napětí lze ignorovat, ale protože částice nejsou ve třetí dimenzi nekonečně malé, nelze již ignorovat točivý moment, který částice aplikuje na sousední částice. Tento krouticí moment je modelován jako ohybové napětí , které má tendenci měnit zakřivení desky. Tato zjednodušení se však nemusí vztahovat na svary nebo ostré ohyby a záhyby (kde je poloměr zakřivení srovnatelný s tloušťkou plechu).

Napětí v tenkých trámech

Analýza napětí je také značně zjednodušena pro tenké tyče, nosníky nebo dráty jednotného (nebo plynule se měnícího) složení a průřezu, které jsou vystaveny mírnému ohybu a kroucení. U těchto těles lze uvažovat pouze průřezy kolmé k ose tyče a předefinovat „částici“ jako kus drátu s nekonečně malou délkou mezi dvěma takovými průřezy. Obvyklé napětí se tedy redukuje na skalár (natažení nebo stlačení tyče), ale je třeba vzít v úvahu také ohybové napětí (které se snaží změnit zakřivení tyče v nějakém směru kolmém na osu) a torzní napětí (které se ho snaží otočit nebo odvinout kolem jeho osy).

Další popisy stresu

Cauchyho tenzor napětí se používá k analýze napětí hmotných těles, u kterých dochází k malým deformacím, přičemž rozdíly v rozložení napětí lze ve většině případů zanedbat. Pro velká přetvoření nebo konečná přetvoření jsou vyžadovány jiné metody popisu napětí, jako je první a druhý Piola-Kirchhoffův tenzor napětí, Biotův tenzor napětí a Kirchhoffův tenzor napětí.

Pevné látky, kapaliny a plyny mají pole napětí. Statické tekutiny udržují normální napětí, ale proudí pod smykovým napětím . Pohybující se viskózní kapaliny mohou odolat smykovému namáhání (dynamickému tlaku). Pevné látky mohou odolat jak smykovému, tak normálnímu namáhání, přičemž tvárné materiály selžou při smyku a křehké materiály selžou při normálním namáhání. Všechny materiály mají teplotně závislé změny vlastností souvisejících s napětím, zatímco nenewtonské materiály se mění s rychlostí.

Napěťová analýza

Pevnostní analýza je obor aplikované fyziky , který se zabývá určováním rozložení vnitřních sil v tělesech. Je to důležitá technika ve strojírenství pro studium a navrhování konstrukcí, jako jsou tunely, přehrady, mechanické části a konstrukční rámy při daném nebo očekávaném zatížení. Analýza napětí je také důležitá v mnoha jiných disciplínách; například v geologii studovat jevy takový jako desková tektonika , vulkanismus a laviny ; a v biologii porozumět anatomii živých bytostí.

Cíle a předpoklady

Analýza napětí se obecně zabývá objekty a strukturami, u kterých lze předpokládat, že jsou v makroskopické statické rovnováze . Podle Newtonových pohybových zákonů musí být jakékoli vnější síly aplikované na takový systém vyváženy vnitřními reakčními silami : str. 97 , které jsou téměř vždy způsobeny povrchovými kontaktními silami mezi sousedními částicemi, tj. napětími. Protože každá částice musí být v rovnováze, toto napětí spojené s reakční silou se obvykle šíří z částice na částici, což vytváří rozložení napětí v celém těle.

Typickým problémem při analýze napětí je určit tato vnitřní napětí vzhledem k vnějším silám působícím na systém. Posledně jmenované mohou být obě tělesné síly (jako je gravitace nebo magnetická interakce), které působí v celém objemu materiálu; :str. 42–81 nebo koncentrovaná zatížení (jako je tření mezi nápravou a ložiskem nebo tlak vlakového kola na kolejnici), u kterých se předpokládá, že působí ve dvourozměrné doméně nebo podél čáry nebo v jednom bodě .

Pevnostní analýza obvykle nebere v úvahu fyzikální příčiny sil nebo přesnou povahu materiálů. Místo toho se předpokládá, že napětí souvisí s deformací (a v nestacionárních problémech s rychlostí deformace) materiálu pomocí známých materiálových vztahů.

Metody

Analýza napětí může být provedena experimentálně, aplikací zatížení na skutečnou součást nebo na zmenšený model a měřením výsledných napětí pomocí kterékoli z několika dostupných metod. Tento přístup se často používá k certifikaci a sledování bezpečnosti velkých konstrukcí. Většina analýz napětí se však provádí matematicky, zejména během návrhu. Pro hlavní úlohu analýzy napětí by měly být použity Eulerovy pohybové rovnice pro pevná tělesa (které jsou důsledkem Newtonových zákonů pro zachování hybnosti a momentu hybnosti ) a Eulerův-Cauchyho princip napětí spolu s odpovídajícími materiálovými vztahy. sestaven. Tak je získán systém parciálních diferenciálních rovnic , včetně pole tenzoru napětí a pole tenzoru deformace jako neznámých funkcí, které je třeba nalézt. Vnější tělesné síly se v diferenciálních rovnicích objevují jako nezávislý ("pravý") člen a koncentrované síly vstupují do rovnic jako okrajové podmínky. Hlavním úkolem analýzy napětí je tedy okrajový problém .

Výpočet napětí pro pružné konstrukce vychází z teorie pružnosti a teorie nekonečně malých deformací. Pokud aplikované zatížení způsobí trvalou deformaci, je třeba použít složitější materiálové vztahy, které mohou zohledňovat důležité fyzikální procesy ( plastické tečení , porušení, fázový přechod atd.).

Inženýrské konstrukce jsou však obvykle navrženy tak, aby maximální očekávaná napětí byla v rozsahu lineární elasticity (zobecnění Hookova zákona pro kontinua); to znamená, že deformace způsobené vnitřními napětími s nimi musí být lineárně vztaženy. V tomto případě jsou diferenciální rovnice, které určují tenzor napětí, lineární a problém je značně zjednodušen. Za prvé, napětí v libovolném bodě bude také lineární funkcí zátěže. Při dostatečně nízkých napětích lze i nelineární systémy obvykle považovat za lineární.

Pevnostní analýza je zjednodušena, když fyzické rozměry a rozložení zatížení umožňují, aby konstrukce byla považována za jednorozměrnou nebo dvourozměrnou. Například při výpočtu vazníků lze předpokládat, že pole napětí je rovnoměrné a jednoosé pro každý prvek. Poté jsou diferenciální rovnice redukovány na konečný systém rovnic (obvykle lineární) s konečným počtem neznámých. Jiné přístupy mohou redukovat 3D problém na 2D a/nebo nahradit obecné tenzory napětí a deformací jednoduššími modely využívajícími symetrii problému, jako je jednoosé napětí/tlak, jednoduchý smyk atd.

Pro 2D nebo 3D případy je však nutné řešit soustavu parciálních diferenciálních rovnic. Analytická nebo uzavřená řešení diferenciálních rovnic lze získat, když je geometrie definující vztahy a okrajové podmínky dostatečně jednoduchá. Jinak se obvykle musíme uchýlit k numerickým metodám, jako je metoda konečných prvků, metoda konečných diferencí a metoda hraničních prvků .

Teoretické základy

Mechanika kontinua se zabývá deformovatelnými tělesy, nikoli absolutně tuhými tělesy. V mechanice kontinua se zohledňují pouze napětí vznikající působením vnějších sil a následnou deformací tělesa; jinými slovy jsou uvažovány relativní změny přetvoření, nikoli jejich absolutní hodnoty. Těleso je považováno za bez napětí, pokud pouze síly jsou těmi meziatomovými silami (iontové, kovové nebo van der Waalsovy povahy), které jsou nezbytné k udržení tělesa pohromadě a udržení jeho tvaru za nepřítomnosti všech vnějších vlivů, včetně gravitační přitažlivosti. [4] [5] . Rovněž jsou vyloučena napětí, ke kterým dochází při výrobě určitého tvaru těla během obrábění.

Podle klasické newtonovské a eulerovské dynamiky je pohyb hmotného tělesa způsoben působením zvnějšku působících sil, které mají být dvojího druhu: povrchové síly a tělesné síly [6] .

Povrchové síly nebo kontaktní síly mohou působit buď na hraniční povrch tělesa v důsledku mechanického kontaktu s jinými tělesy, nebo na pomyslné vnitřní plochy spojující části tělesa v důsledku mechanické interakce mezi jeho částmi na obou stranách tohoto tělesa. povrch (Euler-Cauchyho princip napětí) . Když vnější kontaktní síly působí na těleso, vnitřní kontaktní síly se přenášejí z bodu do bodu v tělese, aby vyvážily jejich působení, podle druhého Newtonova zákona o zachování hybnosti a momentu hybnosti. Tyto zákony se nazývají Eulerovy pohybové rovnice pro spojitá média. Vnitřní kontaktní síly souvisejí s deformací tělesa prostřednictvím konstitutivních rovnic. Tento článek podává matematický popis vnitřních kontaktních sil a jejich vztah k pohybu tělesa bez ohledu na jeho materiálové složení [7] .

Napětí lze považovat za míru intenzity vnitřních kontaktních sil působících mezi částicemi těles přes pomyslné vnitřní plochy [8] . Jinými slovy, napětí je mírou průměrné síly působící na jednotku plochy povrchu, na kterou tyto vnitřní síly působí. Intenzita kontaktních sil je nepřímo úměrná kontaktní ploše. Pokud se například síla působící na malou plochu porovná s rozloženým zatížením stejné výsledné velikosti aplikovaným na větší plochu, zjistí se, že účinky nebo intenzity těchto dvou sil jsou lokálně odlišné, protože napětí v médiu nejsou stejný.

Tělesné síly vznikají v důsledku zdrojů mimo těleso [9] , které působí na jeho objem (resp. hmotnost). To znamená, že vnitřní síly se projevují pouze prostřednictvím kontaktních sil [10] . Tyto síly vznikají v důsledku přítomnosti tělesa v různých silových polích (například gravitační pole). Vzhledem k tomu, že se předpokládá, že hmota pevného tělesa je kontinuálně distribuována, jakákoli síla, která pochází z hmoty, je také kontinuálně distribuována. Předpokládá se tedy, že síly tělesa jsou spojité po celém objemu tělesa [11] .

Hustota vnitřních sil v každém bodě deformovatelného tělesa není nutně rovnoměrná, to znamená, že existuje rozložení napětí. Tato změna vnitřních sil se řídí zákony zachování lineárního a úhlového momentu hybnosti, které jsou obvykle aplikovány na hmotnou částici, ale jsou v mechanice kontinua rozšířeny na těleso se spojitě rozloženou hmotou. Pokud je těleso reprezentováno jako soubor diskrétních částic, z nichž každá se řídí Newtonovými zákony pohybu, pak jsou Eulerovy rovnice odvozeny z Newtonových zákonů. Eulerovy rovnice však lze považovat za axiomy popisující zákony pohybu prodloužených těles bez ohledu na strukturu jakékoli částice [12] .

Eulerův-Cauchyho princip napětí

Eulerův-Cauchyho princip napětí říká, že „v každém průřezu mentálně nakresleném uvnitř tělesa dochází k interakci sil stejné povahy jako zatížení rozložená po povrchu“ [13] , přičemž tato interakce je reprezentována vektorovým polem. T ( n ) , nazývaný vektor napětí definovaný na ploše S a plynule závislý na jednotkovém vektoru plochy n [11] [14] .

Pro vysvětlení tohoto principu uvažujme myšlenou plochu S procházející vnitřním bodem tělesa P, rozdělující spojité těleso na dva segmenty, jak je znázorněno na obr. 2.1a nebo 2.1b (můžete použít buď diagram ořezové roviny, nebo diagram s libovolným objemem uvnitř média uzavřeného uvnitř plochy S ). Na těleso působí vnější povrchové síly F a tělesové síly b . Vnitřní kontaktní síly přenášené z jednoho segmentu tělesa na druhý rovinou, která je odděluje, v důsledku dopadu jedné části média na druhou vytvoří rozložení síly na malé ploše Δ S s normálovým jednotkovým vektorem n , znázorněno na řezné rovině S. Rozložení sil se rovná přítlačné síle ΔF as ní spojenému napětí ΔM , jak je znázorněno na obrázcích 2.1a a 2.1b. Cauchyho princip napětí uvádí [4] , že když Δ S klesne na nulu, poměr Δ F /Δ S se stane d F / d S a vektor momentového napětí Δ M zmizí. V některých oblastech mechaniky kontinua se předpokládá, že momentové napětí nezmizí; nicméně, klasická odvětví mechaniky kontinua se zabývají nepolárními materiály, které neberou v úvahu párová napětí. Výsledný vektor d F / d S je definován jako vektor napětí daný vztahem T ( n ) = T i ( n ) e i k bodu P spojenému s rovinou s normálovým vektorem n :

T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i)){\Delta S))={dF_{ i}\over dS}.

Tato rovnice znamená, že vektor napětí závisí na jeho poloze v tělese a orientaci roviny, na kterou působí.

V závislosti na orientaci příslušné roviny nemusí být vektor napětí kolmý k této rovině, tedy rovnoběžný s n , a lze jej rozložit na dvě složky (obrázek 2.1c):

jedna složka kolmá k rovině, nazývaná normálové napětí

\mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}} ={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS)),

kde d F n je normálová složka síly d F k diferenciální platformě d S

a druhá, rovnoběžná s touto rovinou, se nazývá smykové napětí .

\mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} )){\Delta S))={\frac {dF_{\ mathrm {s} }}{dS}},

kde d F s je tangenciální složka síly d F k plošnému diferenciálu d S . Smykové napětí lze dále rozložit na dva vzájemně kolmé vektory.

Cauchyho postulát

Podle Cauchyho postulátu zůstává vektor napětí T ( n ) stejný pro všechny plochy procházející bodem P a mající stejný normálový vektor n v bodě P [10] [15] , tedy mající v bodě P společnou tečnu. To znamená, že vektor napětí je pouze funkcí normálového vektoru n a nezávisí na zakřivení vnitřních povrchů.

Cauchyho hlavní lemma

Cauchyho postulát implikuje základní Cauchyho lemma [5] [9] [10] , známé také jako Cauchyho věta o reciprocitě [16] , která říká, že vektory napětí působící na opačných stranách stejného povrchu jsou stejné velikosti a opačného směru. Cauchyho základní lemma je ekvivalentní třetímu Newtonovu zákonu akce a reakce a je vyjádřeno jako

-\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.\,\!

Cauchyova věta o napětí - tenzor napětí

Stav napjatosti v bodě tělesa je určen všemi vektory napětí T ( n ) spojenými se všemi rovinami (nekonečný počet), které tímto bodem procházejí [8] . Podle hlavní Cauchyho věty [5] , známé také jako Cauchyho věta napětí [9] , však ze známých vektorů napětí ve třech vzájemně kolmých rovinách můžete najít vektor napětí na jakékoli jiné rovině procházející tímto bodem pomocí souřadnice transformační rovnice.

Cauchyho teorém napětí říká, že existuje druhořadé tenzorové pole σ ( x , t), nazývané Cauchyho tenzor napětí , nezávislé na n , takže T závisí lineárně na n :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^ {(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.\,\!

Z této rovnice vyplývá, že vektor napětí T ( n ) v libovolném bodě P média spojeného s rovinou s normálním jednotkovým vektorem n lze vyjádřit jako funkci vektorů napětí v rovinách kolmých ke třem souřadnicovým osám, tj. prostřednictvím složek σ ij tenzoru napětí σ .

K prokázání tohoto výrazu uvažujme čtyřstěn se třemi plochami orientovanými v souřadnicových rovinách as nekonečně malou plochou d A orientovanou v libovolném směru daném normálovým jednotkovým vektorem n (obrázek 2.2). Čtyřstěn vznikne řezáním nekonečně malého prvku podél libovolné roviny s normálou n . Vektor napětí v této rovině je označen jako T ( n ) . Vektory napětí působící na plochu čtyřstěnu jsou označeny jako T ( e 1 ) , T ( e 2 ) a T ( e 3 ) a jsou podle definice složkami σ ij tenzoru napětí σ . Tento čtyřstěn se někdy nazývá Cauchyův čtyřstěn . Rovnováha sil, tj. první Eulerův pohybový zákon (druhý Newtonův pohybový zákon), dává:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}= \rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,\,\!

kde pravá strana je součin hmoty obsažené v čtyřstěnu a jeho zrychlení: ρ je hustota, a je zrychlení, h je výška čtyřstěnu, vezmeme-li za základ rovinu n . Plochu ploch čtyřstěnu kolmých k osám lze nalézt promítnutím d A na každou plochu (pomocí bodového součinu):

dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,\,\!

dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,\,\!

dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,\,\!

a poté dosazením do rovnice zrušíme d A :

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac { h}{3}}\right)\mathbf {a} .\,\!

Abychom zvážili omezující případ, kdy se čtyřstěn zmenšuje do bodu, musí h mít sklon k 0 (intuitivně se rovina s normálou n pohybuje podél vektoru n na stranu O ). V důsledku toho má pravá strana rovnice tendenci k 0, takže

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{ (\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.\,\!

Uvažujme prvek (obrázek 2.3) s rovinami kolmými k souřadnicovým osám kartézského souřadnicového systému. Vektory napětí spojené s každou z rovin tohoto prvku, tj. T ( e 1 ) , T ( e 2 ) a T ( e 3 ) lze rozložit na normální část a dvě složky smyku, tj. složky ve směru tři souřadnicové osy. Pro speciální případ plochy s normálovým jednotkovým vektorem orientovaným ve směru osy x 1 označíme normálové napětí σ 11 a dvě smyková napětí σ 12 a σ 13 (druhý index označuje rovnoběžnou souřadnici osa):

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1} +T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf { e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3}.

Použití položky rejstříku:

\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j} =\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.

Devět složek σ ij vektorů napětí jsou složky tenzoru druhé řady v kartézském souřadnicovém systému, nazývaném Cauchyho tenzor napětí , který zcela určuje stav napětí v bodě a je dán maticí

{\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\ mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right] =\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{ 23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{ xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _ {zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{ xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end {matrix}}\right],

kde σ 11 , σ 22 a σ 33 jsou normálová napětí, σ 12 , σ 13 , σ 21 , σ 23 , σ 31 a σ 32 jsou smyková napětí (tangenciální napětí). První index i označuje, že napětí působí v rovině kolmé k ose xi , a druhý index j označuje směr, ve kterém napětí působí. Složka vektoru napětí je kladná, pokud působí v kladném směru souřadnicových os a pokud rovina, ve které působí, má vnější normálový vektor směřující v kladném směru souřadnic.

S použitím složek tenzoru napětí tedy můžeme napsat:

{\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+ \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\& =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e } _{j}\right)n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}},

nebo, což je totéž:

T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.

Alternativně v maticové podobě:

\left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf { n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{ \begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\ sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\vpravo].

Voigtův zápis pro Cauchyho reprezentaci tenzoru napětí se používá pro usnadnění v přítomnosti symetrie tenzoru napětí, k vyjádření napětí jako šestirozměrné vektorové formy:

{\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{ 5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{T}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{31}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{T}.\,\!

Voigtova notace je široce používána k reprezentaci vztahů mezi napětím a deformací v mechanice těles a ke zlepšení výpočetní účinnosti v softwaru pro strukturální mechaniku.

Pravidlo transformace tenzoru napětí

Lze ukázat, že tenzor napětí je kontravariantní tenzor druhého stupně. Při přechodu ze souřadnicového systému x i do souřadnicového systému x i ' se složky σ ij v původním systému transformují na složky σ ij ' v novém systému v souladu s pravidlem transformace tenzoru (obrázek 2.4):

\sigma _{ij}^{'}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\ mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{T},

kde A je rotační matice se složkami a ij . V maticové formě se to zapisuje jako

\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}^{'}&\sigma _{12}^{'}&\sigma _{13}^{'}\\\sigma _{ 21}^{'}&\sigma _{22}^{'}&\sigma _{23}^{'}\\\sigma _{31}^{'}&\sigma _{32}^{' }&\sigma _{33}^{'}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21 }&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}& \sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32} &\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_ {32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].

Rozšíření maticové operace a zjednodušení pojmů pomocí symetrie tenzoru napětí dává:

\sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\ sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23} ,

\sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\ sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23} ,

\sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\ sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23} ,

{\begin{aligned}\sigma _{12}'=&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13 }a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23} +a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{23}'=&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33} +a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\sigma _{13}'=&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13 }a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33} +a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}

Mohrův kruh pro napětí je grafickým znázorněním této transformace.

Normálová a smyková napětí

Hodnota normálové složky napětí σ n libovolného vektoru napětí T ( n ) působícího na libovolnou rovinu s normálovým jednotkovým vektorem n v daném bodě, vyjádřená pomocí tenzoru napětí σ ij složky σ , je skalárním součinem napětí. vektor a normální jednotkový vektor:

\sigma _{\mathrm {n} }=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} =T_{i}^{(\mathbf {n} ) }n_{i}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.

Velikost složky smykového napětí τ n působící v rovině překlenuté dvěma vektory T ( n ) an lze zjistit pomocí Pythagorovy věty :

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _ {\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}- \sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}

kde $\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n } )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_ {j}n_{k}.$

Rovnováhy rovnováhy a symetrie tenzorů napětí

Když je těleso v rovnováze, složky tenzoru napětí v každém bodě tělesa splňují rovnice rovnováhy:

\sigma _{ji,j}+F_{i}=0\,\!

Například pro hydrostatickou kapalinu v rovnovážných podmínkách má tenzor napětí tvar:

{\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}}),\

kde je hydrostatický tlak a označuje symbol Kronecker. $p$ ${\delta _{ij))\$

Rovnováha zároveň vyžaduje, aby součet momentů kolem libovolného bodu byl roven nule, což vede k závěru, že tenzor napětí musí být symetrický, tzn.

\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!

V momentových teoriích, tedy za přítomnosti momentů na jednotku objemu, však tenzor napětí není symetrický. To také platí, když je Knudsenovo číslo blízké 1 nebo pro média, jako je nenewtonská tekutina, což může vést k rotačně neinvariantní tekutině, jako je polymer. $K_{n}\rightarrow 1\,\!$

Hlavní napětí a invarianty napětí

V každém bodě namáhaného tělesa existují alespoň tři roviny, nazývané hlavní roviny , s normálovými vektory , nazývanými hlavní směry , kde odpovídající vektor napětí je kolmý k rovině, to znamená rovnoběžný nebo ve stejném směru jako normálový vektor a kde nejsou žádná normálová smyková napětí . Tři napětí kolmá k těmto hlavním rovinám se nazývají hlavní napětí . $\mathbf {n} \,\!$ $\mathbf {n} \,\!$ $\tau _{\mathrm {n} }\,\!$

Složky tenzoru napětí závisí na orientaci souřadného systému v uvažovaném bodě. Samotný tenzor napětí je však fyzikální veličina a jako taková je nezávislá na souřadnicovém systému zvoleném pro jeho reprezentaci. Každý tenzor je spojen s určitými invarianty, které také nezávisí na zvoleném souřadnicovém systému. Například vektor je jednoduchý tenzor první řady. Ve třech rozměrech má tři složky. Hodnota těchto složek bude záviset na souřadnicovém systému zvoleném pro reprezentaci vektoru, ale velikost vektoru je fyzikální veličina (skalární) a nezávislá na kartézském souřadnicovém systému. Podobně každý tenzor druhé řady (jako tenzor napětí a deformace) má tři nezávislé invariantní veličiny, které jsou s ním spojené. Jednou sadou takových invariantů jsou hlavní napětí tenzoru napětí, což jsou vlastní hodnoty matice tenzoru napětí. Jejich směrové vektory jsou hlavní směry nebo vlastní vektory. $\sigma _{ij}\,\!$

Vektor napětí rovnoběžný s jednotkovým normálovým vektorem : $\mathbf {n} \,\!$

\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} \,\!

kde je konstanta úměrnosti, která v tomto konkrétním případě odpovídá hodnotám vektorů normálových napětí nebo hlavních napětí. $\lambda \,\!$ $\sigma _{\mathrm {n} }\,\!$

Vzhledem k tomu a můžeme napsat: $T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}\,\!$ $n_{i}=\delta _{ij}n_{j}\,\!$

{\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\ sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\ \\end{aligned}}\,\!

Je to homogenní systém, tedy systém tří lineárních rovnic s neznámými rovnými nule. Pro získání netriviálního (nenulového) řešení pro determinanty musí být matice složená z koeficientů rovna nule, to znamená, že systém musí být singulární. Takto: $n_{j}\,\!$ $n_{j}\,\!$

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33 }-\lambda \\\end{vmatrix}}=0\,\!

Zápis determinantu vede k charakteristické rovnici :

\left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0\,\!

kde

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}\\I_{2 }&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{ vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11 }&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{ 31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\vpravo )\\I_{3}&=\det(\sigma _{ij})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\ sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{ 31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}\,\!

Charakteristická rovnice má tři reálné kořeny v důsledku symetrie tenzoru napětí. a jsou hlavními napětími v závislosti na vlastních číslech . Hlavní napětí jsou pro daný tenzor napětí jedinečná. Proto z charakteristické rovnice mají koeficienty , a , nazývané první, druhý a třetí invariant tenzoru napětí, vždy stejnou hodnotu bez ohledu na orientaci souřadnicového systému. $\lambda _{i}\,\!$ $\sigma _{1}=max\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)\,\!$ $\sigma _{3}=min\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\vpravo)\,\!$ $\sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}\,\!$ $\lambda _{i}\,\!$ $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

Pro každé vlastní číslo existuje netriviální řešení soustavy rovnic . Tato řešení mají význam hlavních směrů nebo vlastních vektorů, které definují rovinu, ve které působí hlavní napětí. Hlavní napětí a hlavní směry charakterizují napětí v bodě a jsou nezávislé na orientaci. $n_{j}\,\!$ $\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0\,\!$

V souřadnicovém systému s osami orientovanými podél hlavních směrů, což znamená, že normálová napětí jsou hlavními napětími, je tenzor napětí reprezentován diagonální maticí ve tvaru:

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

Invarianty tenzoru napětí , , a lze vyjádřit pomocí hlavních napětí. Zejména první a třetí invariant jsou stopou a determinantou matice tenzoru napětí: $I_{1}\,\!$ $I_{2}\,\!$ $I_{3}\,\!$

{\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\ sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2 }\sigma _{3}\\\end{aligned}}\,\!

Díky své jednoduchosti je souřadnicový systém spojený s hlavními napětími často užitečný při zvažování stavu elastického prostředí v určitém bodě. Hlavní napětí se často používají v následující rovnici k vyhodnocení napětí ve směrech x a y nebo axiálních a ohybových napětí v součásti [17] . Hlavní normálová napětí se pak použijí k výpočtu von Misesových napětí a nakonec součinitele bezpečnosti a součinitele bezpečnosti.

\sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\ frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Pomocí pouze částí výrazu pod druhou odmocninou můžete získat maximální (pro plus) a minimální (pro mínus) smykové napětí. Toto je napsáno takto:

\tau _{max},\tau _{min}=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right )^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!

Maximální a minimální smyková napětí

Maximální smykové napětí nebo maximální hlavní smykové napětí se rovná polovině rozdílu mezi největším a nejmenším hlavním napětím a působí v rovině, která půlí úhel mezi směry největšího a nejmenšího z hlavních napětí, tj. maximální smyk. napětí je orientováno pod úhlem θ od hlavních rovin napětí. Maximální smykové napětí je vyjádřeno jako $45^{\circ }$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\mathrm {max} }-\sigma _{\mathrm {min} }\right |\,\!

Za předpokladu : $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\,\!$

\tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|\,\!

Normálová složka napětí působící na rovinu maximálního smykového napětí není rovna nule a je rovna

$\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)\,\!$

Tenzor deviátoru napětí

Tenzor napětí může být reprezentován jako dva tenzory napětí: $\sigma _{ij}\,\!$

průměrný tenzor hydrostatického napětí nebo průměrný tenzor normálového napětí , který je spojen se změnou objemu namáhaného tělesa; stejně jako $\pi \delta _{ij}\,\!$
složka deviátoru, nazývaná tenzor deviátoru napětí, , která souvisí s deformací prvního. $s_{ij}\,\!$

V matematické formulaci

\sigma _{ij}=s_{ij}+\pi \delta _{ij},\,

kde je průměrný stres definovaný jako $\pi\,\!$

\pi ={\frac {\sigma _{kk}}{3}}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}}{3} }={\tfrac {1}{3}}I_{1}.\,

Tlak ( ) je obvykle definován jako záporná třetina stopy napěťového tenzoru mínus jakékoli napětí, ke kterému přispívá divergence rychlosti, tj. $p$

p=\nabla \cdot {\vec {u}}-\pi =\lambda \,{\frac {\částečné u_{k}}{\částečné x_{k}}}-\pi =\součet _{k}\lambda \,{\frac {\částečné u_{k)){\částečné x_{k))}-\pi ,

kde je konstanta úměrnosti, je operátor nabla , je k -tá kartézská souřadnice, je rychlost a je k -tá složka rychlosti v kartézských souřadnicích. $\lambda$ $\nabla$ $x_k$ ${\vec {u}}$ $Spojené království}$ ${\vec {u}}$

Deviorický tenzor napětí lze získat odečtením tenzoru hydrostatického napětí od Cauchyho tenzoru napětí:

{\begin{aligned}\ s_{ij}&=\sigma _{ij}-{\frac {\sigma _{kk)){3))\delta _{ij},\,\\\ vlevo[{\begin{matrix}s_{11}&s_{12}&s_{13}\\s_{21}&s_{22}&s_{23}\\s_{31}&s_{32}&s_{33}\\ \end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\ sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]-\left[{ \begin{matrix}\pi &0&0\\0&\pi &0\\0&0&\pi \\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}- \pi &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\pi &\sigma _{23}\\\sigma _{31}& \sigma _{32}&\sigma _{33}-\pi \\\end{matrix}}\right].\\\end{aligned}}

Invarianty tenzoru deviátoru napětí

Protože se jedná o tenzor druhé řady, má tenzor deviátoru napětí také sadu invariantů, které lze získat pomocí stejného postupu, jaký jsme použili k výpočtu invariantů tenzoru napětí. Lze ukázat, že hlavní směry tenzoru deviátoru napětí se shodují s hlavními směry tenzoru napětí . Jeho charakteristická rovnice má tedy tvar $s_{ij}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$

\left|s_{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}-J_{2}\lambda -J_{ 3}=0,\,

kde , a jsou první, druhý a třetí invariant tenzoru deviátoru napětí, v tomto pořadí. Jejich hodnoty jsou stejné (pevné) bez ohledu na orientaci zvoleného souřadnicového systému. Tyto invarianty tenzoru deviátoru napětí jsou vyjádřeny jako funkce komponent nebo jeho hlavních hodnot , a , nebo podobně jako funkce nebo jeho hlavní hodnoty , a . Vskutku $J_{1}\,\!$ $J_{2}\,\!$ $J_{3}\,\!$ $s_{ij}\,\!$ $s_{1}\,\!$ $s_{2}\,\!$ $s_{3}\,\!$ $\sigma _{ij}\,\!$ $\sigma _{1}\,\!$ $\sigma _{2}\,\!$ $\sigma _{3}\,\!$

{\begin{aligned}J_{1}&=s_{kk}=0,\,\\J_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}s_{ij}s_{ ji}\\&={\tfrac {1}{2}}(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2})\\&={\ tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2} +(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}\right]+\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{ 31}^{2}\\&={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2} -\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\&={\tfrac {1}{3}}I_ {1}^{2}-I_{2},\,\\J_{3}&=\det(s_{ij})\\&={\tfrac {1}{3}}s_{ij}s_ {jk}s_{ki}\\&=s_{1}s_{2}s_{3}\\&={\tfrac {2}{27}}I_{1}^{3}-{\tfrac { 1}{3}}I_{1}I_{2}+I_{3}.\,\end{aligned}}

Protože tenzor deviátoru napětí odpovídá stavu čistého smyku. $s_{kk}=0\,\!$

V mechanice těles se běžně používá veličina nazývaná ekvivalentní napětí nebo von Misesovo napětí . Je definován jako

\sigma _{\mathrm {e} }={\sqrt {3~J_{2))}={\sqrt ({\tfrac {1}{2))~\left[(\sigma _{ 1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1}) ^{2}\right]}}\,.

Oktaedrická napětí

Uvažujeme-li hlavní směry jako souřadnicové osy, nazývá se rovina, jejíž normálový vektor svírá s každou z hlavních os stejné úhly (to znamená, že má směrové kosiny rovné ) , oktaedrická rovina . Osmistěnných rovin je celkem osm (obr. 6). Normálová a smyková složka tenzoru napětí v těchto rovinách se nazývá oktaedrická normálová napětí a oktaedrická smyková napětí . $|1/{\sqrt {3}}|\,\!$ $\sigma _{\mathrm {oct} }\,\!$ $\tau _{\mathrm {oct} }\,\!$

Protože tenzor napětí v bodě O (obr. 6) v hlavních osách je roven

\sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}\, \!

pak je vektor napětí v oktaedrické rovině dán vztahem:

{\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _ {3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1} +\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}\,\!

Normálová složka vektoru napětí v bodě O souvisejícím s oktaedrickou rovinou je rovna

{\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_ {j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3 }\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{ 1}\end{aligned}}\,\!

což se ukáže být rovno průměrnému normálovému napětí nebo hydrostatickému napětí. Tato hodnota je stejná pro všech osm oktaedrických rovin. Smykové napětí v oktaedrické rovině se pak rovná

{\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{ \mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2} \right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _ {2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1 }{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned} }\,\!

Alternativní způsoby reprezentace napětí

Mezi další užitečné způsoby reprezentace napětí patří první a druhý Piola-Kirchhoffův tenzor napětí, Biotův tenzor napětí a Kirchhoffův tenzor napětí.

Piola-Kirchhoff tenzor napětí

V případě konečných přetvoření vyjadřují Piola-Kirchhoffovy tenzory napětí napětí vzhledem k nějaké referenční konfiguraci. To je na rozdíl od Cauchyho tenzoru napětí, který vyjadřuje napětí vzhledem k aktuální konfiguraci. Pro infinitezimální deformace a rotace jsou Cauchyho tenzory a Piola-Kirchhoffův tenzor totožné.

Zatímco Cauchyho tenzor napětí dává do vztahu napětí v aktuální konfiguraci, gradient deformace a tenzory deformace jsou popsány porovnáním pohybu tělesa s referenční konfigurací; tedy ne všechny tenzory popisující stav materiálu jsou v referenční nebo aktuální konfiguraci. Popis napětí, deformací a deformací v referenční nebo aktuální konfiguraci by zjednodušil definici konstitutivních modelů (např. Cauchyho tenzor napětí je variantou čisté rotace, zatímco tenzor deformace je invariantní; proto vznikají problémy při definování konstitutivního model, který dává do souvislosti měnící se tenzor, pokud jde o to, že je invariantní při čisté rotaci; protože podle definice musí být konstitutivní modely invariantní při čistých rotacích). 1. Piola-Kirchhoffův tenzor napětí, jedno z možných řešení tohoto problému. Definuje rodinu tenzorů, které popisují konfiguraci těla v jeho aktuálním nebo referenčním stavu. ${\boldsymbol {\sigma ))$ ${\boldsymbol {P}}$

1. Piola-Kirchhoffův tenzor napětí uvádí do vztahu síly v aktuální („prostorové“) konfiguraci s oblastmi v referenční („materiálové“) konfiguraci. ${\boldsymbol {P}}$

{\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}~{\boldsymbol {F}}^{-T}~

kde je gradient deformace a je Jacobiho determinant . ${\boldsymbol {F}}$ $J=\det {\boldsymbol {F}}$

Pokud jde o komponenty s ohledem na ortonormální základ, první Piola-Kirchhoffův tenzor napětí je dán

P_{iL}=J~\sigma _{ik}~F_{Lk}^{-1}=J~\sigma _{ik}~{\cfrac {\partial X_{L)){\partial x_{k}}}~\,\!

Protože spojuje různé souřadnicové systémy, je první Piola-Kirchhoffův tenzor napětí dvoubodový. Obecně platí, že je symetrický. První Piola-Kirchhoffův tenzor napětí je trojrozměrným zobecněním jednorozměrného inženýrského konceptu napětí.

Pokud se médium otáčí beze změny napěťového stavu (tuhá rotace), pak se komponenty 1. Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí budou měnit v závislosti na orientaci média.

Druhý Piola-Kirchhoffův tenzor napětí

Zatímco 1. Piola-Kirchhoffův tenzor napětí uvádí síly v aktuální konfiguraci k oblastem v referenční konfiguraci, 2. Piola-Kirchhoffův tenzor napětí uvádí síly v referenční konfiguraci k oblastem v referenční konfiguraci. Síla v referenční konfiguraci se vypočítá pomocí mapování, které zachovává relativní vztah mezi směrem síly a normálou oblasti v referenční konfiguraci. ${\bold symbol {S}}$

{\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~ .

V indexovém zápisu s ohledem na ortonormální základ

S_{IL}=J~F_{Ik}^{-1}~F_{Lm}^{-1}~\sigma _{km}=J~{\cfrac {\částečné X_{I)) {\částečné x_{k))}~{\cfrac {\částečné X_{L)){\částečné x_{m))}~\sigma _{km}\!\,\!

Jedná se o symetrický jednobodový tenzor.

Pokud se médium otáčí beze změny stavu napětí (tuhá rotace), pak složky 2. Piola-Kirchhoffova tenzoru napětí zůstávají konstantní, bez ohledu na orientaci materiálu.

Odkazy

↑ Gordon, JE Structures aneb Proč věci nepadají. — 2. Da Capo Press. - Cambridge, MA: Da Capo Press, 2003. - ISBN 0306812835 .
↑ Marchetti, M.C. (2013). „Hydrodynamika měkké aktivní hmoty“. Recenze moderní fyziky . 85 (3): 1143-1189. DOI : 10.1103/RevModPhys.85.1143 .
↑ Sharma, B a Kumar, R "Odhad objemové viskozity zředěných plynů pomocí nerovnovážného přístupu molekulární dynamiky.", Physical Review E ,100, 013309 (2019)
↑ 12 mší _
↑ 1 2 3 4 Atanačkovic
↑ Smith & Truesdell, 1993 , s. 97
↑ Porážka
↑ 1 2 3 Chen & Han, 2007
↑ 123 Irgens _ _
↑ 1 2 3 Liu
↑ 12 Chadwick _
↑ Lubliner
↑ Truesdell & Topin, 1960
↑ Fung
↑ Basar
↑ Hjelmstad
↑ Hamrock
↑ Wu
↑ Chatterjee
↑ Jáger
↑ Ameen, 2005
↑ Prager

Literatura

Ameen, Mohammede. Výpočetní pružnost: teorie pružnosti a metody konečných a hraničních prvků . - Alpha Science Int'l Ltd., 2005. - S. 33-66. — ISBN 1-84265-201-X .
Atanackovic, Teodor M. Teorie pružnosti pro vědce a inženýry . - Springer, 2000. - S. 1-46. — ISBN 0-8176-4072-X .
Pivo, Ferdinand Pierre. Mechanika materiálů . - McGraw-Hill Professional, 1992. - ISBN 0-07-112939-1 .
Brady, BHG Rock Mechanika pro podzemní těžbu . - Třetí. - Kluwer Academic Publisher, 1993. - S. 17–29. - ISBN 0-412-47550-2 .
Chadwick, Peter. Mechanika kontinua: stručná teorie a problémy . - 2. - Dover Publications, 1999. - S. 90-106. — ISBN 0-486-40180-4 .
Chakrabarty, J. Teorie plasticity . - 3. - Butterworth-Heinemann, 2006. - S. 17–32. - ISBN 0-7506-6638-2 .
Chatterjee, Rabindranath. Matematická teorie mechaniky kontinua . - Alpha Science Int'l Ltd., 1999. - S. 111-157. — ISBN 81-7319-244-8 .
Chen, Wai-Fah. Plasticita pro stavební inženýry / Wai-Fah Chen, Da-Jian Han. - J. Ross Publishing, 2007. - S. 46-71. — ISBN 1-932159-75-4 .
Chou, Pei Chi. Elasticita: tenzorový, dyadický a inženýrský přístup . - Dover Publications, 1992. - S. 1–33. - ISBN 0-486-66958-0 .
Davis, R. O. Elasticita a geomechanika . - Cambridge University Press, 1996. - S. 16-26. - ISBN 0-521-49827-9 .
Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanická metalurgie . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8 .
Fung, Yuan-cheng. Klasická a výpočtová mechanika pevných látek . — World Scientific, 2001. — S. 66–96. - ISBN 981-02-4124-0 .
Hamrock, Bernard. Základy strojních prvků . - McGraw-Hill, 2005. - S. 58–59. — ISBN 0-07-297682-9 .
Hjelmstad, Keith D. Základy stavební mechaniky . - 2. - Springer, 2005. - S. 103-130. — ISBN 0-387-23330-X .
Holtz, Robert D. Úvod do geotechnického inženýrství . - Prentice-Hall, 1981. - ISBN 0-13-484394-0 .
Irgens, Fridtjov. Mechanika kontinua . — Springer, 2008. — S. 42–81. — ISBN 3-540-74297-2 .
Jaeger, John Conrad. Základy mechaniky hornin . - Čtvrtý. - Wiley-Blackwell, 2007. - S. 9–41. — ISBN 0-632-05759-9 .
Jones, Robert Millard. Deformační teorie plasticity . - Bull Ridge Corporation, 2008. - S. 95–112. - ISBN 0-9787223-1-0 .
Jumikis, Alfreds R. Teoretická mechanika zeminy: s praktickými aplikacemi v mechanice zemin a zakládání staveb . - Van Nostrand Reinhold Co., 1969. - ISBN 0-442-04199-3 .
Landau, LD a EMLifshitz. (1959). Teorie elasticity .
Láska, A.E.H. (4 ed.). (1944). Pojednání o matematické teorii pružnosti . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9 .
Liu, I-Shih. Mechanika kontinua . - Springer, 2002. - S. 41-50. — ISBN 3-540-43019-9 .
Lubliner, Jacob. Teorie plasticity (revidované vydání) . - Dover Publications, 2008. - ISBN 0-486-46290-0 . Archivováno31. března 2010 naWayback Machine
Mase, George E. Mechanika kontinua . - McGraw-Hill, 1970. - S. 44-76. — ISBN 0-07-040663-4 .
Mase, G. Thomas. Mechanika kontinua pro inženýry . - Druhý. - CRC Press, 1999. - S. 47-102. — ISBN 0-8493-1855-6 .
Marsden, JE Matematické základy elasticity . - Dover Publications, 1994. - S. 132-142. — ISBN 0-486-67865-2 .
Parry, Richard Hawley Grey. Mohrovy kružnice, napěťové dráhy a geotechnika . - 2. - Taylor & Francis, 2004. - S. 1–30. - ISBN 0-415-27297-1 .
Prager, William. Úvod do mechaniky kontinua . - Dover Publications, 2004. - S. 43-61. — ISBN 0-486-43809-0 .
Rees, David. Základní inženýrská plasticita – úvod do inženýrských a výrobních aplikací . — Butterworth-Heinemann, 2006. — S. 1–32. — ISBN 0-7506-8025-3 .
Smith, Donald Ray. Úvod do mechaniky kontinua - po Truesdellovi a Nollovi . - Springer, 1993. - ISBN 0-7923-2454-4 .
Timoshenko , Stephen P. Teorie elasticity. - Třetí. - McGraw-Hill International Editions, 1970. - ISBN 0-07-085805-5 .
Timoshenko, Stephen P. Historie pevnosti materiálů: se stručným popisem historie teorie pružnosti a teorie struktur. - Dover Publications, 1983. - ISBN 0-486-61187-6 .
Wu, Han-Chin. Mechanika a plasticita kontinua . — CRC Press, 2005. — S. 45–78. — ISBN 1-58488-363-4 .
C. Truesdell a R. A. Topin. The Classical Field Theories // Encyklopedie fyziky. - Berlin : Springer-Verlag, 1960. - Sv. III/I.