Kategorie metrických prostorů

Kategorie metrických prostorů nebo Met je kategorie, jejíž objekty jsou metrické prostory a jejichž morfismy jsou krátká zobrazení . (Protože kompozice dvou krátkých zobrazení je krátká, tyto objekty a morfismy tvoří kategorii.)

Začátek studia této kategorie dal John Isbell .

Šipky

Monomorfismy v Met jsou injektivní krátká zobrazení. Epimorfismy jsou krátká zobrazení s všude hustým obrazem. Izomorfismy - izometrie .

Například zahrnutí racionálních čísel do reálných čísel je monomorfismus a epimorfismus, ale ne izomorfismus.

Prázdný metrický prostor je počáteční objekt Met ; jakýkoli jednobodový metrický prostor je terminálový objekt . Protože počáteční a koncový objekt jsou různé, v Met nejsou žádné prázdné objekty .

Injektivní objekty v Met se nazývají injektivní metrické prostory . Injektivní metrické prostory byly představeny a studovány nejprve Aronszajnem a Panitchpakdim (1956 ), před studiem Met jako kategorie; mohou být také definovány interně v podmínkách Hellyho vlastnosti jejich metrických koulí a kvůli této alternativní definici se nazývají hyperkonvexní prostory. Jakýkoli metrický prostor má nejmenší injektivní metrický prostor, do kterého může být izometricky vložen, nazývaný jeho injektivní trup .

Práce

Součin konečné množiny metrických prostorů v Met je přímým součinem vzdálenostních prostorů v součinovém prostoru definovaných jako součet vzdáleností v souřadnicových prostorech.

Součin nekonečné množiny metrických prostorů nemusí existovat, protože vzdálenosti v základních prostorech nemusí mít supremum. To znamená, že Met není úplná kategorie , ale je definitivně uzavřená. V Met není žádný vedlejší produkt .

Variace a zobecnění

Met není jedinou kategorií, jejíž objekty jsou metrické prostory; mezi další patří kategorie jednotně spojitých funkcí , kategorie Lipschitzových funkcí a kategorie kvazi-Lipschitzových zobrazení. Krátká zobrazení jsou jak jednotně spojitá, tak i Lipschitzova, s Lipschitzovou konstantou nejvýše jednou.

Jako vhodné se také ukazuje rozšíření kategorie metrických prostorů, které umožňuje například nabývání hodnot vzdáleností nebo přechod do premetrických prostorů, tedy opuštění trojúhelníkové nerovnosti a symetrie pro metriku.

Odkazy