Zernikeovy polynomy

Zernikeho polynomy jsou posloupností polynomů, které jsou ortogonální na jednotkové kružnici . Pojmenován po optikovi nositeli Nobelovy ceny a vynálezci mikroskopu s fázovým kontrastem Fritzovi Zernikemu . Hrají důležitou roli v optice [1] .

Definice

Existují sudé a liché Zernikeovy polynomy. Dokonce i polynomy jsou definovány jako

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )

a liché jako

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),

kde m a n jsou nezáporná celá čísla taková, že n ≥ m , φ je azimutální úhel a ρ je radiální vzdálenost . Zernikeovy polynomy jsou omezeny v rozsahu od -1 do +1, tzn. . $0\leq \rho \leq 1$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

Radiální polynomy jsou definovány jako ${\displaystyle R_{n}^{m))$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

pro sudé hodnoty n − m a jsou shodně rovny nule pro liché n − m .

Jiná zobrazení

Přepsáním zlomku s faktoriály v radiální části jako součin binomických koeficientů lze ukázat, že koeficienty u mocnin jsou celá čísla: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)) {\binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

K identifikaci recidiv, k demonstraci skutečnosti, že tyto polynomy jsou speciálním případem Jacobiho polynomů , k psaní diferenciálních rovnic atd. se používá zápis ve formě hypergeometrických funkcí :

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\right )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\right)\end{aligned}}

pro sudé hodnoty n − m .

Vlastnosti

Ortogonalita

Ortogonalita v radiální části je zapsána rovností

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

Ortogonalita v rohové části je reprezentována množinou rovností

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi ​​​​\delta _{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

kde parametr (někdy nazývaný Neumannův multiplikátor ) je nastaven na 2 if a 1 if . Součin úhlové a radiální části určuje ortogonalitu Zernikeových funkcí v obou proměnných při integraci přes jednotkovou kružnici: ${\displaystyle \varepsilon _{m))$ $m=0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi ​​​​}{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

kde je jakobián systému polárních souřadnic a obě čísla a jsou sudá. $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ $nm$ $n'-m'$

Příklady

Radiální polynomy

Níže je několik prvních radiálních polynomů.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3))

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4))

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2))

{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4))

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Viz také

Poznámky

↑ Zernike , F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (německy) // Physica I : prodejna. - 1934. - Bd. 8 . - S. 689-704 .

Ortogonální polynomy
Besselovy polynomy Gegenbauerovy polynomy Kravčukovy polynomy Laguerrovy polynomy Legendreovy polynomy Polachkovy polynomy Rogersovy polynomy Zernikeovy polynomy Čebyševovy polynomy Charlierovy polynomy Hermitovy polynomy Jacobiho polynomy