Idempotence

Idempotence ( lat. idem - stejný + potens - schopný) - vlastnost objektu nebo operace, kdy se operace na objektu opakuje, aby poskytla stejný výsledek jako první. Termín byl navržen americkým matematikem Benjaminem Peircem v dokumentech v 70. letech 19. století .

Příklady idempotentních operací:

sčítání s nulou : ; $a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\tečky$
násobení jednou : ; _ $x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\tečky$
číselný modul : ; $|x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\tečky$
volba maximální hodnoty: ; $\max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))$
výpočet největšího společného dělitele : ; $\operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x, y))$
sčítání modulo 2 s nulou : ; $a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\tečky$
zjištění zbytku dělení : ; $r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\tečky$
zvednutí do síly jednoho: . $a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\tečky$

Prvek

Idempotentní prvek ( idempotent ) v algebře je prvek pologrupy , který je zachován, když se vynásobí sám sebou: . Idempotentní teorém říká, že konečná pologrupa má idempotent. $e^2=e$

Idempotentní prvek obsahuje idempotentní prvek (označený ) if . Relace je vztahem částečného řádu v množině idempotentních prvků a nazývá se přirozeným částečným uspořádáním na množině . $E$ $F$ $e\geqslant f$ $ef=e=fe$ $\geqslant$ $E$ $E$

Dva idempotentní prvky asociativního kruhu (který bude násobící pologrupou) a nazývají se ortogonální , jestliže . $u$ $proti$ $uv=0=vu$

Operace

Idempotentní binární operace v matematice je operace, vůči které je jakýkoli prvek idempotentní ve výše uvedeném smyslu:

\forall x:\quad x\cdot x=x

Tuto vlastnost mají například logické AND a logické OR .

Idempotentní unární operace je operace , pro kterou nebo se provádí . $\forall x:f(f(x))=f(x)$ $f \circ f = f$

Z lineárních operátorů jsou idempotentní pouze operátor identity , operátor null a paralelní projekce . Proto je projektor v algebře - včetně v nekonečně-rozměrných prostorech - definován jako . $\mathbb {R} ^{n}$ $P \circ P = P$

V informatice

Idempotentní operace v informatice je akce, jejíž opakované opakování se rovná jedinému.

Příkladem takové operace jsou požadavky GET v protokolu HTTP . Podle specifikace musí server vracet identické odpovědi na identické požadavky GET (za předpokladu, že se zdroj nezměnil). To umožňuje, aby tyto odpovědi byly správně uloženy do mezipaměti , což snižuje zatížení sítě.

Pro C preprocesor je direktiva idempotentní , pokud je v hlavičkovém souboru " " ochrana proti dvojitému zahrnutí . #include "xxx.h"

Literatura

Peirce B. Lineární asociativní algebra . 1870.
Gunawardena, Jeremy (1998), Úvod do idempotence , v Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Na základě workshopu, Bristol, Spojené království, 3.–7. října 1994 , Cambridge: Cambridge University Press , s. 1–49 , < http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf >
Idempotence - článek z Encyklopedie matematiky . Ivanova O.A.