Neutrální prvek

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 2. července 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Neutrální prvek binární operace je prvek, který ponechává jakýkoli jiný prvek beze změny, když je tato binární operace aplikována na tyto dva prvky.

Definice

Nechť je množina , na které je " " definována binární operace . Prvek se nazývá neutrální vzhledem k (násobení) if $(M,\cdot )$ $M$ $\cdot$ $e\in M$ $\cdot$

x\cdot e=e\cdot x=x,\quad \forall x\in M

V případech nekomutativních operací se zavádí levý neutrální prvek , pro který $e_{\mathrm {l} }$

e_{\mathrm {l} }\cdot x=x,\quad \forall x\in M

a pravý neutrální prvek , pro který $e_{\mathrm {r} }$

x\cdot e_{\mathrm {r} }=x,\quad \forall x\in M

Obecně může být libovolný počet prvků, které jsou neutrální vlevo nebo vpravo. Jestliže levo-neutrální prvek a pravý-neutrální prvek existují současně , pak se musí shodovat (protože ). $e_{{{\mathrm l}}}$ $e_{{{\mathrm r}}}$ $e_{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}\cdot e_{{{\mathrm r}}}=e_{{{\mathrm l}}}$

Příklady

Hodně	binární operace	neutrální prvek
Reálná čísla	$+$ ( přídavek )	číslo 0
Reálná čísla	$\cdot$ ( násobit )	číslo 1
Reálná čísla	$-$ ( odčítání )	číslo 0 (neutrál vpravo)
Reálná čísla	$a^{b}$ ( umocnění )	číslo 1 (neutrální vpravo)
Rozšířená číselná řada	$\div$ ( divize )	číslo 1 (neutrální vpravo)
vektorový prostor	$+$ ( sčítání vektoru )	${\vec 0}$ ( nulový vektor )
Rozměrové matice $m\krát n$	$+$ (sčítání matice)	nulová matice
Rozměrové matice $n\krát n$	$\krát$ (maticový produkt)	matice identity
Zobrazit funkce $f:M\to M$	$\circ$ ( funkční složení )	mapování identity
Řetězce znaků	zřetězení	prázdný řádek
Rozšířená číselná řada	$\min$ ( minimum ) nebo ( infimum ) $\inf$	$+\infty$
Rozšířená číselná řada	$\max$ ( max ) nebo ( suprem ) $\nahoru$	$-\infty$
Podmnožiny množiny $M$	$\víčko$ ( nastavit křižovatku )	$M$
Sady	$\pohár$ ( set Union )	$\varno nic$ ( prázdná sada )
výrokový kalkul	$\klín$ ( spojka )	$\horní$ (skutečný)
výrokový kalkul	$\lor$ ( rozdělení )	$\bot$ (Nepravdivé)

Terminologie

V algebře

V multiplikativním zápisu uvedeném v definici je obvyklé nazývat neutrální prvek jediným prvkem nebo jednoduše jednotkou analogicky se stejnojmenným číslem . Vidět článek “ jednotka (algebra) ” pro bilaterální neutrální prvky násobení v prstenech , polích a algebrách nad nimi.

Pokud mluvíme o neutrálním prvku operace, označovaném (a nazývaném) sčítání , pak se neutrální prvek nazývá nula , opět analogicky se stejnojmenným číslem . Sčítání se nazývá nejen operace v teorii kruhu a lineární algebře, ale obvykle grupová operace v abelovských grupách v aditivní notaci.

V teorii mříží

V teorii mřížek je neutrální prvek operace "∨" označen "0" a neutrální prvek operace "∧" je označen "1".

Viz také

Absorpční prvek
Reverzní prvek
Monoidní
Skupina

Odkazy

Kulikov L.Ya. Algebra a teorie čísel: Proc. manuál pro pedagogické ústavy. - M .: Vyšší. škola, 1979. - 559 s. strana 77 "Neutrální prvky"
http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:element:groupoid:identity (ruština)
http://mathforum.org/library/drmath/view/56032.html (ruština)
https://brilliant.org/wiki/identity-element/ _
Weisstein, Eric W. "Prvek identity." Z MathWorld – webový zdroj Wolfram