Koalgebra

Koalgebra je matematická struktura, která je duální (ve smyslu obrácených šipek) k asociativní algebře s jednotkou . Axiómy nečleněné asociativní algebry mohou být řečeny v podmínkách komutativních diagramů . Axiomy koalgebry se získají obrácením šipek. Každá koalgebra s dualitou (vektorového prostoru) generuje algebru, ale ne naopak. V případě konečných rozměrů existuje dualita v obou směrech. Koalgebry se vyskytují v různých případech (například v univerzálních obalových algebrách a grupových schématech ). Existuje také F-coalgebra , která má důležité aplikace v informatice .

Definice

Koalgebra nad polem K je vektorový prostor C nad K spolu s K -lineárními zobrazeními a , takže $\Delta : C \to C \otimes_K C$ $\epsilon : C \to K$

$(\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$
$(\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta$ .

(Zde a znamená součin tenzoru nad K. ) $\otimes$ $\otimes_K$

Ekvivalentně následující dva diagramy dojíždějí :

V prvním diagramu se identifikujeme jako dva přirozeně izomorfní prostory. [1] Podobně přirozeně izomorfní prostory , a jsou identifikovány ve druhém diagramu . [2] $C\otimes (C\otimes C)$ $(C \otimes C)\otimes C$ $C$ $C\otimes K$ $K\otimes C$

První diagram je duální k diagramu vyjadřujícímu asociativitu operace násobení algebry (a nazývá se koasociativita násobení); druhý diagram je duální k diagramu vyjadřujícímu existenci multiplikativního neutrálního prvku . V souladu s tím se mapa Δ nazývá násobením (nebo koproduktem ) v C a ε je součet C.

Příklad

Uvažujme množinu S a vytvořte vektorový prostor nad K se základem S . Prvky tohoto vektorového prostoru jsou funkce od S do K , které mapují všechny prvky S kromě konečného počtu na nulu; prvek s z S identifikujeme s funkcí, která zobrazuje s na 1 a všechny ostatní prvky z S na 0. Tento prostor označíme jako C . Budeme definovat

\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ a } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.

Δ a ε lze jednoznačně rozšířit na všechny C pomocí linearity . Vektorový prostor C se stává koalgebrou s násobením Δ a counit ε (to je dobrý způsob, jak si zvyknout na používání axiomů koalgebry).

Případ konečných rozměrů

V konečném-rozměrném případě, dualita mezi algebrou a coalgebra je bližší: objekt duální ke konečné-dimenzionální (jednotná asociativní) algebra je coalgebra, a dual k konečně-rozměrná koalgebra je (unitární asociativní) algebra. Obecně řečeno, objekt duální k algebře nemusí být koalgebra.

To vyplývá ze skutečnosti, že pro konečnorozměrné prostory jsou ( A ⊗ A )* a A * ⊗ A * izomorfní.

Ještě jednou: algebra a coalgebra jsou duální pojmy (axiomy definující jeden jsou získány z axiomů druhého obrácením šipek), zatímco pro konečnorozměrné prostory jsou také duálními objekty .

Poznámky

↑ Yokonuma (1992), s. 12 , Prop. 1.7.
↑ Yokonuma (1992), s. 10 , prop. 1.4.

Viz také

Literatura

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , sv. 235 (1. vyd.), Čistá a aplikovaná matematika, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Yokonuma, Takeo (1992), Tenzorové prostory a vnější algebra , sv. 108, Překlady matematických monografií, Knihkupectví AMS, ISBN 9780821845646 .
Bourbaki, Nicolas. Algebra (neurčitá) . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-19373-1 . . Kapitola III, oddíl 11.

Odkazy

William Chin: Stručný úvod do teorie reprezentace koalgebry Archivováno 24. října 2004 na Wayback Machine