Kinetická Boltzmannova rovnice

Boltzmannova rovnice ( kinetická Boltzmannova rovnice ) je rovnice pojmenovaná po Ludwigu Boltzmannovi , který ji jako první zvažoval, a popisující statistické rozložení částic v plynu nebo kapalině . Je to jedna z nejdůležitějších rovnic fyzikální kinetiky (obor statistické fyziky , který popisuje systémy, které jsou daleko od termodynamické rovnováhy, například v přítomnosti teplotních gradientů a elektrického pole ). Boltzmannova rovnice se používá ke studiu transportu tepla a elektrického náboje v kapalinách a plynech a jsou z ní odvozeny transportní vlastnosti jako elektrická vodivost , Hallův jev , viskozita a tepelná vodivost . Rovnice je použitelná pro řídké systémy, kde je doba interakce mezi částicemi krátká ( hypotéza molekulárního chaosu ).

Formulace

Boltzmannova rovnice popisuje časový vývoj distribuční funkce v jednočásticovém fázovém prostoru , kde , a jsou souřadnice , hybnost a čas , v tomto pořadí. Distribuce je definována tak, že $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ $\mathbf {x}$ ${\mathbf {p}}$ $t$

f({\mathbf {x}},{\mathbf {p}},t)\,d^{3}x\,d^{3}p

je úměrná počtu částic ve fázovém prostoru v čase . Boltzmannova rovnice $d^{3}x\,d^{3}p$ $t$

{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} ))\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m ))+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =\left.{\frac {\partial f}{\partial t))\right|_ {\mathrm {coll} }.

Zde je pole sil působících na částice v kapalině nebo plynu a je hmotnost částic. Člen na pravé straně rovnice je přidán k účtu pro srážky mezi částicemi a je nazýván srážkovým integrálem . Pokud je nula, pak se částice vůbec nesrazí. Tento případ je často označován jako jednočásticová Liouvilleova rovnice . Pokud je silové pole nahrazeno vhodným samokonzistentním polem v závislosti na distribuční funkci , pak získáme Vlasovovu rovnici popisující dynamiku nabitých částic plazmatu v samokonzistentním poli. Klasická Boltzmannova rovnice se používá ve fyzice plazmatu , stejně jako ve fyzice polovodičů a kovů (k popisu kinetických jevů, tj. přenosu náboje nebo tepla v elektronové tekutině ). $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $m$ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ $F$

V Hamiltonovské mechanice je Boltzmannova rovnice často zapsána v obecnější formě

{\hat {{\mathbf {L}}}}[f]={\mathbf {C}}[f]

kde je Liouvilleův operátor popisující vývoj objemu fázového prostoru a je kolizní operátor. Nerelativistická forma operátoru je následující $\mathbf{L}$ ${\mathbf {C}}$ $\mathbf{L}$

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t))+{\frac {\mathbf {p} }{m} }\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },

a v obecné teorii relativity

{\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\ alpha ))}-\součet _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{ \partial p^{\alpha }}},

kde je symbol Christoffel . $\Gamma$

Srážkový integrál

Srážky mezi částicemi vedou ke změně jejich rychlostí. Pokud udává pravděpodobnost rozptylu částic ze stavu s rychlostí do stavu s rychlostí , pak srážkový integrál pro klasické částice se zapíše jako $W({\mathbf {v)),{\mathbf {v))^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt$ ${\mathbf {v))$ ${\mathbf {v}}^{\prime }$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{{coll}}=\int _{({\mathbf {v}}^{\prime }}}[f(t ,{\mathbf {r)),{\mathbf {v}}^{\prime })W({\mathbf {v}}^{\prime },{\mathbf {v}})-f(t, {\mathbf {r)),{\mathbf {v}})W({\mathbf {v}},{\mathbf {v}}^{\prime })]d^{3}v^{\prime }

V případě kvantové podstaty částicové statistiky je toto vyjádření komplikováno nemožností, aby dvě částice byly ve stavu se stejnými kvantovými čísly, a proto je nutné počítat s nemožností rozptylu do obsazených stavů.

Přibližná doba relaxace

Boltzmannova rovnice je komplexní integro-diferenciální parciální diferenciální rovnice . Srážkový integrál navíc závisí na konkrétním systému, na typu interakce mezi částicemi a dalších faktorech. Najít společné charakteristiky nerovnovážných procesů není snadný úkol. Je však známo, že ve stavu termodynamické rovnováhy je srážkový integrál roven nule. Ve stavu rovnováhy v homogenním systému bez vnějších polí jsou totiž všechny derivace na levé straně Boltzmannovy rovnice rovny nule, takže srážkový integrál musí být také roven nule. Pro malé odchylky od rovnováhy lze distribuční funkci znázornit jako

{\displaystyle f=f_{0}+f_{1))

kde je rovnovážná distribuční funkce, která je známá z termodynamiky a závisí pouze na rychlostech částic a je malou odchylkou. $f_{0}({\mathbf {v}})$ $f_{1}$

V tomto případě lze rozšířit kolizní integrál v Taylorově řadě s ohledem na funkci a zapsat jej ve tvaru: $f_{1}$

\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{ \frac {f-f_{0}}{\tau }}

kde je čas na odpočinek . Taková aproximace se nazývá aproximace relaxačního času nebo Bhatnagar-Gross-Krookův srážkový integrální model . Relaxační čas zahrnutý v Boltzmannově rovnici závisí na rychlosti částice a následně na energii. Relaxační čas lze vypočítat pro konkrétní systém se specifickými procesy rozptylu částic. $\tau$

Boltzmannova rovnice v aproximaci relaxačního času je zapsána jako

{\frac {\částečné f}{\částečné t))+{\mathbf {v))\cdot \nabla f+{\frac ({\mathbf {F))}{m))\cdot \nabla _{{ {\mathbf {v}}}}f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}

Odvození Boltzmannovy rovnice

Mikroskopické odvození Boltzmannovy rovnice z prvních principů (založené na přesné Liouvilleově rovnici pro všechny částice prostředí) se provádí ukončením řetězce Bogolyubovových rovnic na úrovni párové korelační funkce pro klasické [1] a kvantové [2 ] systémy. Účtování v řetězci kinetických rovnic pro korelační funkce vyššího řádu umožňuje najít opravy Boltzmannovy rovnice [3] .

Viz také

Poznámky

↑ Bogolyubov N. N. Kinetic Equations (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1946. - T. 16 (8) . - S. 691-702 .
↑ Bogolyubov N. N. , Gurov K. P. Kinetické rovnice v kvantové mechanice (neopr.) // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1947. - T. 17 (7) . - S. 614-628 .
↑ Metoda Shelesta A. V. Bogolyubova v dynamické teorii kinetických rovnic. — M.: Nauka, 1990. 159 s. ISBN 5-02-014030-9 .

Odkazy

5 knih o Boltzmannovi a jeho rovnici Archivováno 24. února 2013 na Wayback Machine

Literatura

Cherchinyani K. Teorie a aplikace Boltzmannovy rovnice. — M .: Mir, 1978. — 495 s.
vyd. Liebovitz JL, Montroll EW Nerovnovážné jevy: Boltzmannova rovnice. — M .: Mir, 1986. — 272 s.
Carleman T. Matematické problémy kinetické teorie plynů. - M. : IL, 1960. - 120 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština velká čínština Britannica (online)
V bibliografických katalozích	NKC : ph548971