Ptolemaiova nerovnost

Ptolemaiova nerovnost je nerovnost pro 6 vzdáleností mezi čtyřmi body v rovině.

Pojmenován po pozdním helénistickém matematikovi Claudiu Ptolemaiovi .

Formulace

Pro všechny body roviny, nerovnost $ABECEDA$

AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,

navíc, rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je konvexní vepsaný čtyřúhelník nebo body leží na jedné přímce. $abeceda$ $ABECEDA$

Jedna verze důkazu nerovnosti je založena na použití inverze kolem kruhu se středem v bodě ; toto redukuje Ptolemaiovu nerovnost na trojúhelníkovou nerovnost pro obrazy bodů , , . [jeden] $A$ $B$ $C$ $D$
Existuje způsob, jak to dokázat pomocí Simsonovy linie .
Ptolemaiova věta může být dokázána následujícím způsobem (blízko důkazu samotného Ptolemaia, který uvedl v knize Almagest ) - zaveďte bod takový, že , a pak prostřednictvím podobnosti trojúhelníků . $E$ $\angle ABE=\úhel DBC$
Věta je také důsledkem Bretschneiderova vztahu .

Pompeyova věta . [2] Uvažujme boda pravidelný trojúhelník . Pak ze segmentů,Aje možné vytvořit trojúhelník, a tento trojúhelník je degenerovaný právě tehdy, když bodleží na kružnici opsané trojúhelníku. $X$ $ABC$ $XA$ $XB$ $XC$ $X$ $ABC$

Pokud je AC průměr kruhu, pak se věta změní na pravidlo sinusového součtu. Právě tento důsledek využil Ptolemaios k sestavení tabulky sinů.

Bretschneiderův poměr
Ptolemaiovy nerovnosti lze rozšířit na šest bodů: jestliže libovolné body roviny (toto zobecnění se nazývá Ptolemaiova věta pro šestiúhelník a v zahraniční literatuře Fuhrmannova věta [3] ), pak $A_{1},A_{2},\tečky A_{6}$

A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6 }\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+

+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5 }\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},

kde rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je vepsaný šestiúhelník.

A_{1}\tečky A_{6}

Caseyův teorém ( zobecněný Ptolemaiův teorém ): Uvažujme kružniceak dané kružnici ve vrcholechakonvexní čtyřúhelník. Nechť je délka společné tečny ke kružnicíma(vnější, pokud jsou oba dotyky vnitřní nebo vnější současně, a vnitřní, pokud je jeden dotyk vnitřní a druhý vnější); atd. jsou definovány podobně. Pak $\alpha ,\beta ,\gama$ $\delta$ $A, B, C$ $D$ $abeceda$ $t_{{\alpha \beta }}$ $\alpha$ $\beta$ $t_{{\beta \gamma }},t_{{\gamma \delta }}$

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

↑ Důkaz Ptolemaiovy věty pomocí inverze Archivováno 26. května 2009 na Wayback Machine . Vzdálené konzultační místo pro matematiku MCNMO .
↑ O větě D. Pompeia Archivováno 17. prosince 2004 na Wayback Machine . Vzdálené konzultační místo pro matematiku MCNMO .
↑ Ptolemaiova věta . Získáno 17. května 2011. Archivováno z originálu 26. května 2009. (neurčitý)
↑ Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs , Journal of Graph Theory vol. 5 (3): 323–331 , DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M .: Vzdělávání , 1991. - S. 328-329. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0 .