Nedesargueské letadlo

Nedesarguesovská rovina  je projektivní rovina , která nesplňuje Desarguesovu větu , jinými slovy není desarguesovská . Desarguesova věta platí ve všech projektivních prostorech dimenze jiné než 2 [1] , tedy pro všechny klasické projektivní geometrie nad polem (nebo dělicím prstencem ), ale Hilbert zjistil, že některé projektivní roviny větu nesplňují.

Příklady

Některé příklady jsou konečné geometrie . Pro konečnou projektivní rovinu je řád o jeden menší než počet bodů na přímce (toto je konstanta pro všechny přímky). Některé příklady nedesarguesovských letadel:

Klasifikace

Podle Weibela [3] podal H. Lenz v roce 1954 klasifikační schéma pro projektivní letadla [4] a dále jej rozvinul A. Barlotti v roce 1957 [5] . Toto klasifikační schéma je založeno na typech přechodnosti bodové linie povolené kolineační skupinou roviny a je známé jako Lenz-Barlottiho projektivní rovinná klasifikace . Seznam 53 typů je uveden v Dembowského knize [6] . Tabulka známých výsledků existence (pro kolineační grupy a roviny mající takové kolineační grupy) pro konečný i nekonečný případ je na straně 126 knihy. Podle Weibela „36 z nich existuje jako konečné skupiny . 7 až 12 existují jako konečné projektivní roviny a 14 nebo 15 existují jako nekonečné projektivní roviny."

Existují další klasifikační schémata. Jedno z nejjednodušších schémat je založeno na typu plochého ternárního prstence , který lze použít k zavedení souřadnic do projektivní roviny. Těmito typy jsou pole , šikmá pole , alternativní šikmá pole , semifields , nearfields , right nearfields ] , kvazifields [en a pravá kvazipole [ [7] .

Kuželosečky

V Desarguesově projektivní rovině lze kuželosečku definovat různými ekvivalentními způsoby. V nedesarguesovských rovinách se důkazy ekvivalence ukáží jako chybné a různé definice mohou poskytnout neekvivalentní objekty [8] . Ostrom T. G. navrhl pro tyto obrazce název concoid podobný kuželosečkám, ale neuvedl formální definici a tento termín zjevně nebyl široce používán [9] .

Existuje několik způsobů, jak definovat kuželosečky na Desarguesových rovinách:

  1. Množina absolutních bodů [10] polarity je známá jako von Staudtova kuželosečka . Pokud je rovina definována nad polem charakteristiky dva, dostaneme pouze degenerované kuželosečky .
  2. Množina průsečíků odpovídajících čar dvou tužek, které jsou projekčně, ale ne perspektivně spojené, je známá jako Steinerova kuželosečka . Pokud jsou nosníky perspektivně spřaženy, je průřez degenerovaný.
  3. Množina bodů, jejichž souřadnice splňují neredukovatelnou homogenní rovnici druhého stupně.

Navíc na konečné desarguesovské rovině:

  2. Množina q + 1 bodů, z nichž žádné tři nejsou kolineární v PG(2, q ), se nazývá ovál . Je-li q liché, je ovál kuželosečka ve smyslu bodu 3 výše.
  3. Ostromská kuželosečka je založena na zobecnění harmonických množin.

Artzi uvedl příklad Steinerových kuželoseček na rovině Moufang, které nejsou von Staudtovými řezy [11] . Garner uvedl příklad von Staudtovy kuželosečky, která není Ostromovou kuželosečkou na konečné rovině polopole [8] .

Poznámky

  1. ↑ Desarguesova věta je triviálně, ale nesmyslně pravdivá v dimenzi 1. Problém nastává až v dimenzi 2.
  2. ↑ viz Room and Kirkpatrick ( 1971 ) pro popis všech čtyř rovin řádu 9.
  3. ↑ Weibel, 2007 , str. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954 , str. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957 , str. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968 , s. 124-5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007 , str. 723, článek o konečné geometrii od Lea Storma.
  8. ↑ 12 Garner , 1979 , s. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981 , str. 175–196.
  10. ↑ V prostoru s polaritou (mapování bodů na čáry řádu dva se zachováním dopadu) je bod absolutní, pokud leží na svém obrazu, a přímka je absolutní, pokud prochází jeho obrazem (bodem).
  11. ↑ Artzy, 1971 , str. 30–35.

Literatura