Jensenova nerovnost

Jensenova nerovnost je nerovnost zavedená Johannem Jensenem a úzce souvisí s definicí konvexní funkce .

Formulace

Koncový případ

Nechť je funkce konvexní na nějakém intervalu a nechť čísla jsou taková, že $f\left(x\right)$ ${\mathcal X}$ $\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$

\ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0

a .

\ q_{{1}}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1

Potom, ať jsou čísla z intervalu jakákoli , platí následující nerovnost: $\ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\mathcal X}$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2} f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})

nebo

f\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}q_ {i}f(x_{i})

Poznámky:

Pokud je funkce konkávní (konvexní směrem nahoru), pak je znaménko v nerovnosti obráceno. $\f(x)$
Johann Jensen sám vycházel z konkrétnějšího vztahu, totiž

f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2} }

, odpovídá případu .

q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}

Důkaz

Důkaz se provádí metodou matematické indukce .

Neboť nerovnost vyplývá z definice konvexní funkce . $\n=2$
Předpokládejme, že to platí pro nějaké přirozené číslo , dokážeme, že to platí pro , tzn $\n$ $\n+1$

f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}})\ leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{{n+1}}f( x_{{n+1}})

Za tímto účelem nahradíme součet posledních dvou členů vlevo jedním členem $\ q_{n}x_{n}+q_{{n+1}}x_{{n+1}}$

(q_{n}+q_{{n+1)))\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\ frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{{n+1}}\right)

;

to umožní použít nerovnost a stanovit, že výše uvedený výraz nepřesahuje součet $\n$

q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{{n+1)))f\left({\frac { q_{n}}{q_{n}+q_{{n+1}}}}x_{n}+{\frac {q_{{n+1}}}{q_{n}+q_{{n+ 1 }}}}x_{{n+1}}\vpravo)

Zbývá pouze aplikovat na hodnotu funkce v posledním členu nerovnost pro . Metodou matematické indukce je tedy Jensenova nerovnost zcela prokázána. $\n=2$

Geometrická interpretace

Bod je odpovídající konvexní kombinace bodů . Z definice konvexní funkce je zřejmé, že konvexní obal této množiny bodů se bude shodovat s množinou samotnou. To znamená, že z vlastností konvexní kombinace vyplývá, že vytvořený bod bude ležet uvnitř polygonu postaveného na uvedených bodech v uvedeném pořadí (pokud spojíme poslední s prvním). $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), \tečky, (x_n, f(x_n))$

Je geometricky zřejmé, že v tomto případě bude bod ležet nad jednou z čar formuláře . Ale pro konvexní funkci podle definice taková přímka leží nad grafem funkce. To znamená, že bod leží nad tímto grafem, což znamená, že . $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $(x_i;f(x_i))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))$ $(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i};\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)})$ $f(\sum \limits_{i=1}^{n} {q_i x_i}) \le \sum \limits_{i=1}^{n} {q_i f(x_i)}$

Integrální formulace

Pro konvexní funkci a integrovatelnou funkci je nerovnost $\varphi \left(x\right)$ $f\left(x\right)$

\varphi \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{ba}} \int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.

Pravděpodobnostní formulace

Dovolit být prostor pravděpodobnosti a být náhodná proměnná definovaná na tom . Nechť je také konvexní (směrem dolů) Borelova funkce . Pak když , tak $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi ({\mathbb {E}}[X])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)]

kde znamená matematické očekávání . ${\mathbb {E}}[\cdot ]$

Jensenova nerovnost pro podmíněné očekávání

Nechť, kromě předpokladů uvedených výše, sub -σ-algebra událostí . Pak ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}$

\varphi ({\mathbb {E}}[X|{\mathcal {G}}])\leqslant {\mathbb {E}}[\varphi (X)|{\mathcal {G}}]

kde označuje podmíněné očekávání s ohledem na σ-algebru . ${\mathbb {E}}[\cdot |{\mathcal {G}}]$ ${\mathcal {G}}$

Speciální případy

Hölderova nerovnost

Nechť , kde (konvexní funkce). My máme $\f(x)=x^{k}$ $\x>0,$ $\k>1$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{{i=1}}^{ {n}}{q_{i}x_{i}^{k}}

a _

\ q_{1},\ldots ,q_{n}>0

\ q_{1}+\ldots +q_{n}=1

Označme , kde jsou libovolná kladná čísla, pak bude nerovnost zapsána ve tvaru $\ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}$ $\p_{1},\ldots ,p_{n}$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{{i=1} }^{{n}}{p_{i}}\right)^{{k-1}}\sum _{{i=1}}^{{n}}{p_{i}x_{i}^ {k}}

Nahrazením za a za získáme známou Hölderovu nerovnost : $\p_{i}$ $\ b_{i}^{{{\frac {k}{k-1))))$ $\x_{i}$ ${\frac {a_{i}}{b_{i}^{{{\frac {1}{k-1}}}}}}$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{a_{ i}}^{k}\right)^{{\frac {1}{k}}}\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{b_{i}}^{ {{\frac {k}{k-1}}}\right)^{{\frac {k-1}{k}}}

Cauchyho nerovnost

Let (konkávní funkce). My máme $\f(x)=\ln x$

\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{{i=1}}^{{n} }{q_{i}x_{i}}\vpravo)

, nebo , potencování dostaneme .

\ln \prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \ln \sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}

\prod _{{i=1}}^{{n}}{x_{i}^{{q_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{ q_{i}x_{i}}

Zejména, když získáme Cauchyho nerovnost ( geometrický průměr nepřesahuje aritmetický průměr ) $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\sqrt[ {n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}

Nerovnost mezi harmonickým průměrem a geometrickým průměrem

Let (konvexní funkce). My máme $\ f(x)=x\ln x$

\left(\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{{i=1}}^{{ n}}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}

. Uvádění a potencování, dostáváme

q_{i}={\frac {{\frac {1}{x_{i)))){\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {1}{x_{ i}}}}}}

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}

( harmonický průměr nepřesahuje geometrický průměr )

Nerovnost mezi harmonickým průměrem a aritmetickým průměrem

Let (konvexní funkce). My máme $\ f(x)={\frac {1}{x}}$ ${\frac {1}{\sum _{{i=1}}^{{n}}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{{i=1}}^{{ n}}{{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

Konkrétně, protože získáme, že harmonický průměr nepřesahuje aritmetický průměr : $q_{i}={\frac {1}{n}}$

{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1))}+\ldots +{\frac {1}{x_{n))))}\leq {\frac {x_{1}+ \ldots +x_{n}}{n}}

Viz také

Literatura

Zorich V. A. Ch. V. Diferenciální počet // Matematická analýza. Část I. - 6. vyd. - M. : MTSNMO , 2012. - S. 289-290. - 2000 výtisků. - ISBN 978-5-94057-892-5 .
Fikhtengolts G. M. Ch. IV. Vyšetřování funkcí pomocí derivací // Průběh diferenciálního a integrálního počtu. - 8. vyd. - M. : FIZMATLIT, 2001. - T. 1. - S. 336-337. - 5000 výtisků. — ISBN 5-9221-0156-0 .