Modulární funkce

Modulární funkce je meromorfní funkce definovaná na horní komplexní polorovině (tedy na množině ), která je invariantní při transformacích modulární grupy nebo některé její podgrupy a splňuje podmínky holomorfie v parabolických bodech. Modulární funkce a modulární formy , které je zobecňují, jsou široce používány v teorii čísel , stejně jako v algebraické topologii a teorii strun . ${\mathbb {H}}=\{x+iy\mid y>0;x,y\in {\mathbb {R}}\}$

Formálně je modulární funkce meromorfní funkce, která splňuje podmínku:

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)

pro každou matrici:

\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)

patřící do modulární skupiny . $PSL(2,\mathbb{Z} )$

Modulární forma

Modulární váhová forma pro skupinu je holomorfní funkce , která splňuje podmínku: $k$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $f\dvojtečka H\šipka doprava C$

f(g\tau )=(c\tau +d)^{{k}}f(\tau)

pro jakékoli a

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)

\tau \v H

a holomorfní ve všech parabolických bodech [1] [2] .

Dovolit být horní komplexní polorovina: . Maticová skupina pro přirozené číslo je definována jako: $H$ $H=\left\{z\in C\mid {\mathop {{\mathrm {Im))))(z)>0\vpravo\}$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $N$

\Gamma _{{0}}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{{2}}\;{\Big \vert }\; c\equiv 0{\pmod N}\right\}

Skupina působí pomocí lineárně-zlomkových transformací kde a . [3] $\Gamma _{{0}}(N)$ $H$ $g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d)),$ $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)$ $\tau \v H$

Vlastnosti modulárních forem

Modulární formy liché hmotnosti se rovnají nule. Modulární forma závaží je (at ) série Eisenstein : $2k$ $k>1$

G_{{2k))(\tau )=\součet _{{(m,n)\in {\mathbb {Z))^{2}\zpětné lomítko (0,0))){\frac {1}{ (m+n\tau )^{{2k}}}}

kde . $z\in {\mathbb {H}}$

Nechat

g_{2}=60\součet _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-4}},\qquad g_{3}=140\součet _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-6}}

— modulární invarianty, — modulární diskriminant. Definováním základního modulárního invariantu ( j-invariant ) takto: $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$

j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }

rovnost je splněna:

g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau),\;g_{2}(-\tau ^{{-1}})=\tau ^{4}g_{2}( \tau)

\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{{-1}})=\tau ^{{12}}\Delta (\tau)

Také tyto funkce splňují odpovídající vlastnosti holomorfie. To je - modulární forma závaží 4, - modulární forma závaží 12. V souladu s tím - modulární forma závaží 12 a - modulární funkce. Tyto funkce mají důležité aplikace v teorii eliptických funkcí a eliptických křivek . $g_{2}$ $\Delta$ $g_{2}^{3}$ $j(z)$

Poznámky

↑ Sarnak, 1998 , s. 7.
↑ Prasolov, 1997 , s. 194.
↑ Prasolov, 1997 , s. 187.

Literatura

Sarnak P. Modulární formy a jejich aplikace. - M .: FAZIS, 1998. - ISBN 5-70364029-4 .
Tom M. Apoštol. Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii čísel. - New York: Springer-Verlag, 1990. - ISBN 0-387-97127-0 .
Robert A. Rankin. Modulární formy a funkce. - Cambridge: Cambridge University Press, 1977. - ISBN 0-521-21212-X .
V.V. Prasolov, Yu.P. Solovjov. Eliptické funkce a algebraické rovnice. - Factorial, 1997. - 288 s. — ISBN 5-88688-018-6 .

Odkazy

JS Milne, Modulární funkce a modulární formy , přednáškový kurz.