Holomorfní funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. června 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Holomorfní funkce nebo jednohodnotová komplexní analytická funkce (z řeckého ὅλος - "celek, celek" a μορφή - "forma"), někdy nazývaná regulární funkce - funkce komplexní proměnné , definovaná na otevřené podmnožině komplexní rovina a komplexní diferencovatelná v každém bodě. $\mathbb {C}$

Na rozdíl od skutečného případu tato podmínka znamená, že funkce je nekonečně diferencovatelná a může být reprezentována Taylorovou řadou , která k ní konverguje .

Holomorfní funkce jsou také někdy nazývány analytickými , ačkoli druhý koncept je mnohem širší, protože analytická funkce může být vícehodnotová a může být také zvažována pro reálná čísla .

Definice

Dovolit být otevřená podmnožina a být komplexní funkce na . O funkci se říká , že je holomorfní na množině , pokud je splněna jedna z následujících ekvivalentních podmínek: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\to {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

Funkce má komplexní derivaci v každém bodě množiny , tedy limitu $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
Funkce je v každém bodě komplexně diferencovatelná , to znamená, že existuje takové číslo , které je v okolí bodu $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
Funkce je reálně diferencovatelná a Cauchy-Riemannovy podmínky jsou splněny v každém bodě . Zde jsou reálné a imaginární části uvažované funkce. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\částečné u}{\částečné x))={\frac {\částečné v}{\částečné y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Funkce je reálně diferencovatelná a v každém bodě , kde . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \částečné y}}\vpravo),$
Taylorova řada funkce v každém bodě má nenulový poloměr konvergence a její součet se v nějakém okolí rovná . $z\in U$ $f(z)$ $z$
Funkce je spojitá a integrální pro jakoukoli uzavřenou křivku . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Skutečnost, že všechny tyto definice jsou ekvivalentní, je netriviální a poměrně pozoruhodný výsledek komplexní analýzy.

Funkce je řekl, aby byl holomorphic u bodu jestliže to je holomorphic v nějakém sousedství . $F$ $z_{0}\v U$ $z_{0}$

Funkce se nazývá holomorfní , pokud je komplexně diferencovatelná ve svém oboru. $F$

Související definice

Celá funkce je funkce, která je holomorfní na celé komplexní rovině.
Meromorfní funkce je funkce, která je holomorfní v oblasti a má pól ve všech svých singulárních bodech. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\in I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
O funkci se říká, že je holomorfní na kompaktní množině , pokud existuje otevřená množina obsahující takovou, která je holomorfní v . $F$ $K$ $D$ $K$ $F$ $D$

Vlastnosti

Komplexní funkce je holomorfní právě tehdy, když jsou splněny Cauchy-Riemannovy podmínky $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\částečné u}{\částečné x))={\frac {\částečné v}{\částečné y));\quad {\frac {\částečné u}{\částečné y))=-{\ frac {\částečné v}{\částečné x))$

a parciální derivace jsou spojité.

{\frac {\částečné u}{\částečné x)),\;{\frac {\částečné u}{\částečné y)),\;{\frac {\částečné v}{\částečné x)),\ ;{\frac {\částečné v}{\částečné y))

Součet a součin holomorfních funkcí je holomorfní funkce, což vyplývá z linearity derivace a naplnění Leibnizova pravidla. Kvocient holomorfních funkcí je také holomorfní ve všech bodech, kde jmenovatel nezaniká.
Derivace holomorfní funkce je opět holomorfní, takže holomorfní funkce jsou ve své definiční oblasti nekonečně diferencovatelné.
Holomorfní funkce mohou být reprezentovány jako konvergentní v nějakém okolí každého bodu Taylorovy řady .
Z jakékoli holomorfní funkce lze rozlišit její reálnou a imaginární část, z nichž každá bude řešením Laplaceovy rovnice v . To znamená, že pokud je holomorfní funkce, pak a jsou harmonické funkce. $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $proti$
Pokud absolutní hodnota holomorfní funkce dosáhne lokálního maxima ve vnitřním bodě jejího definičního oboru, pak je funkce konstantní (předpokládá se, že definiční obor je souvislý). Z toho plyne, že maxima (a minima, pokud se nerovná nule) absolutní hodnoty holomorfní funkce lze dosáhnout pouze na hranici definičního oboru.
V oblasti, kde první derivace holomorfní funkce nezmizí a funkce je univalentní , provádí konformní zobrazení .
Cauchyho integrální vzorec dává do souvislosti hodnotu funkce ve vnitřním bodě oblasti s jejími hodnotami na hranici této oblasti.
Z algebraického hlediska je množina holomorfních funkcí na otevřené množině komutativní kruh a komplexní lineární prostor . Je to lokálně konvexní topologický vektorový prostor se seminormou rovnou supremu na kompaktních podmnožinách.
Podle Weierstrassovy věty konverguje -li řada holomorfních funkcí v definičním oboru rovnoměrně na libovolné kompaktní množině k pak je i její součet holomorfní a její derivace je limitou derivací parciálních součtů řady [1] . $D$ $D,$
Pokud v doméně nezmizí, pak bude holomorfní v . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Některé vlastnosti holomorfních funkcí se blíží vlastnostem polynomů , což však není překvapivé - rozložitelnost holomorfních funkcí v Taylorových řadách naznačuje, že funkce jsou svým způsobem limitujícími variantami polynomů. Předpokládejme, že podle základní věty algebry může mít jakýkoli polynom nuly ne více než jeho stupeň. Pro holomofické funkce platí podobné tvrzení, které vyplývá z věty o jedinečnosti v alternativní podobě:

Jestliže množina nul funkce holomorfní v jednoduše spojené oblasti má limitní bod v této oblasti , pak je funkce shodně rovna nule.
Pro funkci několika reálných proměnných nestačí diferencovatelnost vzhledem ke každé z proměnných, aby byla funkce diferencovatelná. Pro funkci několika komplexních proměnných stačí být holomorfní v každé z proměnných, aby byla funkce holomorfní ( Hartogsova věta ).

Příklady

Všechny polynomy v z jsou holomorfní funkce na celé rovině . $\mathbb {C}$

Dále, holomorfní, i když ne na celé komplexní rovině, jsou racionální funkce , exponenciální funkce , logaritmus , goniometrické funkce , inverzní goniometrické funkce a mnoho dalších tříd funkcí, stejně jako součty, rozdíly, součiny, částečné holomorfní funkce.

Příklady neholomorfních funkcí zahrnují $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

protože v žádném bodě nemají komplexní derivaci. V tomto případě bude omezení na reálnou osu analytickou funkcí reálné proměnné (protože se zcela shoduje s omezením funkce ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Historie

Termín „holomorfní funkce“ zavedli dva studenti Cauchyho , Brio ( 1817-1882 ) a Bouquet ( 1819-1895 ), a pochází z řeckých slov őλoς ( holos ) , což znamená „celý“, a μorφń ( morfe ) . - podoba, obraz . [2]

Dnes mnoho matematiků preferuje termín „holomorfní funkce“ místo „analytické funkce“, protože druhý pojem se používá pro obecnější případ. Navíc jedním z důležitých výsledků komplexní analýzy je, že každá holomorfní funkce je analytická , což z definice není zřejmé. Termín "analytický" se obvykle používá pro obecnější případ, kdy funkce nemusí být nutně uvedeny v komplexní rovině.

Variace a zobecnění

Vícerozměrné pouzdro

Existuje také definice holomorfie funkcí několika komplexních proměnných

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

Pro definici se používají pojmy -diferencovatelnost a -linearita takových funkcí $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-linearita

Funkce se nazývá -lineární, pokud jsou splněny následující podmínky: $F$ $\mathbb {C}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

(pro -lineární funkce ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

Pro libovolnou -lineární funkci existují takové sekvence , že . $\mathbb {R}$ $F$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
Pro libovolnou -lineární funkci existuje sekvence taková, že . $\mathbb {C}$ $F$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-diferencovatelnost

Funkce se nazývá -diferencovatelná v bodě , pokud existují funkce a taková, že v okolí bodu $F$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $Ó$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

kde je -lineární (pro -diferencovatelnost - -lineární) funkce. $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfismus

O funkci se říká, že je holomorfní v doméně , pokud je -diferencovatelná v okolí každého bodu v této doméně. $F$ $D,$ $\mathbb {C}$

Kvazianalyticita

Poznámky

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergejev. Přednášky o komplexní analýze. První půlrok. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (ed.) Teorie funkcí komplexní proměnné. - M .: Americká matematická společnost , 2. vyd. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Archivováno 13. listopadu 2012 na Wayback Machine .

Literatura

Holomorfní funkce // Encyklopedický slovník Brockhausa a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: Příručka pro vysokoškolské vzdělávání. - M. - L .: Státní nakladatelství, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Blakey, Joseph. Vysokoškolská matematika (neopr.) . — 2. — London: Blackie and Sons, 1958.

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Analytická funkce , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Slovníky a encyklopedie

Skvělý norský
Velký sovět (1 ed.)

V bibliografických katalozích
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880