Integrály pohybu

V mechanice se funkce kde - zobecněné souřadnice , - zobecněné rychlosti soustavy nazývá integrál pohybu (dané soustavy), pokud na každé trajektorii soustavy, ale funkce není shodně konstantní. $I=I(q, \tečka q),$ $q$ $\tečka q$ $I(q, \dot q)=\mathrm{const}$ $q(t)$ $I(q, \tečka q)$

Integrály pohybu, které mají aditivitu nebo asymptotickou aditivitu , se nazývají zákony zachování .

Integrály pohybu v klasické mechanice

V klasické mechanice je možné pro uzavřený systém částic v trojrozměrném prostoru , mezi nimiž neexistují pevné spoje, tvořit nezávislé pohybové integrály - to jsou první integrály příslušné soustavy Hamiltonových rovnic . Z nich jsou tři aditivní: energie , hybnost , moment hybnosti [1] . $N$ $6N-1$

Aplikace

Integrály pohybu jsou užitečné, protože některé vlastnosti tohoto pohybu lze znát i bez integrace pohybových rovnic . V nejúspěšnějších případech představují trajektorie pohybu průsečík izoploch odpovídajících integrálů pohybu. Například Poinsotova konstrukce ukazuje, že bez točivého momentu je rotace tuhého tělesa průsečíkem koule (zachování celkového momentu hybnosti) a elipsoidu (zachování energie) – což je trajektorie, kterou je obtížné odvodit a vizualizovat. Proto je nalezení integrálů pohybu důležitým cílem v mechanice .

Metody pro hledání integrálů pohybu

Existuje několik metod, jak najít integrály pohybu:

Nejjednodušší, ale také nejméně rigorózní metodou je intuitivní přístup, často založený na experimentálních datech a následném matematickém důkazu zachování velikosti.

Hamiltonova-Jacobiho rovnice nabízí rigorózní a přímou metodu pro nalezení integrálů pohybu, zvláště pokud Hamiltonián nabývá známý funkční tvar v ortogonálních souřadnicích .

Dalším přístupem je postavit vedle sebe konzervované množství a nějaký druh Lagrangeovy symetrie . Noetherova věta poskytuje systematický způsob, jak odvodit takové veličiny ze symetrií. Například zákon zachování energie vyplývá ze skutečnosti, že Lagrangian se nemění s ohledem na posun v čase, zákon zachování hybnosti je ekvivalentní invarianci Lagrangianu vzhledem k posunu počátku v prostoru ( translační symetrie ), a zákon zachování momentu hybnosti vyplývá z izotropie prostoru (Lagrangian se nemění s rotacemi souřadnic systému). Platí to i obráceně: každá symetrie Lagrangianu odpovídá integrálu pohybu.

Množství je zachováno, pokud není explicitně závislé na čase a jeho Poissonovy závorky s Hamiltoniánem systému jsou rovné nule: $A$

{\frac {dA}{dt))={\frac {\partial A}{\partial t))+[A,H]=0

Další užitečný výsledek je známý jako Poissonův teorém , který říká, že pokud existují dva integrály pohybu a , pak Poissonovy závorky těchto dvou veličin jsou také integrálem pohybu, za předpokladu, že je získán výraz nezávislý na integrálech. $A$ $B$ $[A, B]$

Systém se stupni volnosti a integrály pohybu takový, že Poissonovy závorky jakékoli dvojice integrálů jsou nulové, je známý jako plně integrovatelný systém . Říká se, že takový soubor integrálů pohybu je ve vzájemné involuci . $n$ $n$

V hydrodynamice

Při volném (bez vnějších sil) pohybu ideální (bez disipace, bez viskozity) nestlačitelné (objem jakékoli části je zachován) kapaliny jsou zachovány následující veličiny:

kinetická energie (viz také Bernoulliho integrál ) $\int\limits_V\vec{v}^2\,dV$
hydrodynamická helicita $\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{v}\,dV$

Pokud je pohyb dvourozměrný, pak je zachována i enstrofie . $\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS$

V ideální magnetohydrodynamice je první integrál (celková energie jako součet kinetické energie tekutiny a energie magnetického pole) zachován, druhý (hydrodynamická helicita ) mizí, ale objevují se další dva integrály pohybu:

Helicita magnetického pole je , kde je vektorový magnetický potenciál . $\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A}$ $\vec{A}$
Křížová helicita - $\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}$

V kvantové mechanice

Pozorovaná veličina Q je zachována, pokud komutuje s hamiltoniánem H , který není explicitně závislý na čase. Proto

{\frac {d}{dt}}\langle \psi |{\hat {Q}}|\psi \rangle ={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[ {\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\partial {\hat {Q}}}{\partial t}}|\psi \rangle

kde je použit komutační vztah

[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}

Závěr

Nechť je nějaký pozorovatelný , který závisí na poloze, hybnosti a čase $Q$

Q=Q(x,p,t)

a existuje také vlnová funkce , která je řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {\mathcal {H))}\psi

Pro výpočet časové derivace průměrné hodnoty pozorovatelného se používá pravidlo diferenciace produktu a výsledek po několika manipulacích je uveden níže $Q$

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle \, = \frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q} | \psi \rangle \, =

= \langle \frac{\částečný \psi}{\částečný t} | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \hat{\mathcal H} \psi | \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, =

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi | \hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \, =

={\frac {i}{\hbar }}\langle \psi |\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]|\psi \rangle +\langle \psi |{\frac {\částečný {\hat {Q))}{\částečný t))|\psi \rangle

V důsledku toho dostáváme

{\frac {d}{dt}}{\hat {Q}}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {Q}}\right]+{\frac {\částečný {\hat {Q}}}{\částečný t}}

Vztah ke kvantovému chaosu a kvantové integrovatelnosti

V klasické mechanice existuje Liouvilleův teorém , podle kterého systém, ve kterém se počet integrálů pohybu v involuci shoduje s počtem stupňů volnosti , lze zcela integrovat (řešit) metodou separace proměnných v Hamiltonova-Jacobiho rovnice. Takový systém je integrovatelný systém . Trajektorie takového systému v -rozměrném fázovém prostoru může být reprezentována ve vhodných proměnných ( proměnné akce-úhel ) jako vinutí na -rozměrném torusu. Systém, ve kterém je počet integrálů menší než počet stupňů volnosti, vykazuje chaotické chování , to znamená, že trajektorie ve fázovém prostoru s blízkými počátečními podmínkami se mohou exponenciálně rozcházet. Při mírné deformaci integrovatelného systému na neintegrovatelný je -rozměrný torus v -rozměrném fázovém prostoru zničen ("rozmazaný") a mění se například v podivný atraktor . $n$ $2n$ $n$ $n$ $2n$

Kvantová analogie Liouvilleovy věty není známa, nicméně i v kvantovém případě lze systémy rozdělit na integrovatelné a neintegrovatelné. Integrovatelnými v tomto případě rozumíme systémy, které připouštějí přesné řešení ve smyslu možnosti najít všechna vlastní čísla a vlastní funkce hamiltoniánu v rozumné podobě. Je známá kvantová obdoba metody separace proměnných, ale její použití není v klasických případech tak univerzální. Známé příklady ukazují, že v kvantově integrovatelných systémech, stejně jako v těch klasických, existují integrály pohybu, které spolu komutují. Přítomnost integrálů pohybu však zjevně ještě nezaručuje kvantovou integrovatelnost. Problémem kvantování integrovatelných systémů je hledání takového kvantového systému, který by připouštěl přesné řešení a dával by daný klasický systém v klasické limitě. Existují také příklady integrovatelných kvantových systémů, které nemají integrovatelné klasické analogy. K tomu dochází, pokud lze systém řešit pro speciální hodnoty parametrů kvantového Hamiltoniánu , nebo když systém neumožňuje klasický popis (např. systém spinů ). $n$ $n$

Všechny ostatní kvantové systémy vykazují známky kvantového chaosu do té či oné míry . Klasické chaotické systémy umožňují kvantování v tom smyslu, že jejich stavový prostor a hamiltonián lze správně definovat, nicméně klasické chaotické systémy i kvantové systémy zřejmě neumožňují přesné řešení. Mohou být vyšetřovány přibližnými metodami, jako je poruchová teorie a variační metoda , stejně jako numericky metodami molekulární dynamiky v klasickém případě nebo numerickou diagonalizací Hamiltoniánu v kvantovém případě.

Viz také

Poznámky

↑ Saveljev, 1987 , str. 74.

Literatura

Griffiths, David J.Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání) (anglicky) . — Prentice Hall , 2004.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mechanics. - 4. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 215 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd. - M. : Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5 .
Savelyev I.V. Kurz obecné fyziky. T. 1. Mechanika. Molekulární fyzika. — M .: Nauka, 1987. — 432 s.