Matematická struktura

Matematická struktura  je název, který spojuje pojmy, jejichž společným znakem je jejich použitelnost na množiny , jejichž povaha není definována. Pro určení samotné struktury jsou určeny vztahy , ve kterých se prvky těchto množin nacházejí. Pak se předpokládá, že tyto vztahy splňují určité podmínky, které jsou axiomy uvažované struktury [1] .

Konstrukce axiomatické teorie nějaké struktury je odvozením logických důsledků z axiomů struktury, bez jakýchkoli dalších předpokladů o uvažovaných prvcích, a zejména z jakýchkoli hypotéz o jejich "povaze".

Koncept struktury byl původně neformální. V dílech Bourbakiho byla zkonstruována formální teorie struktur, která měla být základem matematiky, ale tato teorie nebyla v takové roli fixována.

Základní typy konstrukcí

Vztahy, které jsou výchozím bodem při definici struktury, mohou být velmi různorodé.

Nejdůležitějším typem struktur jsou algebraické struktury . Například vztah nazývaný „zákon složení“, tedy vztah mezi třemi prvky, který jednoznačně určuje třetí prvek jako funkci prvních dvou. Když vztahy v definici struktury jsou "zákony složení", odpovídající matematická struktura se nazývá algebraická struktura. Například struktury smyčky , skupiny , pole jsou definovány dvěma zákony složení s vhodně zvolenými axiomy. Takže sčítání a násobení na množině reálných čísel určuje pole na množině těchto čísel.

Druhým důležitým typem jsou struktury definované relací řádů , tedy řádové struktury . Jedná se o vztah mezi dvěma prvky , který nejčastěji vyjadřujeme slovy " menší nebo roven " a který se obecně označuje jako . V tomto případě se nepředpokládá, že tento vztah jednoznačně identifikuje jeden z prvků jako funkci druhého.

Třetím typem struktur jsou topologické struktury , ve kterých jsou intuitivní koncepty okolí , limity a spojitosti realizovány prostřednictvím abstraktní matematické formulace pomocí obecné topologie .

Hierarchie struktur v matematice

Skupina matematiků, sdružená pod jménem Nicolas Bourbaki , v článku „ The Architecture of Mathematics “ (1948) představila matematiku jako tříúrovňovou hierarchii struktur, jdoucích od jednoduchých ke komplexním, od obecných ke konkrétním.

Na první úrovni jsou představeny hlavní (generující) matematické struktury, mezi nimiž se jako nejdůležitější rozlišují generující ( fr.  les structure-mères ):

V každém z těchto typů struktur existuje dostatečná rozmanitost. Zároveň je třeba rozlišovat mezi nejobecnější strukturou uvažovaného typu s nejmenším počtem axiomů a strukturami, které z ní vyplývají v důsledku jejího obohacení o další axiomy, z nichž každý přináší nové důsledky.

Na druhou úroveň jsou umístěny složité matematické struktury ( fr.  násobky ) - struktury, které současně zahrnují jednu nebo více generujících struktur, nikoli však pouze vzájemně kombinované, ale organicky kombinované pomocí axiomů, které je spojují. Například topologická algebra studuje struktury definované kompozičními zákony a topologickou strukturu, které jsou spojeny podmínkou, že algebraické operace jsou spojité (v uvažované topologii) funkce prvků. Dalším příkladem je algebraická topologie , která považuje některé soubory bodů v prostoru definované topologickými vlastnostmi za prvky, na kterých se provádějí algebraické operace. Mnoho struktur používaných v aplikacích lze přiřadit druhé úrovni, například struktura události spojuje částečný řád se zvláštním druhem binární relace.

Na třetí úrovni - partikulární matematické struktury, ve kterých prvky uvažovaných množin, které byly v obecných strukturách zcela neurčité, dostávají jednoznačnější individualitu. Tímto způsobem se získávají takové teorie klasické matematiky, jako je matematická analýza funkcí reálné a komplexní proměnné, diferenciální geometrie , algebraická geometrie .

Historie

Pojem struktury byl původně používán neformálně v obecné algebře . Nejslavnější pokus o formalizaci tohoto konceptu učinil Bourbaki (tento článek se také opírá o Bourbakiho práci); dříve to byla např. teorie algebraických struktur Oystina Orea [2] . Bourbaki použil svou teorii struktur jako základ matematiky spolu s teorií množin . Ve skutečnosti je však teorie struktur málo využívána i v jejich vlastní další práci a celkově nebyla v matematice ustálena [3] . Ve 40. - 50. letech 20. století vedly nashromážděné představy o podobnosti široké třídy algebraických struktur a řádových struktur k vytvoření univerzální algebry a konceptu algebraického systému  - množiny obdařené množinou operací a vztahů (avšak ne všechny algebraické struktury ve smyslu Bourbakiho jsou efektivně vyjádřeny v jazyce univerzální algebra). Od 60. a 70. let byly myšlenky matematických struktur častěji vyjadřovány jazykem teorie kategorií .

Poznámky

  1. ↑ Struktura // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
  2. ↑ Corry, 2004 , kapitola 6. Oystein Ore: Algebraic Structures.
  3. ↑ Corry, 2004 , kapitola 7. Nicolas Bourbaki: Teorie struktur .

Literatura