Adamsova metoda

Adamsova metoda je vícekroková metoda konečných rozdílů pro numerickou integraci obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu . Na rozdíl od metody Runge-Kutta k výpočtu další hodnoty požadovaného řešení nepoužívá jednu, ale několik hodnot, které již byly vypočteny v předchozích bodech.

Pojmenována po anglickém astronomovi Johnu C. Adamsovi , který ji navrhl v roce 1855 .

Definice

Nechť je dána soustava diferenciálních rovnic prvního řádu

{\displaystyle y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0))

pro kterou je nutné najít řešení na mřížce s konstantním krokem . Výpočtové vzorce Adamsovy metody pro řešení tohoto systému jsou následující: [1] $x_{n}-x_{0}=(n-1)h$

a) extrapolace - Adamsova- Bashforthova metoda

y_{n+1}=y_{n}+h\součet _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda } )}

b) interpolační nebo implicitní - metoda Adams-Multon

y_{n+1}=y_{n}+h\součet _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n- \lambda})}

kde jsou nějaké vypočítané konstanty. $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$

Pro stejný vzorec je b) přesnější [2] , ale vyžaduje řešení nelineární soustavy rovnic k nalezení hodnoty . V praxi se nalezne aproximace z bodu a) a poté se zadá jedno nebo více upřesnění podle vzorce $k$ $y_{n+1}$

y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\součet _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\ lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})

Vlastnosti

Adamsovy metody třetího řádu vyžadují předvýpočet řešení v počátečních bodech. Pro výpočet počátečních hodnot se obvykle používají jednokrokové metody, např. 4-stupňová metoda Runge-Kutta 4. řádu přesnosti. $k$ $k$

Lokální chyba Adamsových metod th řádu je . Chybová struktura Adamsovy metody je taková, že chyba zůstává omezená nebo roste velmi pomalu v případě asymptoticky stabilních řešení rovnice. To umožňuje použít tuto metodu k nalezení stabilních periodických řešení, zejména k výpočtu pohybu nebeských těles. $k$ $O(h^{k})$

Metody Adams-Bashforth

Explicitní Adams-Bashforthovy metody [3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})

, ( Eulerova metoda )

{\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1} )-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\vpravo),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({ \frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1 })+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\vpravo),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left( {\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+ 2 })+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{ n })\vpravo),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n + 4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2} , y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{ n },y_{n})\vpravo).\end{aligned}}

Metody Adams-Multon

Implicitní Adams-Multonovy metody [3]

y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})

, (implicitní Eulerova metoda)

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+ f(t_{n},y_{n})\vpravo),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_ {n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12} }f(t_{n},y_{n})\vpravo),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f( t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24 }}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n +4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{ 720}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\vpravo). \end{aligned}}

Poznámky

↑ Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 43 .
↑ Interpolace je přesnější než extrapolace.
↑ 12 Hairer , Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Řešení obyčejných diferenciálních rovnic I: Nonstiff problems (2nd ed.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Bibliografie

Berezin I. S., Zhidkov N. P. Computational methods, svazek 2, M., 1959.
Bakhvalov N. S. , Numerické metody, 2. vyd. M. 1975.

Metoda konečných rozdílů
Obecné články	Metoda konečných rozdílů rozdílové schéma diferenční rovnice
Typy rozdílových schémat	Eulerova metoda Metoda Runge-Kutta Adamsova metoda Integrace Werlet Metoda konečného rozdílu v časové doméně