Bernoulliho polynomy

Bernoulliho polynomy - posloupnost polynomů , která vzniká při studiu mnoha speciálních funkcí , zejména Riemannovy ζ-funkce a Hurwitzovy ζ-funkce ; speciální případ sekvence Appel . Na rozdíl od ortogonálních polynomů jsou Bernoulliho polynomy pozoruhodné tím, že počet kořenů v intervalu se nezvyšuje se stupněm polynomu. S neomezeným nárůstem stupně se Bernoulliho polynomy blíží goniometrickým funkcím . $\ [0,1]$

Pojmenováno po Jacobu Bernoullim .

Definice

Bernoulliho polynomy lze definovat různými způsoby v závislosti na pohodlí. $\ B_{n}(x)$

Explicitní zadání:

{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k))

,

kde jsou binomické koeficienty , jsou Bernoulliho čísla nebo: $C_{n}^{k}$ ${\displaystyle \ B_{k))$

B_{n}(x)=\součet _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\součet _{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

Generující funkce pro Bernoulliho polynomy je:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

Bernoulliho polynomy lze reprezentovat diferenciálním operátorem:

B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}

, kde je operátor formální diferenciace .

D

Prvních několik Bernoulliho polynomů je:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac {1}{42}}.

Vlastnosti

Počáteční hodnoty Bernoulliho polynomů v se rovnají odpovídajícím Bernoulliho číslům : $\x=0$

{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n))

.

Derivace generující funkce:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

Levá strana se liší od generující funkce pouze faktorem , proto: $\t$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\sum _{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Porovnání koeficientů při stejných mocninách : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

kde:

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

(Funkce, které splňují tuto vlastnost, se nazývají Appel sekvence ).

Z poslední rovnosti vyplývá pravidlo integrace Bernoulliho polynomů:

\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt

.

Vlastnost rovnováhy je také užitečná:

\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0

(v )

n>0

Věta o násobení argumentů: jestliže je libovolné přirozené číslo , pak: $m$

\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1) ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m - 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

Sestrojené expanze implikují větu o násobení argumentů:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)) \že jo)

.

Symetrie:

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Odkazy

Milton Abramowitz a Irene A. Stegun, ed. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami , (1972) Dover, New York.