Trojzubec lemma

Lemma trojzubce , také nazývané trojlískové lemma a Mansionovo lemma , je teorém v geometrii trojúhelníku související s vlastnostmi incircle , excircle a circumcircle trojúhelníku .

Lema trojzubce se používá jako pomocné tvrzení při dokazování mnoha vět, zejména Eulerovy formule nebo dokazování existence Eulerovy kružnice .

Jméno „Mansionovo lemma“ bylo dáno na počest belgického matematika Paula Mansiona . Název „lemma trojzubce“ byl dán kvůli podobnosti se stejnojmennou zbraní konstrukce klíče pro lemma (červená na obrázcích níže).

Formulace

Nechť bod trojúhelníku je středem incircle , bod je středem kružnice naproti vrcholu a bod je průsečík úsečky s obloukem opsané kružnice (viz vpravo). Potom je bod ve stejné vzdálenosti od , , a . $ABC$ $já$ $IA}$ $A$ $L$ ${\displaystyle II_{a))$ $L$ $já$ $IA}$ $B$ $C$

Jednotlivé verze tohoto prohlášení mají různá jména.

Mansionova věta [1] : ve stejné vzdálenosti od a . $L$ $já$ $IA}$
Jetelové lemma [2] , nebo lemma trojzubce [3] , nebo Mansionovo lemma [4] : ve stejné vzdálenosti od , a . $L$ $já$ $B$ $C$
Lemma trojzubce [5] : ekvidistantní od , , a . $L$ $já$ $IA}$ $B$ $C$

Další možností pro určení bodu je jako střed oblouku kružnice opsané, která neobsahuje bod [4] . $L$ $před naším letopočtem$ $A$

Důkaz

Myslíme tím úhly, resp. Pokud paprsek protíná opsanou kružnici v bodě , pak je to střed oblouku , úsečka je osou úhlu . Když nakreslíme úsečku , všimneme si toho $\úhel A,\úhel B$ $\angle BAC,\angle ABC$ $AI$ $L$ $L$ $před naším letopočtem$ $AL$ $\angle A$ $BI$

\angle BIL=\úhel A/2+\úhel B/2,

protože i mimo trojúhelník $\angle BIL$ $\triangle AIB$

\angle LBI=\úhel LBC+\úhel CBI=\úhel A/2+\úhel B/2,

protože a jsou si rovni, protože se spoléhají na stejný oblouk .

\angle LBC

\angle LAC=\úhel A/2

LC

To znamená, že trojúhelník je rovnoramenný, tedy rovnost vyplývá ze skutečnosti, že na obou těchto tětivách spočívá stejný úhel . $\triangle BLI$ $BL=LI.$ $CL=BL$ $\angle A/2.$ $BL=LI=LC.$

To jsme ukázali . Nyní dokažme, že „rukojeť“ trojzubce se rovná stejné hodnotě. $BL=LI=LC$ $LI_{a}$

Protáhneme stranu za bod a vezmeme bod někde na tomto prodloužení . Tím myslíme , myslíme úhel $AB$ $B$ $E$ $\angle A$ $\angle BAC,$ $\angle B$ $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Pak musíme pochopit, že trojúhelník je rovnoramenný, tedy že . $\triangle BLI_{a}$ $\angle LBI_{a}=\úhel LI_{a}B$

Jedna strana,

\angle LBI_{a}=\úhel B/2-\úhel A/2

\angle EBI_{a}=\úhel A/2+\úhel BI_{a}A

protože vnější v trojúhelníku: tj.

\angle EBI_{a}

\triangle BI_{a}A,

\angle B/2-\angle A/2=\úhel BI_{a}A

Variace a zobecnění

Lema trojzubce pro dva středy exkruhů ("vnější" lemma trojzubce)

Spojení s Eulerovým kruhem

Prostřednictvím lemmatu trojzubce lze dokázat existenci Eulerova kruhu .

Uvažujme ostroúhlý trojúhelník ABC. Všimněte si, že čtyřúhelníky , , jsou vepsané (obr. 1). Proto jsou úhly stejné (obr. 2). ${\displaystyle AH_{c}HH_{b))$ ${\displaystyle BH_{c}HH_{a))$ $H_{b}HH_{a}C$ ${\displaystyle \measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a))$

Z toho vyplývá, že je sečna trojúhelníku . Ze zcela podobných důvodů a také osy v tomto trojúhelníku (obr. 3). Můžete si také všimnout, že jde o vnější osy trojúhelníku (protože každá z nich je kolmá na jeho vnitřní osičku). Proto můžeme lemma trojzubce aplikovat třikrát, pro každou ze stran (obrázek 4). $H_{b}H$ ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a))$ $H_{a}H$ $H_{c}H$ $AB,$ $BC,$ $CA$ ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a))$

Z toho dostaneme, že středy segmentů leží na kružnici opsané kolem ortotrojúhelníku . Nyní třikrát aplikujeme lemma vnějšího trojzubce (obrázek 5). $HA,HB,HC$

Dostaneme, že středy stran leží na kružnici opsané kolem pravoúhlého trojúhelníku. $AB,BC,CA$

Poznámka

Abychom dokázali existenci Eulerovy kružnice pro tupý trojúhelník s tupým úhlem , stačí uvažovat ostroúhlý trojúhelník s orthocentrem , a aplikovat na něj stejnou úvahu. $ABC$ $A$ $BCH$ $A$

Viz také

Poznámky

↑ Problém 52395 Archivní kopie ze 4. března 2016 na Wayback Machine // "Systém problémů v geometrii R. K. Gordina"
↑ R. K. Gordin. Věty a problémy školní geometrie. Základní a profilové úrovně. - 3. vyd. - MTSNMO, 2018. - S. 43. - ISBN 978-5-4439-2681-0 .
↑ Akopyan A. V. Geometrie v obrazech .
↑ 1 2 Emelyanov L. A. Schiffler point: na památku I. F. Sharygina . - Matematika ve škole, 2006. - č. 6 . - S. 58-60 . — ISSN 0130-9358 .
↑ R. N. Karasev. Úkoly pro školní matematický kroužek / R. N. Karasev, V. L. Dolnikov, I. I. Bogdanov, A. V. Akopyan. - str. 4.