Metoda neurčitých koeficientů

Metoda neurčitých koeficientů je metoda používaná v matematice k nalezení požadované funkce jako přesné nebo přibližné lineární kombinace konečné nebo nekonečné množiny základních funkcí. Zadaná lineární kombinace se bere s neznámými koeficienty, které jsou tak či onak určeny z podmínek uvažovaného problému. Obvykle se pro ně získá systém algebraických rovnic .

Aplikace

Níže jsou uvedeny problémy, které jsou řešeny metodou neurčitých koeficientů. Soustavu rovnic v nich získáme zrovnoprávněním koeficientů se stejnými mocninami ve stejných polynomech.

Rozklad zlomku na nejjednodušší

Klasickým příkladem aplikace metody neurčitých koeficientů je rozklad vlastního racionálního zlomku v komplexní nebo reálné oblasti na jednoduché zlomky .

Dovolit a být polynomy s komplexními koeficienty a stupeň polynomu je menší než stupeň polynomu . Budeme předpokládat, že stupeň polynomu je , koeficient vedoucího členu polynomu je 1 a , jsou různé kořeny polynomu s násobnostmi , resp. Proto máme $P$ $Q$ $P$ $Q$ $Q$ $n$ $Q$ $z_{k}$ $k\leq n$ $Q$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

Funkce je reprezentovatelná a navíc jedinečným způsobem jako součet jednoduchých zlomků $P/Q$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\součet _{i=1}^{k}\součet _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

kde jsou dosud neznámá komplexní čísla (jejich počet je roven ). Pro jejich nalezení jsou obě části rovnosti zredukovány na společného jmenovatele. Po jejím odmítnutí a redukci na pravou stranu podobných členů se získá rovnost, která se redukuje na soustavu lineárních rovnic vzhledem k . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Poznámka . Nalezení koeficientů se zjednoduší, pokud má pouze nenásobné kořeny , , tzn. všechno a $Q$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

Po vynásobení poslední rovností a dosazení získáme přímo hodnotu odpovídajícího koeficientu ${\displaystyle z-z_{k))$ ${\displaystyle z=z_{k))$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integrace

Při výpočtu neurčitého integrálu racionální funkce se používá metoda neurčitých koeficientů při rozkladu zlomku na součet nejjednodušších, jak je popsáno výše, stejně jako v Ostrogradského metodě , která se používá, pokud kořeny jmenovatele zlomku mají velkou multiplicitu. Používá se také při integraci iracionalit formuláře

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))},$

kde je polynom stupně n. Pak $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

Po derivování této rovnosti, řešení soustavy rovnic, určete neurčité koeficienty polynomu stupně n-1, stejně jako [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

Inverze řady

Pokud je funkce , která se nerovná nule at, rozšířena v Maclaurinově řadě : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

pak existuje Maclaurinova řada opačné funkce:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Koeficienty této řady lze nalézt vynásobením těchto dvou rovností a aplikací metody neurčitých koeficientů. Získá se nekonečná trojúhelníková soustava lineárních rovnic, ze které budou postupně zjišťovány požadované koeficienty.

Podobným, ale těžkopádnějším způsobem můžete najít koeficienty řady inverzních funkcí :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

V tomto případě se použije poměr , to znamená, že celá řada for je nahrazena řadou pro . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $X$ $g(x)$

Součet mocnin

Jako konkrétní příklad můžeme uvést problém nalezení vzorce k-tých stupňů: . Odpověď budeme hledat ve tvaru polynomu tého stupně . Koeficienty tohoto polynomu lze zjistit pomocí metody neurčitých koeficientů. $\sum _{i=0}^{n}i^{k}$ $k+1$ $n$

Příklad . Hledá se ve formuláři . $\sum _{i=0}^{n}i^{3}$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Podle definice , stejně jako . Dosazením polynomu v redukovaném tvaru a přirovnáním koeficientů na stejné mocniny získáme systém pro jejich určení: ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3))$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\end{cases}},

kde dostaneme odpověď: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

Hledání konkrétního řešení nehomogenní diferenciální rovnice

V jistém smyslu je tato aplikace zobecněním předchozí - v tom případě se hledalo řešení diferenční rovnice, ale zde se hledá řešení rovnice . ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3))$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

Obvykle se metoda neurčitých koeficientů používá v případech, kdy pravá strana je algebraický nebo trigonometrický polynom.

Poznámky

↑ Kudryavtsev L. D. Matematická analýza. - M . : Vyšší škola , 1970. - T. 1. - S. 369-370. — 50 000 výtisků.

Odkazy

Zajímavé příklady: zlomkový rozklad