Kruh konvergence

Kružnice konvergence [1] mocninné řady je kružnicí tvaru $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

.. _

z\in\mathbb C

ve kterém řada konverguje absolutně , a mimo něj , v , diverguje . Jinými slovy, kružnice konvergence mocninné řady je vnitřkem množiny bodů konvergence této řady. Kruh konvergence se může zvrhnout v prázdnou množinu, když , a může se shodovat s celou rovinou proměnné , když . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Poloměr konvergence

Poloměr kružnice konvergence se nazývá poloměr konvergence [1] řady.

Poloměr konvergence Taylorovy řady analytické funkce se rovná vzdálenosti od středu řady k množině singulárních bodů funkce a lze jej vypočítat pomocí Cauchyho-Hadamardova vzorce :

{1\over R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Tento vzorec je odvozen z Cauchyho testu .

Ostrovského-Hadamardova věta

Pro mocenské řady

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

pro které jsou téměř všechny koeficienty rovny nule, v tom smyslu, že posloupnost nenulových koeficientů vyhovuje $a_{k(i)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

pro některé pevné je přirozenou hranicí kružnice se středem a poloměrem rovným poloměru konvergence - analytické pokračování funkce definované takovou řadou je mimo kružnici nemožné. $\delta>0$ $z_{0}$

Literatura

↑ 1 2 Fikhtengolts Grigorij Michajlovič. Průběh diferenciálního a integrálního počtu - 2 objem . - 8. - Moskva: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 s. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Viz také

Analytické pokračování