Konformní euklidovský model

Konformní euklidovský model nebo Poincarého model je modelem Lobačevského prostoru.

Existují varianty modelu - v kruhu ( stereografická projekce ) a v polorovině pro Lobačevského planimetrii , stejně jako v kouli a v poloprostoru - pro Lobačevského stereometrii , resp.

Konformní euklidovský model je pozoruhodný tím, že v něm jsou rohy reprezentovány obyčejnými úhly, tedy tento model je konformní [1] , na rozdíl od projektivního modelu , ve kterém je definice úhlů mnohem obtížnější.

Historie

Tento model navrhl Eugenio Beltrami spolu s projektivním modelem a modelem pseudosféry . [2] Metrika v konformním euklidovském modelu je také ve slavné Riemannově přednášce „O hypotézách podléhajících geometrii“, ale spojení s Lobachevského geometrií objevil Beltrami. Následně Henri Poincaré objevil souvislosti tohoto modelu s problémy v teorii funkcí komplexní proměnné , což dalo jednu z prvních vážných aplikací Lobačevského geometrie .

Modelky v kruhu a v kouli

Lobachevsky letadlo je vzato být vnitřek kruhu (ukázaný na obrázku) v euklidovském prostoru; hranice daného kruhu (kruhu) se nazývá "absolutní". Roli geodetických linií plní oblouky kružnic obsažených v této kružnici kolmé k absolutnu a její průměry; rolí pohybů jsou transformace získané kombinacemi inverzí vzhledem ke kružnicím, jejichž oblouky slouží jako přímky. $(a,\;b,\;b')$

Metrika Lobačevského roviny v konformním euklidovském modelu v jednotkové kružnici je: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2 }),

kde a jsou osy úsečky a pořadnice [3] . $X$ $y$

Podobně pro konformní euklidovský model v kouli hraje roli absolutna hraniční sféra v trojrozměrném euklidovském prostoru a Lobačevského prostor je vnitřkem koule.

Vzdálenosti

V komplexních souřadnicích na jednotkové kružnici lze vzdálenosti vypočítat pomocí následujícího vzorce:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\right|.

Vzdálenost může být vyjádřena pomocí dvojitého poměru . Pokud na oblouku jsou body umístěny v následujícím pořadí: , , , pak vzdálenost mezi body a , v Lobačevského geometrii je rovna $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\right)

Polorovinné a poloprostorové modely

V Poincareho polorovinném modelu je horní polorovina brána jako Lobačevského rovina . Přímka ohraničující polorovinu (tj. osu úsečky) se nazývá „absolutní“. Roli přímek hrají půlkruhy obsažené v této polorovině se středy na absolutnu a paprsky na něj kolmými (tedy vertikálními paprsky) začínajícími v absolutnu. Úlohou pohybů jsou transformace získané složením konečného počtu inverzí zaměřených na absolutní a osové symetrie , jejichž osy jsou kolmé k absolutnu.

Lobačevského rovinná metrika v konformním euklidovském modelu v horní polorovině má tvar: [3] , kde a jsou pravoúhlé souřadnice, respektive rovnoběžné a kolmé k absolutnu. $ds$ $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $u$ $proti$

Podle toho v konformním euklidovském modelu v poloprostoru hraje roli absolutna rovina v trojrozměrném euklidovském prostoru a Lobačevského prostor je poloprostor ležící na této rovině.

Viz také

Pickova věta je invariantní formou Schwartzova lemmatu , která využívá vzdálenosti v konformním euklidovském modelu.

Poznámky

↑ Popov A.G. Pseudosférické povrchy a některé problémy matematické fyziky . Získáno 24. července 2007. Archivováno z originálu dne 20. března 2022. (neurčitý)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
překlad: Beltrami E. Základy teorie prostorů konstantní křivosti. // O základech geometrie: Sbírka. - M .: GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. Přednáškový kurz "Asymptotická geometrie metrických prostorů" jaro 2004.

Literatura

Chernikov N. A. Bogolyubov transformace a Lobačevského planimetrie. Část 4, srovnání dvou modelů Poincaré. (odkaz nedostupný od 18-05-2013 [3446 dní] - historie )
Samarov K., Uroev V. "Model Poincare". — Kvantový časopis. — 1984. - číslo 6.