Pořadí odvolání

Appelova sekvence je posloupnost polynomů splňujících identitu: $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

kde je nenulová konstanta. $p_{0}(x)$

Pojmenováno po Paulu Emilu Appelovi . Mezi nejznámější Appelovy posloupnosti patří kromě triviálního příkladu Hermitovy polynomy , Bernoulliho polynomy a Eulerovy polynomy . Každá Appel sekvence je Schaefferova sekvence , ale obecně Schaefferovy sekvence nejsou Appelovy sekvence. Appelovy sekvence mají pravděpodobnostní výklad jako systémy momentů . $\{x^{n}\}$

Ekvivalentní definice

Následující podmínky pro posloupnosti polynomů jsou ekvivalentní definici Appelovy posloupnosti:

pro nějakou sekvenci skalárů s : ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty ))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
pro stejnou sekvenci skalárů: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , kde ; $D={\frac {d}{dx))$
pro : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Rekurzivní přiřazení

Pokud:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n}

kde poslední rovnost definuje lineární operátor na prostoru polynomů v , a: $S$ $X$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

je inverzní operátor, kde koeficienty jsou koeficienty inverzní formální mocninné řady , takže: $a_{k}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

(v terminologii stínového počtu se místo samotné Appelovy sekvence často používá formální mocninná řada ), pak máme: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

použití obvyklého rozšíření řad pro logaritmus a obvyklé definice složení formálních řad. Odkud to pochází: $\ln(x)$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Tato formální diferenciace řady s ohledem na diferenciální operátor je příkladem Pinkerleovy derivace ). $D$

V případě Hermitových polynomů se to redukuje na obvyklý rekurzivní vzorec pro tuto sekvenci.

Podgrupa Schaefferových polynomů

Množina všech Schaefferových sekvencí je uzavřena pod stínovým složením polynomiálních sekvencí, definovaných následovně. Nechť a být polynomiální posloupnosti definované takto: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\dvojtečka n=0,1,2,\ldots \))$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\dvojtečka n=0,1,2,\ldots \))$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ a }}q_{n}(x)=\ součet _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Pak je složení stínu posloupností polynomů, jejichž tý člen má tvar: $p\circ q$ $n$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\součet _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\součet _{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(dolní index se objevuje v , protože je to tý člen této sekvence, ale ne v , protože zde odkazuje na celou sekvenci, nikoli na jeden z jejích členů). $n$ $p_n$ $n$ $q$ $q$

Při takové operaci je množina všech Schaefferových sekvencí neabelovská skupina , ale množina všech Appelových sekvencí je abelovská podskupina . Jeho abelovská vlastnost vyplývá ze skutečnosti, že každá Appelova sekvence má tvar:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

a že stínový součin Appelových sekvencí odpovídá násobení těchto formálních mocninných řad operátorovou proměnnou . $D$

Literatura

Appell, Paul (1880). „Sur une classe de polynomes“ . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Řada 2e. 9 :119-144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). „Umbral Calculus“. Pokroky v matematice . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Počet konečných operátorů. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Přetištěno v knize se stejným názvem, Academic Press, New York, 1975.
Steve Roman. Umbrální počet. — Doverské publikace .
Theodore Seio Chihara. Úvod do ortogonálních polynomů. - Gordon a Breach, New York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Odkazy

Appell sekvence - Encyklopedie matematiky článek . Yu. A. Kazmin
Appell Sequence v MathWorld