Logická pravděpodobnost

Logická pravděpodobnost - logický vztah mezi dvěma větami, míra potvrzení hypotézy H důkazem E.

Pojem logické pravděpodobnosti je jedním z výkladů pojmu pravděpodobnost spolu s frekvenční pravděpodobností a subjektivní pravděpodobností [1] . Formálně je logická pravděpodobnost funkcí vět libovolného jazyka. Analytickým větám (tautologiím) je přiřazena jediná hodnota této funkce; rozpory - nula; syntetické věty - libovolné reálné číslo z intervalu (0, 1) [2] [3] [4] [5] [6] [7] . Konkrétní hodnoty logické pravděpodobnosti pro každý jeho syntetický argument H závisí na další větě E , kterou lze interpretovat jako popis znalostí nějakého předmětu [7] [8] [9] [10] [11] . Z tohoto důvodu se logická pravděpodobnost nazývá epistemologická (závislá na znalostech) pravděpodobnost. V jistém smyslu ji lze interpretovat i jako jakousi subjektivní pravděpodobnost. Hodnoty logické pravděpodobnosti jsou však jednoznačně určeny daným systémem znalostí a v tomto smyslu mají objektivní charakter [2] . V odborné literatuře je zvykem rozlišovat logické a subjektivní pravděpodobnosti [1] .

Vzhledem k tomu, že věty jazyka popisují některé události nebo stavy, lze logickou pravděpodobnost považovat také za funkci těchto událostí nebo stavů [12] [13] [14] .

Historie

Pojem logické pravděpodobnosti vznikl a rozvinul se v dílech Keynese , Johnsona a Jeffreyho [2] [3] [4] [5] [6] . Nejsystematičtější studii tohoto konceptu provedl Carnap [7] [8] [9] [10] [11] . Jeho formulace logické pravděpodobnosti začala konstrukcí formálního jazyka. V roce 1950 uvažoval o třídě velmi jednoduchých jazyků, skládajících se z konečného počtu logicky nezávislých jednomístných predikátů , nazývaných vlastnosti, a spočítaného počtu konstant. Pro získání složitějších vět byly použity logické spojky . Dále Carnap sestavil popisy všech možných stavů vesmíru .

Zvažte následující příklad převzatý z [1] . Nechť formální jazyk obsahuje tři jednotlivé konstanty a , b , c a predikát F . Pro definitivnost předpokládejme, že konstanty označují konkrétní osoby: Alice, Bob a Caesar a vlastnost odpovídá predikátu: " být mladý ". Pro tento případ existuje osm možných popisů stavu, které jsou uvedeny v tabulce. jeden.

stůl 1

N	Popisy stavů	Pravděpodobnosti 1	Pravděpodobnosti 2
jeden	$F(a)\land F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{4))$
2	$F(a)\land F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
3	$F(a)\land \neg F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
čtyři	$F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
5	$\neg F(a)\land F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
6	$\neg F(a)\land F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
7	$\neg F(a)\land \neg F(b)\land F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{12}}$
osm	$\neg F(a)\land \neg F(b)\land \neg F(c)$	${\frac {1}{8))$	${\frac {1}{4))$

Symbol „ “ označuje logické spojovací „AND“ a symbol „ “ označuje logické spojení „NOT“. První větu lze číst takto: "Alice, Bob a Caesar jsou všichni mladí", druhá - "Alice a Bob jsou mladí, ale Caesar není", třetí "Alice a Caesar jsou mladí, ale Bob není" atd. $\přistát$ $\neg$

Absolutní logickou pravděpodobnost věty A označil Carnap symbolem m ( A ). Jeho hodnota je definována jako součet pravděpodobností stavů, ve kterých platí věta A. Předpokládejme, že subjekt nemá skutečné znalosti a a priori věří, že všechny stavy vesmíru jsou stejně pravděpodobné. Potom se hodnoty absolutních logických pravděpodobností každého stavu rovnají 1/8 (viz tabulka 1). Pravděpodobnost atomových vět je tedy 1/2, pravděpodobnost konjunkce dvou atomárních vět je 1/4 a pravděpodobnost disjunkce dvou atomárních vět je 3/4.

Carnap definuje potvrzovací funkci c ( H , E ) věty H větou E takto:

$c(H,E)={\frac {m(H\land E)}{m(E)))$ .

Z hlediska konvenční teorie pravděpodobnosti je konfirmační funkce podmíněná pravděpodobnost . Když jsou popisy stavů vesmíru stejně pravděpodobné, jako v tomto případě, nemůžeme získané zkušenosti využít k předpovídání budoucích událostí. Například funkce potvrzení hypotézy „Caesar je mladý“ při absenci jakýchkoli důkazů, za přítomnosti důkazů „Alice je mladá“ a za přítomnosti důkazů „Alice je mladá a Bob je mladý“ má stejnou hodnotu. rovná 1/2.

Carnap se zajímal o otázku induktivní inference. Věřil, že induktivní logika je pravděpodobnostní logika a nový důkaz ve prospěch hypotézy by měl zvýšit míru jejího potvrzení [11] . Ve snaze uvést svůj model do souladu s očekávanými výsledky se obrátil ke strukturálním popisům , které lze získat, pokud jsou všechny konstanty v jazyce považovány za nerozlišitelné (zaměnitelné) [7] . V našem příkladu máme čtyři strukturální popisy.

jeden). "tři mladí muži"

2). "dva mladí muži a jeden starý",

3). jeden mladý a dva staří

čtyři). "Tři staříci"

První strukturální popis odpovídá stavu 1 (viz tabulka 1); druhý - stavy 2, 3 a 5; třetí - uvádí 4, 6, 7; čtvrtý je stav 8. Každému strukturálnímu popisu je přiřazena stejná hodnota pravděpodobnosti (v našem příkladu rovna 1/4). Protože druhý strukturální popis odpovídá třem popisům stavů 2, 3 a 5, pak budou pravděpodobnosti těchto stavů třikrát menší než pravděpodobnostní hodnota strukturálního popisu (tj. 1/12). Stejné hodnoty pravděpodobnosti budou mít i stavy 4, 6 a 7. Nyní máme nové rozdělení pravděpodobnosti stavů, ve kterém se pravděpodobnosti liší (viz poslední sloupec tabulky 1).

V tomto případě Carnap používá speciální zápis pro logické funkce m* a c* . Jejich číselné hodnoty pro různé věty jazyka se obecně liší od hodnot funkcí ma c . Nyní přichází příležitost učit se zkušenostmi. Předpokládejme, že jdeme po ulici. Hodnota potvrzovací funkce c* hypotézy „seznámíme se s mladým mužem“ při absenci jakýchkoli důkazů je 1/2. Poté, co jsme viděli mladou dívku (Alice), vzroste na hodnotu 2/3. A po novém setkání s mladým mužem (Bobem) se zvýší na hodnotu 3/4. Naše pozorování může naznačovat, že někde poblíž se nachází univerzita a studenti spěchají na hodiny. Proto se setkáváme jen s mladými lidmi.

Je třeba poznamenat, že hodnoty logické pravděpodobnosti závisí na důkazech (tedy na návrhu), a nikoli na faktech skutečného světa. Hypotéza „Caesar bude mladý“ ve vztahu k důkazu „Alice byla mladá a Bob byl také mladý“ má pravděpodobnost 3/4, bez ohledu na to, zda jsme Alici a Boba viděli v reálném životě, nebo jsme si je jen představovali.

Vraťme se k dalšímu příkladu. Předpokládejme, že člověk jednou viděl černou vránu a očekává, že další vrána, kterou uvidí, bude černá. Pokud se to potvrdí, jeho očekávání, že se znovu setká s černou vránou, budou vyšší než dříve. To však neznamená, že se situace nemůže změnit (vždyť jsou bílé vrány). Evropané jsou zvyklí vídat bílé labutě a byli neuvěřitelně překvapeni (a fascinováni), když byla v Austrálii objevena černá labuť.

Předpokládejme, že potkáme mladou dívku Alici a poté staršího Boba (možná profesora na naší hypotetické univerzitě). Jaká je pravděpodobnost, že v budoucnu potkáme mladého Caesara? Formálně musíme pro tento případ najít hodnotu potvrzovací funkce c* . Bude se rovnat 1/2. Celkem očekávaný výsledek. Je zvláštní, že s novým rozdělením pravděpodobnosti stavů vesmíru na sobě atomové věty začínají záviset. To už však není logická, ale fyzická závislost. Změny v pravděpodobnostním rozložení stavů vedou k získávání nových informací (změny ve znalostech předmětu). V našem případě se jedná o myšlenku zaměnitelnosti jednotlivých konstant. Jiný příklad: věty „prší“ a „země je mokrá“ jsou logicky nezávislé. Fyzicky jsou však na sobě závislé, to lze empiricky ověřit.

Klasifikace logických pravděpodobností

Podle Carnapa [7] se logické pravděpodobnosti dělí do dvou tříd: deduktivní a induktivní. Funkce mac jsou deduktivní . Příkladem induktivních pravděpodobností jsou funkce m* a c* . Posledně jmenované jsou zvláště důležité, protože mohou být použity ke konstrukci logiky induktivní inference) [11] [12] [13] [14] [15] .

Pravidlo sekvence

Laplace dávno před Carnapem vyvinul vzorec pro výpočet prediktivní (indukční) pravděpodobnosti. Uvažujme posloupnost náhodných výsledků nějakého experimentu, z nichž každý má jednu ze dvou možných hodnot: buď 1, nebo 0 (jedna znamená úspěch a nula znamená neúspěch). Nechť E je věta " v n pokusech bylo k úspěchů " a H věta "příští soud bude úspěšný". Pak pravděpodobnost, že příští pokus bude úspěšný, je:

$P(H\mid E)={\frac {k+1}{n+2))$ ,

Toto je slavné Laplaceovo sekvenční pravidlo .

Vraťme se k našemu příkladu. Nechť úspěch experimentu spočívá v tom, že při pohybu po ulici potkáme mladého muže a neúspěch spočívá v tom, že potkáme staršího člověka. Zatím jsme nikoho nepotkali a . Proto . Po setkání s Alicí ( ), která je mladou dívkou ( ), se prediktivní pravděpodobnost zvyšuje . A po setkání s Bobem ( ), který má také nízký věk ( ), se to ještě zvyšuje . $n=0$ $k=0$ $P(H\mid E)={\frac {1}{2))$ $n=1$ $k=1$ $P(H\mid E)={\frac {2}{3))$ $n=2$ $k=2$ $P(H\mid E)={\frac {3}{4))$

Carnap zašel dále než Laplace. Zobecnil svůj vzorec na případ výsledků ( ) různých typů. Předpokládejme, že v důsledku pokusů jeden z nich skončil s výsledkem -tého typu. Pak pravděpodobnost, že další pokus skončí výsledkem -tého typu, je [7] [14] : $t$ $t>2$ $n$ $n_{i}$ $i$ $n+1$ $i$

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+1}{n+t))$

Následně Carnap získal ještě obecnější vzorec.

Johnson-Carnapovo kontinuum

Raný Carnap vyložil svou teorii spíše jako filozof než jako matematik [14] . Později se styl jeho práce změnil, začal používat axiomy a formální důkazy [11] . Moderní přístup k definici induktivní pravděpodobnosti je následující. Induktivní pravděpodobnost je zvažována ve formě , kde věty a jsou zahrnuty v nějaké algebře vět, a je pevná věta, nazvaný “důkaz pozadí” [15] . $P(A\mid B\land K)$ $A$ $B$ $K$

V našem příkladu jsou větami algebry atomické věty a jejich negace, stejně jako molekulární věty složené z těchto atomů pomocí logických spojek. Podkladovým důkazem je tvrzení, že všechny strukturální popisy mají stejné pravděpodobnosti. Předpokládejme, že algebra obsahuje věty , , a . Následujících pět axiomů zaručuje, že splňuje zákony pravděpodobnosti. $F(a)$ $F(b)$ $F(c)$ $A$ $B$ $C$ $D$ $P(A\mid B\land K)$

Axiom 1 . $P(A\mid B)\geq 0$

Axiom 2. . $P(A\mid A)=1$

Axiom 3 . $P(A\mid B)+P(\neg A\mid B)=1$

Axiom 4 . $P(A\land B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid A\land C)$

Axiom 5. Jestliže a , pak . $A\land K\equiv C\land K$ $B\land K\equiv D\land K$ $P(A\mid B)=P(C\mid D)$

Symbol " " zde znamená logickou ekvivalenci. K těmto pěti axiomům bychom měli přidat další čtyři Carnapovy axiomy [10] . $\ekviv$

Axiom 6. (Zásady) . $P(B)>0$

Axiom 7. (Symetrie) se při přeskupení jednotlivých konstant nemění. $P(B)$

Axiom 8. (Aktuální relevance ( angl. instantial relevance )) , kde důkazy obsahují všechny informace, které jsou obsaženy v , plus nová potvrzení hypotézy . $P(V\mid E_{2})>P(H\mid E_{1})$ $E_2$ $E_1$ $H$

Axiom 9. (postulát dostatečnosti) Induktivní pravděpodobnost je funkcí a . $n_{i}$ $n$

Na základě těchto axiomů dokázal Carnap následující větu [10] . Pokud existují různé výsledky testu, pak existují pozitivní reálné konstanty ,…, , takové, že $t>2$ $\alpha_{1}$ ${\displaystyle \alpha _{t))$

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}$

kde . ${\displaystyle {\alpha }=\sum _{i=1}^{t}\alpha _{i))$

Později se ukázalo, že dávno před Carnapem tento výsledek získal Johnson [3] [4] , ale kvůli jeho brzké smrti byl obecné vědecké komunitě neznámý [14] . Výsledný vzorec může být reprezentován jako:

$P(H\mid E)=({\frac {n}{n+\alpha )))[{\frac {n_{i}}{n}}]+({\frac {\alpha }{ n+\alpha )))[{\frac {\alpha _{i)){\alpha ))]$

Výrazy v hranatých závorkách mají zřejmý výklad. První je empirická frekvence a druhá je apriorní pravděpodobnost -tého typu výsledku získaná na základě analýzy prostoru možných stavů. Výrazy v závorkách jsou relativní váhy, které představují empirická pozorování a apriorní informace z hlediska logické pravděpodobnosti. U pevných , čím větší , tím větší roli hrají apriorní informace (a naopak). U malých , kdy vzorek pozorování není dostatečně reprezentativní, je logické dát přednost předchozí pravděpodobnosti; s velkým počtem pozorování naopak s empirickou četností. Při , hodnota induktivní pravděpodobnosti asymptoticky tíhne k hodnotě frekvenční jedničky (bez ohledu na konečnou hodnotu ). ${\frac {n_{i}}{n}}$ ${\frac {\alpha _{i}}{\alpha }}$ $i$ $n$ $\alpha$ $n$ $n\to\infty$ $\alpha$

Univerzální zobecnění

Nechť je předmětem pozorování havran a všichni se ukázali jako černí ( ). Na základě této zkušenosti lze vyslovit hypotézu, že havrani jsou obecně černí. Jaká je pravděpodobnost takového tvrzení? Johnson-Carnapova teorie dává na tuto otázku paradoxní odpověď – rovná se nule [1] [14] [15] . $n$ $n_{i}=n$

Sandy Zabell vyřešil tento paradox tím, že postulát dostatečnosti nahradil postulátem novým [13] . Označme počet výsledků různých typů pozorovaných v sérii experimentů. Nový postulát je formulován následovně: pro všechny je prediktivní pravděpodobnost funkcí a , s výjimkou případů, kdy a . V důsledku toho Zabell získal následující vzorce pro indukční pravděpodobnost [13] : $T$ $n$ $n\geq 1$ $P(H\mid E)$ $n_{i}$ $n$ $n_{i}=0$ $T=1$

$P(H\mid E)={\frac {n_{i}+\alpha _{i}}{n+\alpha }}$ pro , $T>1$

$P(H\mid E)=\varepsilon _{i}^{(n)}+(1-\varepsilon _{i}^{(n)}){\frac {n_{i}+\ alfa _{i}}{n+\alpha}}$ pro a . $T=1$ $n_{i}=n$

$P(H\mid E)=(1-\varepsilon _{j}^{(n)}){\frac {\alpha _{i}}{n+\alpha }}$ pro , a . $T=1$ $n_{i}=0$ $n_{j}=n$

kde , $\varepsilon _{i}^{(n)}={\frac {\varepsilon _{i}}{\varepsilon _{i}+(1-\varepsilon )\prod _{j=0}^ {n-1}({\frac {j+\alpha _{i}}{j+\alpha }})))}$

$0\leq \varepsilon _{i}<1$ ,

${\varepsilon }=\sum _{i=1}^{t}\varepsilon _{i}<1$ .

Zde jsou apriorní a aposteriorní pravděpodobnosti, že výsledek -tého typu v tomto experimentu bude vždy pozorován. $\varepsilon_i$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}^{(n)))$ $i$

Místo logické pravděpodobnosti v řadě pravděpodobností jiných typů

Pravděpodobnost je podle klasické definice poměr počtu vybraných výsledků nějakého experimentu k počtu všech jeho myslitelných výsledků. Předpokládá se, že všechny jsou stejně možné. Jak je známo [1] , kritika nedostatků této definice vedla ke vzniku pojmu frekvenční pravděpodobnost. Logické teorie nás přivádějí zpět k myšlence, že pravděpodobnost lze určit a priori zkoumáním prostoru možností, i když nyní mohou být možnosti dány s nestejnými vahami.

Logická pravděpodobnost souvisí s dostupnými důkazy a nezávisí na neznámých faktech o světě, zatímco frekvenční pravděpodobnost je faktem o světě a nesouvisí s dostupnými důkazy [16] . Rozdíl mezi těmito pravděpodobnostmi je však docela nepatrný. Pokud je například známo, že při hodu kostkou je hodnota frekvenční pravděpodobnosti vypadnutí šestky q \u003d 0,18, pak je logická pravděpodobnost hypotézy „vypadne šestka“ vzhledem k důkazu „a kostka je vržena s daným q ” je 0,18.

Existuje názor [1] [14] [15] , že pokud lze znalost předmětu reprezentovat jako komplexní větu ( totální důkaz ), pak logická pravděpodobnost může sloužit jako rozumné odůvodnění subjektivní pravděpodobnosti. Nicméně v [16] se tvrdí, že subjektivní pravděpodobnost je směsí mystiky, pragmatismu a arogance, ve které je jen malá induktivní pravděpodobnost.

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 Hájek Alan. (2007). Interpretace pravděpodobnosti. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy, ed. Edward N. Zalta, https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/ Archivováno 17. února 2021 na Wayback Machine .
↑ 1 2 3 Keynes JM Pojednání o pravděpodobnosti. Macmillan, Londýn, 1921.
↑ 1 2 3 Jonnson W.E. Logic, Část III: Logické základy vědy. Cambridge University Press, 1924.
↑ 1 2 3 Johnson W.E. Pravděpodobnost: Deduktivní a induktivní problémy. Mind, 41: 409-423, 1932.
↑ 1 2 Jeffrey R. C. Teorie pravděpodobnosti. Clarendon Press, Oxford, 3. vydání, 1961.
↑ 1 2 Jeffrey R. C. Subjective Probability: The Real Thing. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
↑ 1 2 3 4 5 6 Carnap R. Logický základ pravděpodobnosti. University of Chicago Press, Chicago, 1950, druhé vydání, 1962.
↑ 1 2 Carnap R. Dva pojmy pravděpodobnosti. Phylosophy and Phenomenological Research, 5:513-532, 1945.
↑ 1 2 Carnap R. O indukční logice. Filosofie vědy, 12:72-97, 1945.
↑ 1 2 3 4 Carnap R. Kontinuum indukčních metod. University of Chicago Press, Chicago, 1952.
↑ 1 2 3 4 5 Carnap R., Jeffrey RC Studies in Inductive Logic and Probability, svazek I. University of California Press, Berkeley a Los Angeles, 1971.
↑ 1 2 Gastev Yu.A. Pravděpodobnostní logika / Velká sovětská encyklopedie, 1971, svazek 4, str. 543.
↑ 1 2 3 4 Zabell SL (1996) Potvrzení univerzálních zobecnění. Erkenntnis, 45: 267-283.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Zabell S. L. (2004). Carnap a logika induktivní inference. V Dov M. Gabbay, John Woods & Akihiro Kanamori (eds.), Příručka historie logiky. Elsevier 265-309.
↑ 1 2 3 4 Maher Patrick, (2010). Vysvětlení induktivní pravděpodobnosti. Journal of Philosophical Logic 39(6): 593-616.
↑ 1 2 Maher Patrick, (2006) The Concept of Inductive Probability. Erkenntnis, 65: 185-206.