Hurwitzova matice

Hurwitzova matice nebo Routh-Hurwitzova matice ( v matematice ) nebo matice stability (v inženýrství ) je strukturovaná čtvercová matice sestavená z koeficientů reálného polynomu.

Hurwitzova matice a Hurwitzovo kritérium stability

Nechť je dán polynom s reálnými koeficienty

{\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n))

pak čtvercová matice $n\krát n$

H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\tečky &\tečky &\tečky &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n -2}&a_{n}&\vtečky \\\vtečky &\vtečky &\vtečky &&&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\tečky &\tečky &\tečky &a_{n-4} &a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.

se nazývá Hurwitzova matice odpovídající polynomu . Adolf Hurwitz v roce 1895 stanovil, že tento polynom c je stabilní (to znamená, že všechny jeho kořeny mají striktně zápornou reálnou část) právě tehdy, když jsou všechny hlavní hlavní minority matice kladné: $p(z)$ $a_{0}>0$ $H(p)$

{\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0,\\[2mm] \Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_ {1}-a_{0}a_{3}>0,\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\ \a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_ {1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}

a tak dále. Nezletilí se nazývají Hurwitzovy determinanty . Podobně, jestliže pak je polynom stabilní právě tehdy, když hlavní minoritní mají střídající se znaménka, počínaje záporem. $\Delta _{k}(p)$ $a_{0}<0$

Hurwitzovy matice stability

V inženýrství a teorii stability se čtvercová matice nazývá Hurwitzova matice , pokud má každé vlastní číslo striktně zápornou reálnou část , tj. $A$ $A$

\mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,

pro každou vlastní hodnotu . také nazýván matice stability , protože pak diferenciální rovnice $\lambda _{i}$ $A$

{\dot {x}}=Axe

asymptoticky stabilní , to znamená, když $x(t)\to 0$ $t\to \infty .$

Jestliže je (maticová) přenosová funkce , pak se nazývá Hurwitzova přenosová funkce , pokud póly všech prvků mají zápornou reálnou část. Všimněte si, že pro konkrétní argument to nemusí být Hurwitzova matice – dokonce ani nemusí být čtvercová. Spojení spočívá v tom, že pokud je Hurwitzova matice, pak dynamický systém $G(s)$ $G$ $G$ $G(s)$ $s$ $A$

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)\,

má funkci přenosu Hurwitz.

Jakýkoli hyperbolický pevný bod (nebo rovnovážný bod ) spojitého dynamického systému je lokálně asymptoticky stabilní právě tehdy, když je jakobián dynamického systému Hurwitz stabilní v pevném bodě.

Hurwitzova matice stability hraje důležitou roli v teorii řízení . Systém je stabilní , pokud je jeho řídicí maticí matice Hurwitz. Negativní reálné části vlastních čísel matice představují negativní zpětnou vazbu . Podobně je systém ze své podstaty nestabilní , pokud alespoň jedno z vlastních hodnot má pozitivní reálnou část, což je pozitivní zpětná vazba .

Viz také

Zdroje

Asner, Bernard A., Jr. O úplné nezápornosti Hurwitzovy matice // SIAM Journal on Applied Mathematics : deník. - 1970. - Sv. 18 , č. 2 . - str. 407-414 . - doi : 10.1137/0118035 .
Dimitrov, Dimitar K. Téměř striktní totální pozitivita a třída Hurwitzových polynomů // Journal of Approximation Theory : deník. - 2005. - Sv. 132 , č.p. 2 . - str. 212-223 . - doi : 10.1016/j.jat.2004.10.010 .
Gantmacher, F. R. Aplikace teorie matic. — 1959.
Hurwitz, A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt (německy) // Mathematische Annalen : časopis. - 1895. - Bd. 46 , č. 2 . - S. 273-284 . - doi : 10.1007/BF01446812 .
Khalil, Hassan K. Nelineární systémy. — 2002.
Lehnigk, Siegfried H. O Hurwitzově matrici // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik : deník. - 1970. - Sv. 21 , č. 3 . - S. 498-500 . - doi : 10.1007/BF01627957 . - .

Externí odkazy

Hurwitzova matice . PlanetMath .