Křivka druhého řádu

Křivka druhého řádu - těžiště bodů roviny, jejichž pravoúhlé souřadnice splňují rovnici tvaru

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

ve kterém je alespoň jeden z koeficientů odlišný od nuly. Křivka druhého řádu je tedy speciálním případem algebraické křivky . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Historie

Křivky druhého řádu poprvé studoval Menechmus , student Eudoxus [1] [2] . Jeho práce byla následující: vezmete-li dvě protínající se čáry a otočíte je kolem osy úhlu, který tvoří, dostanete kuželovou plochu . Pokud tuto plochu protneme rovinou , získáme v řezu různé geometrické tvary, konkrétně elipsu , kružnici , parabolu , hyperbolu a několik zdegenerovaných obrazců (viz níže).

Tento vědecký poznatek však našel uplatnění až v 17. století, kdy vešlo ve známost, že planety se pohybují po eliptických trajektoriích a dělová střela letí po parabolické. Ještě později se ukázalo, že když tělu přidělíte první prostorovou rychlost , bude se pohybovat po kruhu kolem Země se zvýšením této rychlosti - po elipse , když dosáhne druhé vesmírné rychlosti - po parabole , a při rychlosti větší než druhá prostorová rychlost - podél hyperboly .

Invarianty

Tvar křivky závisí na čtyřech invariantech :

invarianty při rotaci a posunu souřadnicového systému :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (také označovaný jako ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (také označovaný jako ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (také označovaný jako ) $já$
invariantní vzhledem k rotaci souřadnicového systému (semiinvariantní):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (také označovaný jako ) $B$

Někdy se vyskytující výraz "křivka invariantní" je nepřesný. Pokud rovnici vynásobíme nenulovým číslem k, dostaneme rovnici, která definuje stejnou křivku. V tomto případě se změní hodnoty invariantů. atd. $\Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}$

Klasifikace křivek druhého řádu s ohledem na hodnoty invariantů

Křivka	Rovnice	Invarianty
Elipsa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Bod (dvojice pomyslných protínajících se čar)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
pomyslná elipsa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hyperbola	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Dvojice protínajících se čar	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Parabola	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Dvojice rovnoběžných čar	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Rovný	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Dvojice pomyslných rovnoběžných čar	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Nedegenerované křivky

Křivka druhého řádu se nazývá nedegenerovaná , pokud mohou nastat následující možnosti: $\Delta\ne0.$

Nedegenerovaná křivka druhého řádu se nazývá centrální if $D\ne=0$
- elipsa - za předpokladu a ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - speciální případ elipsy - kružnice - za předpokladu, že popř $I^2=4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- pomyslná elipsa (ani jediný skutečný bod) - za předpokladu a $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hyperbola - za předpokladu $D<0;$
Nedegenerovaná křivka druhého řádu se nazývá necentrální if $D=0$
- parabola - podléhající $D=0.$

Degenerované křivky

Křivka druhého řádu se nazývá degenerovaná , jestliže . Mohou nastat následující možnosti: $\Delta=0$

skutečný bod na průsečíku dvou imaginárních čar ( degenerovaná elipsa ) - za předpokladu $D > 0;$
dvojice skutečných protínajících se čar ( degenerovaná hyperbola ) - za předpokladu $D<0;$
degenerovaná parabola - za předpokladu $D=0:$
- pár skutečných rovnoběžných čar - pod podmínkou $B<0;$
- jedna skutečná čára (dvě sloučené rovnoběžné čáry ) - za předpokladu $B = 0;$
- dvojice pomyslných rovnoběžných čar (nikoli jediný skutečný bod) - za předpokladu $B>0.$

Charakteristický kvadratický tvar a charakteristická rovnice

Mnoho důležitých vlastností křivek druhého řádu lze studovat pomocí charakteristické kvadratické formy odpovídající rovnici křivky

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Takže například nedegenerovaná křivka se ukáže jako skutečná elipsa , imaginární elipsa , hyperbola nebo parabola , v závislosti na tom, zda se jedná o kladně definitní, záporně definitní, neurčitou nebo semidefinitivní kvadratickou formu, která je založena kořeny charakteristické rovnice: $\left(\Delta\ne0\right)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

nebo

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Kořeny této rovnice jsou vlastní hodnoty skutečné symetrické matice

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

a v důsledku toho jsou vždy skutečné [3] .

Průměry a střed křivky druhého řádu

Průměr křivky druhého řádu je místem středů rovnoběžných tětiv této křivky. Takto získaný průměr se nazývá konjugát těchto tětiv nebo jejich směr. Průměr konjugovaný s tětivami svírajícími úhel s kladným směrem osy Ox je určen rovnicí: $\theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sin\theta = 0.$

Pokud je podmínka splněna, pak se všechny průměry křivky protnou v jednom bodě - střed a křivka samotná se nazývá středová . Jinak ( ) jsou všechny průměry křivky buď rovnoběžné, nebo stejné. $D\ne0,$ $D=0$

Středové souřadnice jsou určeny soustavou rovnic: $\left(x_0,\;y_0\right)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Řešení tohoto systému s ohledem na a získání: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Pokud je křivka středová, pak přesunutí počátku do jejího středu přenese rovnici do tvaru

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ pruh x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,$

kde jsou souřadnice vzhledem k novému systému. $\bar x,\;\bar y$

Hlavní osy a vrcholy křivky druhého řádu

Hlavní osou křivky druhého řádu je její průměr, kolmý k tětivám s ní konjugovaným. Tento průměr je osou symetrie křivky. Každá středová křivka má buď dvě vzájemně kolmé osy, nebo všechny průměry jsou hlavní osy. V druhém případě je křivkou kruh. Nestředové křivky mají pouze jednu hlavní osu. Průsečíky hlavní osy s křivkou samotnou se nazývají její vrcholy . $\left(D\ne0\right)$ $\left(D=0\right)$

Směrové kosiny normál k hlavním osám vyhovují rovnicím

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},$

kde je nenulový kořen charakteristické rovnice. Směry hlavních os a jejich sdružené tětivy se nazývají hlavní směry křivky. Úhel mezi kladným směrem osy Ox a každým ze dvou hlavních směrů je dán vztahem $\lambda$

$\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Ze všech druhů křivek druhého řádu má pouze kružnice neurčité hlavní směry.

Rovnice

Obecná rovnice v maticovém tvaru

Obecnou rovnici křivky lze zapsat ve formě matice

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

nebo

x^{T}Ax=0

Kanonická forma

Zavedením nového souřadnicového systému lze rovnice křivek druhého řádu převést do standardního kanonického tvaru (viz tabulka výše). Parametry kanonických rovnic jsou velmi jednoduše vyjádřeny pomocí invariantů původní rovnice křivky a kořenů charakteristické rovnice (viz výše část "Charakteristický kvadratický tvar a charakteristická rovnice"). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Komentář. Při přechodu na kanonickou formu rovnice může být nutné rovnici vynásobit nenulovým číslem. Proto se číselné hodnoty invariantů kanonické rovnice mohou lišit od hodnot invariantů pro původní rovnici. Znaky a zůstávají nezměněny . $\Delta \cdot I\;$ $D$

U středové křivky v kanonické formě je její střed v počátku. $\left(x_0,\;y_0\right)$

Prostřednictvím výstřednosti

Kanonickou rovnici libovolné nedegenerované křivky druhého řádu lze vhodnou transformací počátku redukovat do tvaru

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).$

V tomto případě křivka prochází počátkem nového souřadnicového systému a osa Ox je osou symetrie křivky. Tato rovnice vyjadřuje skutečnost, že nedegenerovaná křivka 2. řádu je těžištěm bodů, jejichž poměr vzdáleností ( excentricita ) od daného bodu ( ohniska ) a od dané přímky ( směrnice ) je konstantní . Kromě toho pro , křivka je kružnice, pro , elipsa, pro , parabola a pro , hyperbola. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

Rovnice pro směrovou přímku křivky je vyjádřena rovnicí a souřadnicemi ohniska Směrnice je kolmá k ose symetrie procházející ohniskem a vrcholem křivky ( ohnisková osa ). Vzdálenost mezi ohniskem a přímkou je $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Pokud je křivka druhého řádu centrální (elipsa nebo hyperbola), pak přímka

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

je osa symetrie, a proto má křivka dvě ohniska a dvě směrové přímky.

Parametr se nazývá ohniskový parametr a je roven polovině délky tětivy procházející ohniskem a kolmé k ohniskové ose ( fokální tětiva ). $p$

Polární souřadnice

Pokud vezmeme ohnisko nedegenerované křivky druhého řádu jako pól polárního souřadnicového systému a její osu symetrie jako polární osu, pak v polárních souřadnicích bude rovnice křivky vypadat takto $\left(\rho,\phi\right)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

Křivka definovaná svými pěti body

Křivka druhého řádu je zcela určena svými pěti body, pokud žádné čtyři z nich neleží na stejné přímce. Rovnice křivky procházející body a $\left( x_1, y_1 \right),$ $\left( x_2, y_2 \right),$ $\left( x_3, y_3 \right),$ $\left( x_4, y_4 \right)$ $\left( x_5, y_5\right):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Křivka zadaná pěti body degeneruje právě tehdy, když tři z daných bodů leží na stejné přímce.

Tečny a normály

Rovnice tečny ke křivce druhého řádu v jejím bodě má tvar: $f(x,y)$ $\left(x_1, y_1\right)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\vpravo) = 0.$

Rovnice normály ke křivce druhého řádu v bodě má tvar $\left(x_1, y_1\right)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Póly a polárky

Rovnice

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\vpravo) = 0

kromě tečny definuje přímku, nazývanou polára bodu vzhledem ke křivce druhého řádu, bez ohledu na to, zda tento bod na křivce leží nebo ne. Bod se nazývá pól této přímky. Polárou bodu křivky je její tečna v tomto bodě. $\left(x_1, y_1\right)$ $\left(x_1, y_1\right)$

Věty o pólech a polárách:

Pokud přímka vedená pólem protíná poláru v bodě a křivku druhého řádu v bodech a pak body a harmonicky odděluje segment , to je podmínka $P,$ $Q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $Q$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Leží-li bod na určité přímce, pak jeho polára prochází pólem této přímky. Pokud přímka prochází nějakým bodem, pak její pól leží na polárně tohoto bodu.
Průměr křivky druhého řádu je polárou bodu v nekonečnu, kterým procházejí tětivy k ní sdružené, a střed křivky je pól přímky v nekonečnu.
Ohnisko křivky je střed tužky, který má tu vlastnost, že pól kterékoli z jejích čar patří k linii této tužky, která je k ní kolmá. Ředitel je polárem zaměření.

Z těchto prohlášení zejména vyplývá, že:

jestliže lze bodem nakreslit dvě tečny ke křivce, pak polára tohoto bodu prochází tečnými body;
tečny ke křivce na koncích průměru jsou rovnoběžné s tětivami s ní spojenými;
průsečík tečen ke křivce na koncích kterékoli z jejích tětiv procházejících ohniskem leží na přímce;
každá tětiva procházející ohniskem je kolmá na čáru vedenou jejím ohniskem a průsečíkem tečen na koncích tětivy.

Věty týkající se křivek druhého řádu

Pascalův teorém : průsečíky protilehlých stran šestiúhelníku vepsaného do křivky druhého řádu leží na stejné přímce .
Brianchonova věta : Úhlopříčky procházející opačnými vrcholy šestiúhelníku opsaného kolem křivky druhého řádu se protínají v jednom bodě .

Viz také

Odkazy

Obecná rovnice křivky druhého řádu archivována 30. ledna 2020 na Wayback Machine
Křivky druhého řádu
Křivky druhého řádu: hyperbola, parabola

Literatura

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Kapitola II (Křivky druhého řádu) // Geometrie. - M .: Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - M .: MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometrie. - M .: MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Křivky druhého řádu (kuželosečky) // Příručka matematiky. - 4. vydání. - M .: Nauka, 1978. - S. 64-69.

Poznámky

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius z Pergy Archivováno 12. listopadu 2015 na Wayback Machine . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor a Edmund F. Robertson . Menaechmus (anglicky) je biografie v archivu MacTutor .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Charakteristický kvadratický tvar a charakteristická rovnice // Handbook of mathematics. - 4. vydání. - M .: Nauka, 1978. - S. 64.