Modul kontinuity

Pro libovolnou funkci definovanou na množině můžeme zavést koncept modulu spojitosti této funkce, označovaný . Modul spojitosti je také funkcí, která se podle definice rovná $F$ $E$ $\omega _{f}(\delta)$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\ v E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},

nebo horní mez oscilace funkce přes všechny dílčí segmenty délky menší než . Také v literatuře existují další označení: a (méně často) . $E$ $\delta$ $\omega (f,\;\delta )$ $\omega (\delta ,\;f)$

Vlastnosti modulu spojitosti

Zavedená funkce má řadu zajímavých vlastností.

Ať tak či onak , není to negativní. $\delta$
Funkce se nesnižuje.
Funkce je semiaditivní , pokud je konvexní: $E$ $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2 }).$
Podle definice je v bodě 0 modul spojitosti 0: $\omega _{f}(0){\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}0.$
Věta o jednotné kontinuitě může být formulována následovně. Pokud je funkce definována na segmentu a je na něm spojitá, pak , a naopak. Tento limit je také označen . $F$ $[a,\;b]$ $\lim _{{\delta \to 0+}}{\omega _{f}(\delta )}=0$ $\omega _{f}(0+)$
Jestliže je spojitý na , pak jeho modul spojitosti je také spojitá funkce na intervalu . $f(x)$ $[a,\;b]$ $[0,\;ba]$

Související pojmy

Modul kontinuity se ukázal být jemným nástrojem pro studium různých vlastností funkce, jako jsou:

patřící k vrstvám Lipschitz a Hölder ;
hladkost ;
diferencovatelnost ;
možnosti efektivní aproximace funkce polynomy ( Jackson-Stechkinova nerovnost )
a mnoho dalších.

Variace a zobecnění

Moduly spojitosti vyšších řádů

Je snadné vidět, že definice modulu spojitosti používá konečný rozdíl prvního řádu funkce . $F$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h| <\delta \}.

Pokud místo konečného rozdílu prvního řádu vezmeme konečný rozdíl řádu , pak dostaneme definici modulu spojitosti řádu . Obvyklé označení pro takové moduly je . $n$ $n$ $\omega _{n}(f,\;\delta)$

Vlastnosti

Pokud je celé číslo, pak $k$ $\omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta).$

Neklasické moduly spojitosti

Existuje mnoho různých zobecnění konceptu modulu spojitosti. Například lze nahradit operátor konečných rozdílů jiným operátorem rozdílu s libovolnými koeficienty. Je možné povolit, aby tyto koeficienty byly nekonstantní a měnily se v závislosti na bodu, kde je tento rozdílový operátor vzat. Můžete také povolit, aby krok, kterým se operátor rozdílu provede, závisel také na bodu. Takovéto neklasické moduly kontinuity nacházejí uplatnění v různých oblastech moderní matematiky.

Odkazy

Modul kontinuity a zobecněné Hölderovy prostory