Hierarchie alefů

Hierarchie alefů v teorii množin a v matematice obecně je uspořádaný systém zobecněných („kardinálních“) čísel používaných k reprezentaci síly (počtu prvků) nekonečných dobře uspořádaných množin [1] . Mohutnost konečné množiny je počet jejích prvků, takže hierarchie kardinálních čísel zahrnuje běžná přirozená čísla uspořádaná tradičním způsobem. Další v hierarchii jsou nekonečné dobře uspořádané množiny, jejichž mohutnost (kardinální číslo) je označena písmenem aleph (ℵ) hebrejské abecedy s indexy a samotný index může být nekonečné pořadové číslo . Množiny větší mohutnosti odpovídají větší hodnotě indexu.

Prvním z alefů je mocnina množiny přirozených čísel („ spočítatelná “), která je označena symbolem (čti: „aleph-nula“), následuje (aleph-jedna) a tak dále. $\aleph_0$ $\aleph_1$

Hierarchii alefů popsal německý matematik Georg Kantor v článku „O zdůvodnění nauky o transfinitních množinách“ (ve dvou částech, 1895-1897) [2] .

Zápis aleph by se neměl zaměňovat s Wallisovým symbolem nekonečna ( ), který se často objevuje v kalkulu a dalších odvětvích matematiky. Wallisův symbol označuje buď neomezený nárůst ( znamená neomezený pokles) funkce, nebo speciální ("v nekonečnu ") bod na rozšířené číselné ose nebo komplexní rovině , zatímco aleph je mírou mohutnosti množin. $\infty$ $-\infty$

Obecná definice a vlastnosti

Jak bylo uvedeno výše, symbol označuje spočetnou mocninu přirozené řady. Nechť je nějaké řadové číslo ; uvažujme odpovídající ordinální číslo Potom symbol značí [1] mohutnost množiny všech řadových čísel menší než $\aleph_0$ $\alpha$ $\omega _{\alpha }.$ $\aleph _{\alpha }$ $\omega _{\alpha }.$

Některé vlastnosti [3] .

Všechny alefy jsou navzájem srovnatelné, ze dvou alefů je ten s větším indexem větší.
Každé kardinální číslo je stejné jako jedno z alefů ( pro důkaz je potřeba axiom výběru ).
Předpoklad: známý jako hypotéza kontinua . $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$
Množina všech alef menší než daný je dobře uspořádaná a její ordinální typ je roven $\aleph _{\alpha },$ $\alpha.$
Ihned následuje kardinální číslo , mezi nimi nejsou žádné mezimocniny. ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1))$ $\aleph _{\alpha },$
Mezi alefy není žádný největší prvek. Hierarchie alefů netvoří soubor ve smyslu Zermelo-Fraenkelovy axiomatiky .

Příklady

Aleph zero

$\aleph_0$ (aleph-nula) je mocnina množiny přirozených čísel, první nekonečný kardinál. Množina všech konečných pořadových čísel se značí malým řeckým písmenem ( omega ), nebo má mohutnost $\mathbb {N} ,$ $\omega$ $\omega _{0};$ $\aleph _{0}.$

Množina má moc právě tehdy, když je spočetná , to znamená, že mezi ní a množinou přirozených čísel existuje korespondence jedna ku jedné . Příklady výkonových sad : $\aleph_0$ $\mathbb {N}$ $\aleph_0$

množina všech čtvercových čísel , množina všech kubických čísel ;
množina všech sudých čísel , množina všech lichých čísel;
množina všech prvočísel , množina všech složených čísel ;
množina všech celých čísel ;
množina všech racionálních čísel ;
souhrn všech geometrických veličin, které lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka ;
množina všech algebraických čísel ,
množina všech vypočítatelných čísel ,
množina všech definovatelných čísel ;
množina všech binárních řetězců konečné délky;
množina všech konečných podmnožin dané spočetné množiny.

Nekonečné pořadové číslo :

{\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega ))

všechny odkazují na spočetné množiny [4] . Například následující posloupnost (s ordinálou ω 2) obsahující nejprve všechna kladná lichá čísla a poté všechna kladná sudá čísla:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

popisuje nějaké pořadí na množině kladných celých čísel mohutnosti . $\aleph_0$

Pokud platí axiom výběru , nebo alespoň axiom spočetného výběru (slabší), pak méně než kterýkoli jiný nekonečný kardinál. $\aleph_0$

Aleph-one

$\aleph_1$ (aleph-one) je mohutnost množiny všech spočítatelných řadových čísel , která se označuje (někdy ). Pořadové číslo je větší než všechny počitatelné pořadové číslo a odpovídá nepočitatelným množinám. Proto se neshoduje s a je větší než to. $\omega_{1}$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\omega_{1}$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Pokud je přijat Zermelo-Fraenkelův axiom (dokonce i bez zvoleného axiomu ), pak nejsou mezi a žádná další kardinální čísla. Pomocí axiomu výběru můžeme ukázat jednu z nejužitečnějších vlastností množiny, jakákoliv spočetná podmnožina má horní mez (vyplývá to z toho, že spočetný svazek spočetných množin je spočetný). Tento fakt je analogický se situací v : každá konečná množina přirozených čísel má maximální prvek, který je také přirozeným číslem, a konečné sjednocení konečných množin je konečné. $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\omega _{1}\colon$ $\omega_{1}$ $\omega_{1}$ $\aleph_0$

Pokud přijmeme hypotézu kontinua , pak se shoduje s mohutností tělesa reálných čísel ( kontinuum ). Pokud je hypotéza kontinua nesprávná, pak kontinuum odpovídá jednomu ze vzdálenějších alefů. $\aleph_1$

Aritmetika Alephů

Georg Cantor definoval operace podobné běžné aritmetice pro jakákoli kardinální čísla. Jejich vlastnosti se však v mnohém liší od těch obvyklých a často vyžadují aplikaci axiomu výběru . Příklady [5] :

Součet jakéhokoli alefu sám se sebou dává stejný aleph: $\aleph _{\alpha }+\aleph _{\alpha }=\aleph _{\alpha }.$
Konečný stupeň jakéhokoli alefu dává stejný aleph.
Součet a součin různých alefů dává největší z nich.

Viz také

číslo sázky

Poznámky

↑ 1 2 Encyklopedie matematiky, 1977 .
↑ Joseph Warren Dauben; Joseph Warren Dauben. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (anglicky) . — ISBN 9780691024479 .
↑ Kuratovský, Mostovský, 1970 , s. 283-284.
↑ Jech, Thomas (2003), Teorie množin , Springerovy monografie v matematice, Berlín, New York: Springer-Verlag
↑ Kuratovský, Mostovský, 1970 , s. 284-286.

Literatura

Efimov B. A. Alephs // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M .: Sovětská encyklopedie , 1977. - T. 1. - S. 235.
Kuratovský K. , Mostovský A. Teorie množin / Z angličtiny přeložil M. I. Stručně, upravil A. D. Taimanov. - M .: Mir, 1970. - 416 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Aleph-0 (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .